如何巧妙利用化歸法解決高中數(shù)學三角函數(shù)題

瞿良彥

【內(nèi)容摘要】順應著新課程改革的洪流，創(chuàng)新成了現(xiàn)代教育的核心內(nèi)容。各行各業(yè)都無時無刻在發(fā)生著新的變革，當然教育行業(yè)自然也要跟上時代的發(fā)展和科技的進步。隨著我國教育大環(huán)境的更新?lián)Q代，在教學的方式方法方面也產(chǎn)生了不小的變革，就高中階段數(shù)學課程中三角函數(shù)這一部分就有多種教學方式，數(shù)學在高中階段可謂是讓大多數(shù)學生感到頭疼的一門學科，而三角函數(shù)作為數(shù)學課程中重要的一部分自然也在高中階段占有重要的位置，同時它具有一定的復雜性、抽象性，也正因如此成為了學生們眼中的難點、教師教學工作中的重點。本文就如何利用化歸法巧妙解決高中數(shù)學中的三角函數(shù)題進行簡要論述。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學? 三角函數(shù)? 化歸法

引言

對于高中階段的學生來說，他們已經(jīng)經(jīng)歷過九年義務教育的考驗來到高中，這就證明他們已經(jīng)學習過有關(guān)各個學科的基礎(chǔ)知識也掌握了一定的學習方法、技巧，但是到了高中，學生將更加深入地學習數(shù)學、物理、化學這些自然學科。就數(shù)學來講，高中學習的內(nèi)容更加寬泛也更加深入，初中掌握的學習方法并不一定能夠在高中階段有效發(fā)揮，單一的刷題也不一定能夠讓學生們在考試當中做到行云流水，這時就要求學生不僅具有扎實的數(shù)學基礎(chǔ)，還要在這扎實基礎(chǔ)上掌握一定的技巧。化歸法是數(shù)學方法論中的方法之一，在數(shù)學的教學當中也隨處可見到它的影子。

一、化歸法解決問題

在發(fā)現(xiàn)已有問題并處理問題的這一過程里，數(shù)學一般不會直接橫沖直撞去正面處理問題，遇到難題對其進行轉(zhuǎn)化、變形，就像是鎖孔里的一些彎曲，直至能夠到達解決問題的那一個點。把所要解決的問題，進行一些變化，使之轉(zhuǎn)化為另一個問題x，再對問題x進行求解，把得到的答案運用到初始問題上，從而使原有問題得解，這種解決問題的方法，我們稱之為化歸法。化歸法是一種對問題進行分析并處理的基本方法。在數(shù)學中的一般的做法是：把一個非一般的問題通過分解、變形、代換……，或平移、旋轉(zhuǎn)、伸縮……等多種方式，將它化作一個一般問題，從而能夠較為方便的求出答案①。例如，在學習平面幾何中多邊形內(nèi)角和時，我們能夠直接了解的是三角形的內(nèi)角和是180°，而不知道七邊形、八邊形內(nèi)角和計算方法，這時就可以利用化歸法將多邊形劃分為若干個三角形進行求解。

二、化歸法在三角函數(shù)中的實際應用

1.三角函數(shù)以及同角關(guān)系式

在三角函數(shù)的學習過程中會對三角函數(shù)是什么和同角關(guān)系式有所考察，在這一類別的題目當中需要著重關(guān)注的點是三角函數(shù)的“誘導公式”以及函數(shù)中sin、cos、tan等符號所代表的含義和規(guī)律，所以在遇到這一類型的三角函數(shù)題目時需要學生著重關(guān)注解決問題時的分類討論，還要對函數(shù)運算符號的選擇多加考慮。想要對三角函數(shù)和同角關(guān)系式有更加熟練的掌握就要將三角函數(shù)運算中所用到的基本公式完全記住，從而進一步掌握函數(shù)變形技巧。例如：已知cos（-80°）=k，求解tan100°。在這一例題中就涉及到誘導公式和同角三角函數(shù)中對符號的準確選取，同時也涉及到了余弦和正切這兩者相互轉(zhuǎn)化這一化歸法的運用。在這一類型題目的求解過程中一定要著重關(guān)注化歸法的應用，經(jīng)過合理的變形、轉(zhuǎn)化，將看似難以處理的問題變得簡單，在具有一定數(shù)學基礎(chǔ)的前提下了解化歸思想、掌握化歸法，不論是在日常練習還是考試中都能準確解題。

2.三角函數(shù)的化簡求值

在三角函數(shù)這一重點章節(jié)中，對函數(shù)的化簡和求值也是數(shù)學考試中會考查的重點，這一部分內(nèi)容需要學生對三角函數(shù)變化這個知識點的掌握程度有很高的要求，面對這類題目要仔細審題、對題目中給出的重要的數(shù)據(jù)和符號進行分析，并加以靈活運用，必要時運用所學習到的公式對三角函數(shù)式進行變形處理，進一步運算得到答案。例如：已知角a是第三象限角，cos2a=-3/5，求tan（π/4+2a）。對于這一題目進行分析，我們可以知道本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系以及倍角公式的運用，通過采用倍角公式對原式的變形，將其變?yōu)槟軌蛘＿\算的一般形式進行求解，這類題目對學生數(shù)學綜合能力的考查較為明顯②。

3.三角函數(shù)中y=Asin（ωx+ψ）的圖象以及性質(zhì)

在三角函數(shù)中除了同角關(guān)系式、化簡求值還有一個經(jīng)?？嫉降膬?nèi)容就是函數(shù)的圖象變化，它與前兩者一樣是應當重點學習的內(nèi)容，想要沉著應對這一類型題目就需要對正弦函數(shù)圖象有一個深入的了解和深刻的記憶，在能夠準確記憶的前提下去了解它的變化規(guī)律以及特點，查清楚、弄明白這其中ψ、ω、A 符號的意義，只有明白公式中每一個符號的含義才能掌握函數(shù)變換中的規(guī)律、才能把控變換后的結(jié)果、才能準確的解出答案。例如：探究y=sinx，y=sin2x，y=2sinx，y=sin（x+π/3）這四個函數(shù)的圖象。這一題目的探究就需要充分理解ψ、ω、A這幾個符號所表示的內(nèi)容才能理解其圖象的由來。

結(jié)束語

綜上所述，三角函數(shù)是普通高中階段數(shù)學課程中的重難點，困難并不可怕，重要的是掌握方法，在學習三角函數(shù)這一章節(jié)時充分利用化歸法在解題上所能夠帶來的便利，通過轉(zhuǎn)化、變形將看似無解的難題變得可以計算，只要方法正確就能夠化繁為簡，解答三角函數(shù)中的一系列問題。

【注釋】

① 段瑋潔. 如何巧妙利用化歸法解決高中數(shù)學三角函數(shù)題[J]. 教育，2016（12）：220-220.

② 馬聆風. 如何巧妙利用化歸法解決高中數(shù)學三角函數(shù)題[J]. 明日風尚，2017 （23）：202-202.

（作者單位：云南省保山市昌寧縣第一中學）