中學(xué)數(shù)學(xué)新授課系統(tǒng)設(shè)計(jì)的實(shí)踐與解析
——以初中“冪的乘法運(yùn)算”第一課時(shí)為例

伍春蘭

(北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 100120)

①2016年—2018年北京教育學(xué)院“協(xié)同創(chuàng)新學(xué)校計(jì)劃”“基于學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)的教學(xué)改進(jìn)”的項(xiàng)目研究成果.

1 問題提出

考慮到學(xué)生的年齡特點(diǎn)，以及學(xué)習(xí)的方便，數(shù)學(xué)教材會依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)將邏輯嚴(yán)密的知識拆解到不同年級，按章、節(jié)編排. 但是在新授課上，據(jù)筆者多年的課堂觀察發(fā)現(xiàn)：學(xué)生往往缺少將章與節(jié)、節(jié)與節(jié)相關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容系統(tǒng)思考的機(jī)會，即教師常常忽視了將相關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容的來龍去脈及關(guān)系結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換為教學(xué)資源，因此造成學(xué)生學(xué)了很多零散的、不知“安放”到哪兒、也不知如何“觸發(fā)”的知識；一旦需要學(xué)生自由提取時(shí)，卡殼現(xiàn)象也就在所難免. 這也是學(xué)生上課一聽就懂，書本一看就會，作業(yè)或考試一做就錯(cuò)的原因之一. 當(dāng)然，可以通過習(xí)題課、復(fù)習(xí)課及強(qiáng)化練習(xí)實(shí)現(xiàn)亡羊補(bǔ)牢的效果，達(dá)成學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完善. 但是學(xué)生內(nèi)在學(xué)習(xí)動機(jī)(因探究學(xué)習(xí)內(nèi)容激發(fā)的)的喪失，思維發(fā)展機(jī)會的丟失，以及單調(diào)重復(fù)引發(fā)的學(xué)生倦怠，各種階段考試失利帶來的對自信的打擊，卻是很難補(bǔ)救的.

布魯納指出以學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)為核心的學(xué)習(xí)有三大好處[1]：激發(fā)智慧興趣；易于記憶、理解；有助遷移運(yùn)用. 不少教育心理的研究也表明，基于知識結(jié)構(gòu)的研究性學(xué)習(xí)，有助于塑造學(xué)生良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，有助于提升學(xué)生遷移應(yīng)用能力和探究學(xué)習(xí)能力[2]. 上述觀點(diǎn)易得到教師的認(rèn)同，但很難自動地對其教學(xué)活動產(chǎn)生影響. 因?yàn)椤八珜?dǎo)的理論”與“所采用的理論”是兩個(gè)概念[3]. 欲使“所倡導(dǎo)的理論”成為教師的自覺選擇，喚醒其改變的意識是關(guān)鍵，這正是筆者以“冪的乘法運(yùn)算”新授課為題材借班上課的初衷.

2 教師調(diào)研

初中冪的運(yùn)算的學(xué)習(xí)，北京版教材安排在7年級下冊“第六章整式的運(yùn)算”中[4]，整章的結(jié)構(gòu)見表1.

表1 第六章整式的運(yùn)算(北京版)的結(jié)構(gòu)

關(guān)于“二、整式的乘法”課時(shí)安排，筆者調(diào)研了使用北京版教材的93位初中數(shù)學(xué)教師(來自北京市6個(gè)區(qū)縣). 統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明，總課時(shí)最少安排5節(jié)(6%教師)，最多安排11節(jié)(1%教師). 總課時(shí)安排8節(jié)的教師比例(40%)最高，其次是安排7節(jié)的教師，占37%. 其中安排7節(jié)或8節(jié)的具體情況，見表2.

表2 整式的乘法的總課時(shí)數(shù)7節(jié)或8節(jié)的具體安排

調(diào)查顯示，整式乘法的3個(gè)冪的運(yùn)算法則，98%教師按教材順序各安排1課時(shí). 這樣設(shè)計(jì)的好處是教學(xué)內(nèi)容單純，教學(xué)順暢，學(xué)生認(rèn)知負(fù)荷較低. 但圍繞單一法則展開的教學(xué)，學(xué)生無需整體思考，思維的參與有限. 當(dāng)3個(gè)法則學(xué)完，再進(jìn)行整式乘法的綜合應(yīng)用，此時(shí)選擇成為必需，3個(gè)法則易混用的問題就集中爆發(fā). 這可能是整式乘法的3個(gè)冪的運(yùn)算法則學(xué)完后，多數(shù)教師還要安排4或5節(jié)課，進(jìn)行整式乘法的相關(guān)練習(xí)的原因. 調(diào)查結(jié)果與筆者多年在教師培訓(xùn)中的課堂觀察相吻合，即新授課教師更傾向于按教材的順序分割課時(shí)，而漠視章節(jié)內(nèi)容橫向與縱向關(guān)聯(lián)資源的開發(fā)與利用.

筆者曾在北京市某城區(qū)初中校，觀察過一節(jié)“同底數(shù)冪的乘法”的研究課，發(fā)現(xiàn)該班學(xué)生明顯地吃不飽. 課下與上課教師溝通，建議通過調(diào)研學(xué)生，整合3個(gè)冪的運(yùn)算法則，另擇一班再上. 因?yàn)閷?個(gè)冪的運(yùn)算法則同時(shí)推進(jìn)，不僅讓學(xué)生因內(nèi)容的挑戰(zhàn)性增強(qiáng)了學(xué)習(xí)的樂趣，也從第一課時(shí)起為學(xué)生贏得了更多地觀察、比較、判斷、選擇等思維參與的時(shí)機(jī)，更有利于對3個(gè)法則的內(nèi)在聯(lián)系和差異的理解，而且本單元所用的課時(shí)也可相對縮減. 上課教師認(rèn)同筆者的觀點(diǎn)，也積極地表示試一試，但沒有了下文. 這位老師授課的學(xué)生要比筆者借班的學(xué)生總體水平要高，這樣整合的構(gòu)想借班的學(xué)生可否接受？是否超過了借班的學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)？于是筆者利用項(xiàng)目培訓(xùn)與學(xué)員同課異構(gòu)的機(jī)會，將整式乘法的3個(gè)冪的運(yùn)算法則系統(tǒng)設(shè)計(jì)并實(shí)踐.

3 學(xué)生調(diào)研

筆者借用上課的班是北京市某農(nóng)村初級中學(xué)7年級的學(xué)生，共計(jì)29名. 其中8名是借讀生，21名京籍學(xué)生來自學(xué)校周邊的自然村，他們的父母基本上從事體力勞動. 課外參加數(shù)學(xué)補(bǔ)習(xí)的有6名，都是京籍學(xué)生，其中2名數(shù)學(xué)成績優(yōu)良，4名數(shù)學(xué)成績中差. 接近五成(14名)的學(xué)生有預(yù)習(xí)或復(fù)習(xí)習(xí)慣.

問卷提供了3組填空題，要求學(xué)生先填空再結(jié)合題組提出猜想(見表3). 調(diào)查在上課的前三天進(jìn)行的，調(diào)查時(shí)間是10分鐘.

表3 調(diào)查問卷

調(diào)查顯現(xiàn)，題組1和題組2學(xué)生的正確率為100%.題組3有2人沒填，1人錯(cuò)答了其中1個(gè)小題：(a·b)3=a( 1 )·b( 3 )，其余26人全對.

題組1是同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算，猜想情況(見表4)表明：38%的學(xué)生能將底數(shù)和指數(shù)都用字母表示，猜想合理；21%的學(xué)生只將底數(shù)用字母表示，猜想合理；10%的學(xué)生歸納猜想失誤；31%的學(xué)生猜想不著邊際或沒有提出猜想.

題組2是冪的乘方運(yùn)算，猜想情況(見表4)表明：35%的學(xué)生能將底數(shù)和指數(shù)都用字母表示，猜想合理；14%的學(xué)生只將底數(shù)用字母表示，猜想合理；10%的學(xué)生歸納猜想失誤；41%的學(xué)生猜想不著邊際或沒有提出猜想.

題組3是積的乘方運(yùn)算，猜想情況(見表4)表明：42%的學(xué)生能將底數(shù)和指數(shù)都用字母表示，猜想合理；10%的學(xué)生只將底數(shù)用字母表示，猜想合理；3%的學(xué)生底數(shù)和指數(shù)用新的數(shù)提出猜想；14%的學(xué)生歸納猜想失誤；31%的學(xué)生猜想不著邊際或沒有提出猜想.

表4 猜想的統(tǒng)計(jì)

調(diào)查結(jié)果說明，學(xué)生基本掌握了an(n為正整數(shù))的意義，他們能借助乘方的意義和乘法的結(jié)合律、交換律進(jìn)行同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方及積的乘方運(yùn)算. 超過2/3的學(xué)生都能發(fā)現(xiàn)底數(shù)的相同或不同、運(yùn)算前后指數(shù)的變化規(guī)律.

盡管總共只給了10分鐘時(shí)間，但他們的猜想是多方位的. 有學(xué)生想到了交換乘積次序也成立的猜想，甚至有學(xué)生將指數(shù)2、3的差異作為猜想指出，令筆者汗顏. 因?yàn)閱柧碓O(shè)計(jì)僅注意到降低猜想難度設(shè)置指數(shù)為2、3，忽略了指數(shù)同一帶來的誤導(dǎo).

當(dāng)然學(xué)生猜想的水平也呈現(xiàn)差異. 超過1/3的學(xué)生能夠獨(dú)立地用符號語言提煉出法則，表現(xiàn)出一定的抽象水平，但對字母表示的指數(shù)是否有限制沒有學(xué)生指出，也反映出他們思維的嚴(yán)謹(jǐn)性不夠.

需要指出，能由特殊歸納出一般法則，并不代表學(xué)生真正地掌握了法則. 原因之一是由特殊到一般類似“照貓畫虎”，相對簡單. 而應(yīng)用法則(一般)解決特殊情形問題，首先需要發(fā)現(xiàn)特殊情形滿足法則(一般)的條件，這需要一定質(zhì)量的練習(xí)才能實(shí)現(xiàn). 原因之二是冪的運(yùn)算是學(xué)生從四則混合運(yùn)算上升到指數(shù)運(yùn)算的一次飛躍，運(yùn)算慣性使然、新的法則的陌生都不可避免令學(xué)生出錯(cuò). 因此掌握冪的運(yùn)算，不可能一蹴而就.

前測驗(yàn)證了筆者的假設(shè)：整式乘法的3個(gè)冪的運(yùn)算法則系統(tǒng)設(shè)計(jì)，學(xué)生可以接受. 這一結(jié)果，堅(jiān)定了筆者整體設(shè)計(jì)與實(shí)踐的信心.

4 內(nèi)容分析

整式的四則運(yùn)算，上承數(shù)的運(yùn)算，下啟分式、方程、不等式及函數(shù)的變換，而整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則又是整式乘除法的基石. 冪的運(yùn)算法則包括同底數(shù)冪的乘法法則、冪的乘方法則、積的乘方法則以及同底數(shù)冪除法的法則. 前三個(gè)法則，指數(shù)范圍在初中限定在正整數(shù). 通過同底數(shù)冪除法，指數(shù)范圍拓展到負(fù)整數(shù)和零. 到了高中冪的運(yùn)算的指數(shù)由整數(shù)推廣到實(shí)數(shù)，這樣開方運(yùn)算也是冪的運(yùn)算的一部分了. 在指數(shù)式ab=N的基礎(chǔ)上，高中還要學(xué)習(xí)相應(yīng)的對數(shù)式logaN=b. 因此初中學(xué)習(xí)的整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，也是高中學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)指數(shù)冪和對數(shù)的基礎(chǔ).

同底數(shù)冪的乘法法則、冪的乘方法則及積的乘方法則，都是特殊的冪的乘法運(yùn)算. 同底數(shù)冪的乘法，要求底數(shù)相同，指數(shù)沒有要求相同. 當(dāng)?shù)讛?shù)相同指數(shù)相同，易與合并同類項(xiàng)混淆，其實(shí)合并同類項(xiàng)本質(zhì)是同底數(shù)且同指數(shù)的冪做加減法. 冪的乘方是同底數(shù)且同指數(shù)的冪做乘法，因此可以轉(zhuǎn)化成同底數(shù)冪的乘法. 積的乘方之逆是不同底數(shù)、相同指數(shù)的冪的乘法. 3個(gè)法則用符號語言表示時(shí)，外形很像，所以易混易錯(cuò).

從形式上概括，3個(gè)法則都將冪的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的降一級運(yùn)算，即同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為同底的指數(shù)加法運(yùn)算；冪的乘方運(yùn)算轉(zhuǎn)化為同底的指數(shù)乘法運(yùn)算；積的乘方運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘方的乘法運(yùn)算.

5 教學(xué)定位

整式乘法的3個(gè)冪的運(yùn)算法則如果單獨(dú)設(shè)計(jì)，多數(shù)教師追捧的典型教學(xué)流程如下：

(1)以一個(gè)能列出相應(yīng)冪的運(yùn)算的實(shí)際背景引入；

(2)給出幾個(gè)類似的冪的運(yùn)算(底數(shù)有正有負(fù)、有整數(shù)有分?jǐn)?shù)；指數(shù)是正整數(shù))讓學(xué)生計(jì)算；

(3)給出幾個(gè)類似的冪的運(yùn)算(底數(shù)是字母、指數(shù)是正整數(shù))讓學(xué)生類比數(shù)的運(yùn)算合理猜想結(jié)果；

(4)給出幾個(gè)類似的冪的運(yùn)算(底數(shù)是數(shù)、指數(shù)是表示正整數(shù)的字母)讓學(xué)生類比數(shù)的運(yùn)算合理猜想結(jié)果；

(5)指導(dǎo)學(xué)生歸納出相應(yīng)的法則，并用文字語言和符號語言表示；

(6)有層次的、多樣的相關(guān)鞏固練習(xí)；

(7)總結(jié).

上述設(shè)計(jì)就學(xué)習(xí)內(nèi)容而言，邏輯清楚，容易學(xué)會，但最大的問題是學(xué)生思維參與是被動的，思維水平和學(xué)習(xí)能力沒有得到相應(yīng)的提升，而且缺少聯(lián)系的孤立學(xué)習(xí)使得學(xué)生不能相應(yīng)地建立良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

因此3個(gè)冪的運(yùn)算法則系統(tǒng)設(shè)計(jì)，不是簡單地將3個(gè)法則壓縮到一節(jié)課上，而是以系統(tǒng)的整體、聯(lián)系等基本觀點(diǎn)為指導(dǎo)，三位一體地設(shè)計(jì). 本節(jié)課主要活動如下：

(1)法則的必要性和充分性的思考：為什么在整式乘法運(yùn)算先要學(xué)習(xí)3個(gè)冪的運(yùn)算法則？有3個(gè)冪的運(yùn)算法則就可以計(jì)算整式乘法了嗎？

(2)3個(gè)冪的運(yùn)算法則規(guī)定的合理性的探究；

(3)3個(gè)冪的運(yùn)算法則的命名、內(nèi)涵表述的文字語言及符號語言的斟酌；

(4)3個(gè)冪的運(yùn)算法則的區(qū)別與聯(lián)系的推敲.

3個(gè)冪的運(yùn)算法則的必要性、充分性和合理性的探究，重要意義在于不僅從系統(tǒng)的高度，了解其來龍去脈，明晰區(qū)別與聯(lián)系，而且讓學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)思考，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思考的價(jià)值和魅力.

法則規(guī)定的合理性的探究有兩條途徑，一是由特殊到一般的歸納猜想，二是由法則(一般)出發(fā)，利用符號語言說明. 途徑二不僅要利用乘方的意義，而且還要借用單項(xiàng)式乘法的結(jié)合律和交換律. 7年級學(xué)生學(xué)習(xí)過有理數(shù)乘法的結(jié)合律、交換律，在沒有定義單項(xiàng)式的乘法時(shí)，直接用單項(xiàng)式乘法的結(jié)合律和交換律學(xué)生往往也不會起疑義，但是教師要清楚途徑二只是說明規(guī)定的合理性不是證明，否則邏輯上是有問題的. 因此筆者建議，當(dāng)?shù)讛?shù)指數(shù)都是字母時(shí)，淡化從途徑二出發(fā)對法則規(guī)定的合理性的考察，這也符合七年級學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平.

6 教學(xué)片段

6.1 引領(lǐng)學(xué)生系統(tǒng)思考，明確研究問題

上課伊始，筆者先后拋出兩個(gè)話題(見表5)，讓學(xué)生提問題.

表5 上課伊始的兩個(gè)話題

通過對整式的乘法類型(單項(xiàng)式×單項(xiàng)式，單項(xiàng)式×多項(xiàng)式，多項(xiàng)式×單項(xiàng)式，多項(xiàng)式×多項(xiàng)式)的梳理，學(xué)生意識到最簡單的整式的乘法應(yīng)該是單項(xiàng)式×單項(xiàng)式，其他類型都可轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式×單項(xiàng)式.

接下來讓學(xué)生思考單項(xiàng)式×單項(xiàng)式的關(guān)鍵是什么？指出將單項(xiàng)式的系數(shù)相乘，作為積的系數(shù)是合理的，而數(shù)與數(shù)的乘法是我們熟知的，所以單項(xiàng)式×單項(xiàng)式的關(guān)鍵就轉(zhuǎn)為含有相同字母的單項(xiàng)式的乘法，即冪的運(yùn)算. 于是提出問題：需要對哪些冪的運(yùn)算立規(guī)矩？

從問題出發(fā)的學(xué)習(xí)，特別是讓學(xué)生參與到問題的發(fā)現(xiàn)和提出過程，激發(fā)了學(xué)生積極參與的熱情. 同時(shí)系統(tǒng)地思考，也讓學(xué)生明白為什么在學(xué)習(xí)整式的乘法前，先學(xué)習(xí)冪的運(yùn)算.

6.2 從特殊到一般，感受法則的合理性和完備性

將研究問題簡化為只考慮相同字母a，及不同字母a，b的乘法運(yùn)算，設(shè)計(jì)了如下兩個(gè)活動，見表6. 學(xué)生通過列算式，對算式的歸類、命名，及歸納法則，學(xué)生體會到法則的合理性，以及初步感受到整式的乘法需要3個(gè)法則且3個(gè)法則就夠了.

表6 構(gòu)造冪的乘法算式及歸納猜想

下列算式(a2b)2；(a5b)2；(ab2)2；(a2b2)2；(a5·b2)2；(ab5)2；(a2b5)2；(a5b5)2；(a2b)5；(a5b)5；(ab2)5；(a2b2)5；(a5b2)5；(ab5)5；(a2b5)5；(a5b5)5也應(yīng)歸到組4中，考慮到學(xué)生的實(shí)際水平，為了規(guī)避難點(diǎn)，筆者有意忽略了. 事實(shí)上，由于時(shí)間緊，也沒有學(xué)生想到列這些算式. 這些算式可布置作業(yè)，亦可供下次課練習(xí)之用.

通過有序、系統(tǒng)地思考，學(xué)生體會到為什么只給這三類算式[冪的乘法(同底數(shù))、冪的乘方、冪的乘法(同指數(shù))或積的乘方]立規(guī)矩，怎樣規(guī)定是合理的.

7 設(shè)計(jì)建議

7.1 源于教材而高于教材的系統(tǒng)設(shè)計(jì)

用教材教而不是教教材已成為共識，但是，反觀實(shí)踐，許多一線教師對教材創(chuàng)造性地使用缺乏深度認(rèn)識，特別是新授課對于教材重構(gòu)的方式還較單一，比如基本保持教材的結(jié)構(gòu)，只是在情境或例題和練習(xí)上做些調(diào)整. 用教材教的理想原則是源于教材而高于教材. 源于教材就是要讀懂教材，這是教學(xué)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ). 可以參看不同版本的教材，在對比中更準(zhǔn)確把握編者的意圖. 高于教材就是對教材的創(chuàng)造性教法加工，這是教學(xué)設(shè)計(jì)的精髓所在.

3個(gè)冪的運(yùn)算法則，教材都是線性展開的[5]- [7]，教學(xué)時(shí)可根據(jù)學(xué)生情況適度整合系統(tǒng)設(shè)計(jì). 首先，整體——局部——整體的處理方式，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，有利于他們的整體掌握. 其次，將法則(一般)應(yīng)用到特殊情形，需要兩個(gè)遞進(jìn)的步驟：會選擇用哪個(gè)法則；會正確地使用法則. 如果特殊情形是實(shí)際問題，還需要先建立數(shù)學(xué)模型. 其中，會選擇用哪個(gè)法則是關(guān)鍵，也是能力的體現(xiàn)，而整合的系統(tǒng)設(shè)計(jì)讓學(xué)生從學(xué)習(xí)之初就開始選擇.

欣喜地看到，觀摩聽課的37位教師，贊同筆者三位一體的系統(tǒng)設(shè)計(jì)，由原來遵循教材順序的線性設(shè)計(jì)，轉(zhuǎn)變到如今系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，特別是對3個(gè)法則進(jìn)行了適度整合，而且其中29%教師總課時(shí)減少1課時(shí)；49%減少2課時(shí)；22%減少3課時(shí).

7.2 學(xué)會學(xué)習(xí)和思考貫穿教學(xué)始終

由前面的調(diào)查分析可知，筆者借用上課的學(xué)生家庭環(huán)境普遍不好，學(xué)生的基本素質(zhì)一般. 面對這樣的生源，包辦代替學(xué)生思考，只教知識方法，不教知識方法的本源是不可取的. 正確的策略是更要重視學(xué)生學(xué)習(xí)方法和思考方式的指導(dǎo).

比如，3個(gè)法則從列算式探究，到給法則冠名，及文字語言和符號語言的整理過程，都是讓學(xué)生深刻理解法則，培養(yǎng)他們“既見樹木，又見森林”的優(yōu)良學(xué)習(xí)和思考習(xí)慣. 又如，考慮到7年級學(xué)生抽象能力還欠佳，引導(dǎo)學(xué)生為每個(gè)法則自我選擇一個(gè)特例，幫助自己理解. 再如，將教材中3個(gè)法則的7個(gè)例題布置為作業(yè)，并要求學(xué)生先自己做題，再與教材核查，進(jìn)而對錯(cuò)解反思，找到規(guī)避的方法.

7.3 開發(fā)隱性的教學(xué)資源

3個(gè)法則，可以引出如下一些教學(xué)資源：

(1) 法則作為一種規(guī)定，規(guī)定的必要性和充分性的探究；

(2) 法則合理性的探究；

(3) 法則相關(guān)的歷史、文化的融入；

(4) 法則條件、結(jié)論的辨析；

(5) 冪的加減乘除運(yùn)算的對比研究；

(6) 法則的應(yīng)用；

(7) 法則思想方法的滲透.

對上述教學(xué)資源的不同選擇，反映出教師相異的教學(xué)目標(biāo). 如果長期關(guān)注點(diǎn)保持一致，那么這種選擇就是其教育觀的反映.