初中數(shù)學(xué)分類討論思想在解題中的應(yīng)用探討

陶明偉

摘 要：分類討論是在初中階段數(shù)學(xué)解題教學(xué)中廣泛運(yùn)用的教學(xué)策略。旨在根據(jù)不同的題型，采取恰到好處的最優(yōu)解法，提升學(xué)生的解題技巧。針對分類討論思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，本文結(jié)合實(shí)例以及理論研究成果展開探討。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué) 分類討論 解題 教學(xué)策略

一、初中數(shù)學(xué)分類討論思想的原則

分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題的運(yùn)用過程中，教師和學(xué)生應(yīng)當(dāng)遵循兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)原則。

首先是同一性與相稱性原則。這一原則要求分類標(biāo)準(zhǔn)保持一致，比如三角形的分類，按邊分類，可分為：等腰三角形（有且只有有兩條邊相等）、等邊三角形（三條邊都相等）；不等邊三角形（三條邊都不相等）；按角分類則可分為：銳角三角形（三個(gè)內(nèi)角都是銳角）；直角三角形（有一個(gè)內(nèi)角為直角）、鈍角三角形（有一個(gè)內(nèi)角為鈍角）；這樣的分類符合同一性原則。倘若有人將三角形分為：等腰三角形、直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形，則違反了同一性原則。是分類思想的錯(cuò)誤運(yùn)用。相稱性原則則是要求分類后子項(xiàng)的并集應(yīng)當(dāng)與母項(xiàng)外延相稱。[1]

另一原則是互斥性與多層次性原則?；コ庑栽瓌t意思是，經(jīng)過分類，各個(gè)子項(xiàng)之間應(yīng)該互相獨(dú)立，不存在交集，如三角形按角劃分時(shí)，“沒有一個(gè)三角形既是鈍角三角形也是銳角三角形”。多層次性原則是指，在初中數(shù)學(xué)解題中，會遇到一些分類比較復(fù)雜的條件。此時(shí)，教師和學(xué)生可以使用“二分法”，把需要討論的對象進(jìn)行逐層分類，分成具有層次性的互相獨(dú)立互相矛盾的概念，從而避免邏輯性的錯(cuò)誤。[2]

二、初中數(shù)學(xué)如何應(yīng)用分類討論思想

1.分類討論思想在代數(shù)的運(yùn)用

代數(shù)問題占了初中數(shù)學(xué)問題的半壁江山，討論的是數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系。在解決代數(shù)問題過程中應(yīng)用分類討論思想，可以避免考慮問題的不全面導(dǎo)致的解題錯(cuò)誤。以下例子分兩種場景探討分類討論思想在初中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用。

例1（含絕對值的方程問題）：|5-x|+|x+2|=8，求x；

當(dāng)方程式中出現(xiàn)絕對值時(shí)，絕對值內(nèi)的結(jié)果可能有三種情況：負(fù)數(shù)、正數(shù)、零，可以按照這三種情況進(jìn)行分類討論。

在本例子中，絕對值|5-x|中的對象：5-x可能有三種情況：5-x<0；5-x>0；5-x=0；根據(jù)這三種情況展開，例子中的方程式等價(jià)于：即：x>5；x<5；x=5，那么：

當(dāng)x>5時(shí)，方程式等價(jià)于：-5+x+x+2=8，解得x=5.5；

當(dāng)x<5時(shí)，方程式等價(jià)于：5-x+x+2=8，等式不成立，無解；

當(dāng)x=5時(shí)，方程式等價(jià)于：5-5+5+2=8，等式不成立，無解；

所以可以得出原方程的解為x=5.5

例2（函數(shù)問題）：已知函數(shù)y=kx-k+a為一次函數(shù)，當(dāng)1≦x≦3時(shí)，-2≦y≦4，求ka的值。

根據(jù)題干，函數(shù)等價(jià)于：y=k（x-1）+a；0≦x-1≦2；k≠0

運(yùn)用分類討論思想，k有兩種情形：

情形1： k>0，y隨著（x-1）的增大而單調(diào)遞增，即隨著x的增大而增大，因此：

當(dāng)x-1=0，即x=1時(shí)，y=-2

當(dāng)x-1=2，即x=3時(shí)，y=4

代入函數(shù)，得出：a=-2，且2k+a=4

解得：k=3，a=-2，ka=-6；

情形2：k<0，y隨著（x-1）的增大而單調(diào)遞減，即隨著x的增大而減小，因此：

當(dāng)x-1=0，即x=1時(shí)，y=4

當(dāng)x-1=2，即x=3時(shí)，y=-2

代入函數(shù)，得出：a=4，且2k+a=-2

解得：k=-3，a=4，ka=-12

結(jié)合兩種情形，ka=-6或ka=-12

可見，在代數(shù)問題中運(yùn)用分類討論的思想，可以避免解題出現(xiàn)漏解、錯(cuò)解的情況。

2.分類討論思想在幾何中的運(yùn)用

幾何問題是初中數(shù)學(xué)問題中頻繁出現(xiàn)的題型。在幾何問題的解決中，也時(shí)常可以運(yùn)用分類討論的思想。以下例子討論分類討論思想在幾何問題解題中的運(yùn)用。

例3（等腰三角形問題）：已知等腰三角形的兩邊長分別為：a=3，b=4，求三角形的周長。

在這個(gè)例子中，題干上并沒有說明a和b哪一條是底邊，哪一條是腰，所以應(yīng)用分類討論思想，可以有兩種情形：

情形1：a為底邊，b為腰

則：周長=a+2b=3+2*4=11

情形2：a為腰，b為底邊

則：周長=2a+b=2*3+4=10

所以這個(gè)問題的解為：周長等于11或10

例4（角的問題）：在同一平面上，∠AOB=70°，∠BOC=30°，射線OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的大小。

運(yùn)用分類討論思想，可分兩種情形：

情形1：射線OC在∠AOB內(nèi)：畫圖可得∠MON=30°

情形2：射線OC在∠AOB外：畫圖可得∠MON=30°

總結(jié)：兩種情形下，均有 ∠MON=30°。在運(yùn)用分類討論方法時(shí)，總結(jié)也很重要。

三、初中數(shù)學(xué)解題中運(yùn)用分類討論思想的意義

1.提高思維嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性

初中階段是學(xué)生成長中的一個(gè)關(guān)鍵階段，在這一階段養(yǎng)成良好的縝密的思維邏輯習(xí)慣，對于以后的學(xué)習(xí)、邁入社會后的工作都有重大意義。綜合以上的例子可見，分類討論思想，是一種邏輯嚴(yán)謹(jǐn)，有條理的解題方式。隨著中小學(xué)生數(shù)學(xué)課程的難度提升，數(shù)學(xué)這一學(xué)科對于學(xué)生的思維邏輯有了越來越高的要求。學(xué)生在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，運(yùn)用分類討論思想，學(xué)習(xí)和解決遇到的各種類型的數(shù)學(xué)問題，可以在這一階段獲得成長，為將來難度更高的學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ)。

2.培養(yǎng)良好的解題思路和習(xí)慣

很多學(xué)生數(shù)學(xué)成績不佳，關(guān)鍵還在于沒有掌握正確的學(xué)習(xí)方法論。在解題過程中，對題干不做全面的解讀，沒有層層解析題目中給出的條件和信息，以至于解題時(shí)，只抓住片面的信息，思路混亂，遺漏一些需要考慮的因素，掉進(jìn)出題人的陷阱。分類討論思想這一學(xué)習(xí)方法論，是學(xué)生和教師在解題時(shí)的重要武器，有了分類的意識，掌握了這一武器的正確使用方式，許多問題便能迎刃而解，避免了不該出現(xiàn)的疏忽、遺漏和錯(cuò)誤。

結(jié)語

分類討論的題型，是目前初中數(shù)學(xué)考試中高頻率出現(xiàn)的熱門題型。分類討論思想是初中階段數(shù)學(xué)問題解決時(shí)十分常用的一種數(shù)學(xué)解題思想，也是初中階段數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)。初中教師在教學(xué)過程中要將分類討論思想和運(yùn)用分類討論思想解題的方法滲透課堂，使學(xué)生對分類討論思想形成深刻的認(rèn)識，養(yǎng)成縝密的思維習(xí)慣。在運(yùn)用分類討論思想解題時(shí)，務(wù)必注意同一性、相稱性、互斥性和多層次性原則，否則會導(dǎo)致分類討論思想的誤用。此外，分類討論結(jié)束后也要注意總結(jié)。

參考文獻(xiàn)

[1]紐曼曼.初中數(shù)學(xué)分類討論思想在解題中的應(yīng)用探討[J].教育現(xiàn)代化，2016，3（08）：234-236.

[2]祁永前.初中數(shù)學(xué)分類討論思想在解題中的應(yīng)用體會[J].考試周刊，2013（75）：53-54.