矩陣秩的兩種定義

李逸然

(青島中學(xué) 266111)

數(shù)域F上的矩陣的秩是反映矩陣固有特性的一個(gè)重要概念.在高等代數(shù)和線性代數(shù)的教科書(shū)里，可以發(fā)現(xiàn)矩陣的秩有兩種定義，其中第二種定義非常普遍，第一種則較少出現(xiàn).這兩種定義是等價(jià)的，且各有優(yōu)劣.

上述定義及其等價(jià)性要用到矩陣的三種初等變換：1)交換矩陣的兩行(列)；2)將矩陣的某行(列)乘以一個(gè)非零常數(shù)；3)將矩陣的某行(列)乘以一個(gè)常數(shù)加到另一行(列)上.初等變換可以看作左乘(行變換)和右乘(列變換)初等矩陣得來(lái).

矩陣秩的定義方式Ⅰ 數(shù)域F上的任意一個(gè)m×n矩陣A都可以通過(guò)一系列初等變換化成下述形式的矩陣：

非負(fù)整數(shù)r叫做矩陣A的秩，記作rank(A)=r.在這里，非負(fù)整數(shù)r是由A唯一確定的，與初等變換的方式無(wú)關(guān).

因而定義基于對(duì)A施行一系列初等變換，以及所有變換結(jié)果中非負(fù)整數(shù)r的唯一性.

不難證明，對(duì)于任意m×n矩陣A，經(jīng)過(guò)一系列初等變換可以寫(xiě)作左乘m階可逆矩陣P，右乘n階可逆矩陣Q，化成標(biāo)準(zhǔn)形式即

(1)

問(wèn)題在于，如果有另外一系列初等變換使得

(2)

我們是否有s=r呢？如果沒(méi)有，定義就無(wú)法成立了.

定理1在(1)(2)兩式中r=s.

證明將(2)式中的A用含Λ的表達(dá)式帶入，得到P′P-1ΛQ-1Q=Λ′.記P(P′)-1=G,Q-1Q′=H,于是有GΛ′=ΛH,其中G、H分別是m、n階方陣.將G、H適當(dāng)分塊，使得兩邊的分塊矩陣能夠做乘法，并且乘積的分塊一致：

(3)

(4)

(4)中的矩陣至少有一列為0，是不可逆的，與X、G、Y都是可逆矩陣矛盾.證畢.

矩陣秩的定義方式Ⅱ 設(shè)A為數(shù)域F上的一個(gè)m×n階矩陣.k為正整數(shù)，不大于m與n中的較小者.在矩陣中任意k行和任意k列交點(diǎn)處的元素組成一個(gè)k階方陣.這個(gè)方陣的行列式稱為矩陣A的一個(gè)k階子式.

在數(shù)域F上的一個(gè)m×n階矩陣A中，非零子式的最大階數(shù)稱為矩陣A的秩，記作rank(A).

引理2設(shè)A是數(shù)域F上的一個(gè)m×n矩陣，

進(jìn)行一次初等變化后得到矩陣B.則A與B中非零子式的最大階數(shù)相同.

定理3矩陣秩的定義Ⅰ和Ⅱ等價(jià)

在定義Ⅱ中，由于非零子式的最大階數(shù)是唯一確定的，定義的唯一性毋庸置疑.缺點(diǎn)是定義的出現(xiàn)需要在行列式講過(guò)之后，而且不大直觀.