移動最小二乘法在電機試驗數(shù)據(jù)處理中的應用

龔春忠 張政 張李俠

（浙江合眾新能源汽車有限公司試制試驗中心）

作為電動汽車核心的三電技術成為眾多新能源汽車制造商的競逐技術。電機效率MAP 通常用于整車動力性經(jīng)濟性仿真開發(fā)與整車動力性經(jīng)濟性標定領域。當前階段，電機MAP 的數(shù)據(jù)處理方法相對粗糙，通常使用2 種方法：一是臨近網(wǎng)格點法，邊界使用等曲率延拓；二是使用高次曲面最小二乘擬合法[1]。2 種方法都有各自的缺點：第1 種方法在實測點非網(wǎng)格均勻化分布時，誤差會很大；第2 種方法在邊界延拓上，失真率過高，整體曲面精度低。文章采用移動最小二乘法（MLS）[2]對電機效率MAP 數(shù)據(jù)進行處理，獲取高精度的網(wǎng)格化MAP 數(shù)據(jù)。相對于網(wǎng)格插值而言，MLS 插值計算量較大，不適合直接應用于整車控制器程序燒錄或仿真模型中。因此，文章僅使用其做電機試驗數(shù)據(jù)的網(wǎng)格化處理。

1 電機效率MAP試驗

依據(jù)《GB/T 1029—2005 三相同步電機試驗方法》[3]，電機效率測試需要在臺架中進行。電機試驗臺架結構原理，如圖1所示。試驗時，驅動電機與控制器冷卻裝置的冷卻效果與汽車中的實際使用條件盡可能相同。

圖1 電機試驗臺架結構原理圖

效率MAP 測試過程為：給測功機加載，使得驅動電機運行在某一恒定轉速，要求轉速測試點在10 個以上。在驅動電機實際運行轉速穩(wěn)定時設定扭矩指令值。

在測功機和驅動電機之間使用轉速扭力儀測量得到驅動電機的轉速（N/（r/min））、扭矩（T/N·m）和輸出功率（P3/kW）；使用電壓探頭、電流傳感器測試控制器輸入功率（P1/kW）和控制器輸出功率（P2/kW）。驅動狀態(tài)和能量回收狀態(tài)的效率計算，分別如式（1）和式（2）所示。

式中：ηD_MCU，ηD_MOT，ηD_SYS——驅動狀態(tài)的電機控制器、電機、電驅動系統(tǒng)效率；

ηR_MCU，ηR_MOT，ηR_SYS——能量回收狀態(tài)的電機控制器、電機、電驅動系統(tǒng)效率。

由以上方法測得電機工作特性點（N，T，ηD_SYS）和（N，T，ηR_SYS）等效率工作點，用于生成網(wǎng)格化效率曲面，并進一步應用于整車動力性經(jīng)濟性仿真開發(fā)與整車動力性經(jīng)濟性標定等領域。

2 移動最小二乘法及其緊支域與權函數(shù)

移動最小二乘法相對于最小二乘法的優(yōu)點有：1）點云分布不均勻時有更好的擬合性能，包括延拓性；2）具有連續(xù)平滑過渡的特性；3）當曲面細節(jié)劇烈變化時，移動最小二乘法具備更精確的細節(jié)刻畫能力。

2.1 移動最小二乘法基本原理

為敘述方便，文章描述移動最小二乘法時，不再描述普適公式，而是直接以電機效率MAP 數(shù)據(jù)應用為實例。效率MAP 是一張曲面，因此需要選用二維基。而電機測試中0 轉速、0 扭矩的效率點無法測試，因此選用線性基，以利于擬合過程的可延拓性。

現(xiàn)有三維散亂點云{（xi，yi，zi）｜i=1，2，…，n}，需要將其網(wǎng)格化插值。與局部最小二乘法擬合相似，在擬合區(qū)域的一個局部子域上，擬合函數(shù)f（x，y）表示為：

式中：x——基平面上的坐標，對應于電機的轉速，r/min；

y——基平面上的坐標，對應于電機的扭矩，N·m；

f（x，y）——擬合函數(shù)對應電機的效率；

a1，a2，a3——擬合函數(shù)的待定系數(shù)。

構建移動最小二乘法目標函數(shù)：

式中：w（si）——權函數(shù)；

zi——測試出的效率。

si用于計算參與擬合點與局部擬合中心點的距離：

為確定系數(shù)值，式（4）對系數(shù)進行求導，得：

其中：

解式（6）得：

式中：α——擬合函數(shù)的待定系數(shù)，α=（a1，a2，a3）；

z——網(wǎng)格化后的效率。

由此獲得（x，y）處的函數(shù)表達式（式（3）），從而確定該點的值。如果（x，y）是網(wǎng)格化定義的值，則可以計算出網(wǎng)格化曲面（x，y，z）。

2.2 緊支域與權函數(shù)

MLS 與最小二乘法最大的區(qū)別是引入了緊支域與權函數(shù)的概念。權函數(shù)通常有三次樣條曲線[4]和高斯曲線2 種形式。而電機效率MAP 中，邊界處需要延拓處理，經(jīng)測試，選用高斯權函數(shù)更有利于邊界延拓性。為了滿足延拓性需求，參與擬合的點越多越好，因此不設置支撐域截斷，而是選擇控制高斯函數(shù)中緊支域半徑（σ）的大小。此方法相對于三次樣條曲線權函數(shù)精度較高，計算量較大，但對于電機MAP 點數(shù)不多的情況，當前的計算機能力是足夠的。權函數(shù)表達，如式（11）所示。

式中：s——點云與局部擬合中心點的距離。

σ 越大時，高權值參與擬合的點越多，精度越低，可延拓性增加；σ 越小時，高權值參與擬合的點越少，精度越高，但可延拓性減弱。綜合精度與延拓性，在電機效率MAP 的MLS 擬合時，σ 取值為0.25。

3 電機效率MAP的MLS擬合

電機測試結果的（N，T，ηD_SYS）等三維點云即對應MLS 方法中的點云{（xi，yi，zi）｜i=1，2，…，n}。針對電機效率MAP 數(shù)據(jù)的處理，需要做數(shù)據(jù)縮放處理與支撐域半徑的選擇。

3.1 數(shù)據(jù)縮放與緊支域半徑選擇

原始數(shù)據(jù)量綱一般為轉速和扭矩。轉速測量分布范圍為0～12 000 r/min，扭矩分布范圍為0～300 N·m，若直接使用圓形緊支域，會因點云分布的非均勻性結果呈現(xiàn)誤差偏大的現(xiàn)象。因此，要對原始數(shù)據(jù)進行縮放處理。由電機試驗方法可知，若每個轉速下測試的扭矩點有a個，共測試了b組轉速，則為了選用圓形緊支域，需將轉速坐標比例縮小為：ρ=bNmax/aTmax。

因為選擇二維線性基，所以支撐區(qū)內(nèi)至少應能包含3 個點。文章中示例的效率測試點近似為陣列分布，支撐區(qū)半徑（r）選擇為：r=Tmax/a。

若以后改進試驗方法，為了綜合精度和測試成本，選擇非均勻式陣列測試時，支撐域選擇自適應方法確定[5]，則在精度要求相同時，可以減少測試點數(shù)量，節(jié)約測試成本。

3.2 MLS擬合實例

某款型號電機基本參數(shù)如下：Nmax=9 500 r/min，Tmax=170 N·m，最大功率Pmax=55 kW。非均勻化地測試了28 組轉速，每組轉速下扭矩測試步長為10 N·m。

在直流母線電壓為355 V 時，測試電機驅動系統(tǒng)效率獲得點云：{（Ni，Ti，ηD_SYSi）｜i=1，2，…，391}和{（Ni，Ti，ηR_SYSi）｜i=1，2，…，382}。使用MLS 方法擬合以下網(wǎng)格化區(qū)域：轉速在0～9 500 r/min，每200 r/min 為1 個間隔；扭矩在0～170 N·m，每10 N·m 為1 個間隔。處理后的原始點云與擬合曲面，如圖2所示。

圖2 電機效率MAP使用MLS網(wǎng)格化擬合與實測點云

4 精度對比分析

使用MLS 方法獲取的誤差曲面與原始網(wǎng)格化數(shù)據(jù)之間的誤差分布，如圖3所示。從圖3 可以看出，誤差較大的區(qū)域依然是邊界處，最大誤差約為1%。而中間大部分區(qū)域誤差不超過0.1%。本實例中的曲面擬合平均誤差為0.335%。

圖3 電機效率MAP 誤差分布分析

5 結論

通過移動最小二乘法擬合曲面，可以獲得高精度的電機效率MAP 網(wǎng)格化曲面。適當?shù)剡x擇緊支域和權函數(shù)，可以改善其精度和邊界延拓性。但需要注意，當原始數(shù)據(jù)中點云噪聲較大時，使用移動最小二乘法擬合出的曲面會反映噪聲分布情況，起不到消噪效果，此時需要結合最小二乘法先對曲面進行濾波處理。實例分析表明，該方法制作網(wǎng)格化電驅動系統(tǒng)效率MAP 高效可靠，在整車動力性經(jīng)濟性仿真與整車動力系統(tǒng)標定等領域有積極的應用價值。