基于稀疏響應(yīng)面的麥弗遜懸架多約束優(yōu)化

李 璞，李 澄，黃長(zhǎng)征，王洪榮，胡松喜

（1.韶關(guān)學(xué)院 物理與機(jī)電工程學(xué)院，廣東，韶關(guān) 512005；2.中國(guó)汽車工程研究院，重慶 401122）

車輛操控性能主要受車輛懸架系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特性的影響，由于懸架系統(tǒng)的硬點(diǎn)位置在很大程度上決定其運(yùn)動(dòng)特性，所以這些硬點(diǎn)位置的坐標(biāo)通常被定義為懸架系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特性優(yōu)化的設(shè)計(jì)變量。

麥弗遜懸架具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單緊湊，簧下質(zhì)量小，占用車輛空間少等優(yōu)點(diǎn)，在現(xiàn)代汽車特別是前懸架上應(yīng)用極為廣泛[1]。目前，對(duì)麥弗遜懸架的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析通常采用空間機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)的數(shù)值計(jì)算方法和基于多剛體動(dòng)力學(xué)軟件的仿真分析方法[2]。由于懸架系統(tǒng)的復(fù)雜性，應(yīng)用數(shù)值計(jì)算方法構(gòu)建系統(tǒng)復(fù)雜且不夠直觀，懸架系統(tǒng)的模型通常使用機(jī)械系統(tǒng)自動(dòng)動(dòng)態(tài)分析（Auto Dynamic Analysis of Mechanical systems，ADAMs）等軟件進(jìn)行開發(fā)。但在模型的優(yōu)化設(shè)計(jì)中，優(yōu)化目標(biāo)的計(jì)算需要頻繁調(diào)用形如黑箱函數(shù)的軟件模型，其計(jì)算仍較為費(fèi)時(shí)。因此，響應(yīng)面模型方法經(jīng)常用于工程優(yōu)化，以節(jié)省優(yōu)化工作的計(jì)算成本[3-4]。

為構(gòu)建精確的響應(yīng)面模型，需要經(jīng)過大量的采樣，而多次采樣需要多次調(diào)用黑箱模型，從而增加計(jì)算時(shí)間。利用源模型在某函數(shù)基上的稀疏性表示（即源模型可通過該組函數(shù)線性表示，且對(duì)應(yīng)的系數(shù)大多為0），只需要通過少量的采樣點(diǎn)，即可求解出非零系數(shù)[5]。因此，提出稀疏響應(yīng)面方法，通過少量的采樣點(diǎn)獲得對(duì)麥弗遜懸架模型的精確逼近，基于稀疏響應(yīng)面對(duì)懸架系統(tǒng)進(jìn)行快速精確的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析和參數(shù)優(yōu)化。

1 麥弗遜懸架建模及運(yùn)動(dòng)學(xué)優(yōu)化分析

1.1 ADAMs建模

采用ADAMs軟件對(duì)某汽車的麥弗遜懸架建模，如圖1所示。硬點(diǎn)參數(shù)的初始值見表1。

圖1 麥弗遜懸架模型

表1 麥弗遜懸架運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)初始值

1.2 優(yōu)化目標(biāo)

懸架運(yùn)動(dòng)學(xué)特征一般由主銷后傾角、主銷內(nèi)傾角、車輪外傾角和前束角等參數(shù)描述。為獲得運(yùn)動(dòng)學(xué)特性參數(shù)，在ADAMs/Car中對(duì)懸架模型進(jìn)行雙側(cè)車輪同向跳動(dòng)試驗(yàn)，跳動(dòng)量設(shè)置為±對(duì)懸架模型，正號(hào)表示上跳，負(fù)號(hào)表示下跳。以此獲得各參數(shù)在跳動(dòng)試驗(yàn)中的結(jié)果，如圖2所示。

圖2 各參數(shù)在跳動(dòng)試驗(yàn)中的結(jié)果

為優(yōu)化麥弗遜懸架的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能，需要使以上參數(shù)在車輪跳動(dòng)試驗(yàn)中變化最小，并約束車輪外傾角、主銷后傾角和主銷內(nèi)傾角變化量分別不超過2°、2°和3°，約束前束角不小于-0.5°。該優(yōu)化問題是一個(gè)多目標(biāo)不等式約束優(yōu)化問題，一般可通過多目標(biāo)遺傳算法求解[6]。為簡(jiǎn)化操作，通過設(shè)置權(quán)值將多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為單目標(biāo)優(yōu)化問題。選擇車輪外傾角、主銷后傾角以及主銷內(nèi)傾角的變化量作為優(yōu)化目標(biāo)，通過給定權(quán)值轉(zhuǎn)換為單目標(biāo)優(yōu)化問題。目標(biāo)函數(shù)可表達(dá)為式（1）。

式中：u為包括設(shè)計(jì)變量的向量；lb和ub是設(shè)計(jì)變量的上下限；f1(u)、f2(u)、f3(u)、f4(u)為試驗(yàn)中的外傾角、主銷后傾角、主銷內(nèi)傾角和前束角的取值，對(duì)應(yīng)車輪外傾角、主銷后傾角、主銷內(nèi)傾角的變化量；c4(u)為前束的最小值；α1、α2、α3為優(yōu)化目標(biāo)的權(quán)值，此處均選為1。

1.3 設(shè)計(jì)變量選擇

為挑選出對(duì)優(yōu)化目標(biāo)影響較大的設(shè)計(jì)變量，對(duì)懸架模型的設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行靈敏度分析，把靈敏度高的參數(shù)確定為設(shè)計(jì)變量。首先在ADAMs/Insight模塊中以拉丁超立方設(shè)計(jì)（Latin Hypercube Design，LHD）的采樣優(yōu)化方法進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)，選擇出可能有影響的30個(gè)硬點(diǎn)參數(shù)，設(shè)置每個(gè)因子的變化量在-10～10 mm，進(jìn)行32次迭代后取靈敏度最大的6個(gè)設(shè)計(jì)變量，分別為：下控制臂外側(cè)硬點(diǎn)x坐標(biāo)（lca_outer.x）、下控制臂外側(cè)硬點(diǎn)y坐標(biāo)（lca_outer.y）、下控制臂外側(cè)硬點(diǎn)z坐標(biāo)（lca_outer.z）、阻尼器上端硬點(diǎn)y坐標(biāo)（top_mount.y）、阻尼器上端硬點(diǎn)z坐標(biāo)（top_mount.z）、下控制臂內(nèi)前側(cè)硬點(diǎn)y坐標(biāo)（lca_front.y），硬點(diǎn)位置詳見圖1標(biāo)注。將所選6個(gè)設(shè)計(jì)變量分別命名為u1、u2、u3、u4、u5、u6，給定6個(gè)設(shè)計(jì)變量的設(shè)計(jì)空間為±30 mm，即可得：

2 稀疏響應(yīng)面模型

2.1 稀疏響應(yīng)面構(gòu)建方法

2.1.1 稀疏響應(yīng)面數(shù)學(xué)模型

稀疏響應(yīng)面以多項(xiàng)式響應(yīng)面為基礎(chǔ)，可表示為線性模型：

或矩陣形式：

式中：x= [x1, …,xm]是一個(gè)設(shè)計(jì)采樣點(diǎn)，m是響應(yīng)面變量個(gè)數(shù)；{?i(x)}i=1,2,…,p是構(gòu)成響應(yīng)面的基函數(shù)，又稱原子，p是原子個(gè)數(shù)；φθ是基函數(shù)集合，又稱字典；是對(duì)應(yīng)原子的系數(shù)；φθ是系數(shù)向量。選擇一組Legendre多項(xiàng)式作為基函數(shù)，由于Legendre多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單易于構(gòu)造，更重要的是在定義區(qū)間[-1,1]上關(guān)于l2范數(shù)正交，且該正交性的優(yōu)點(diǎn)在由單變量擴(kuò)展至多變量時(shí)能保留，所以Legendre多項(xiàng)式函數(shù)表達(dá)式通過循環(huán)定義獲得：

設(shè)

則

多變量響應(yīng)面的基函數(shù)由單變量Legendre多項(xiàng)式的張量積構(gòu)成。定義?i(x)為：

jjjjj

字典原子的個(gè)數(shù)需要權(quán)衡字典表達(dá)能力和求解的穩(wěn)定性。字典的規(guī)模過小，不足以表達(dá)采樣點(diǎn)所體現(xiàn)的模型特征和函數(shù)關(guān)系。相反，字典規(guī)模過大，系數(shù)求解方程會(huì)變成嚴(yán)重的欠定問題，求解穩(wěn)定性變差。GRIBONVAL等[7]指出采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)n應(yīng)至少是原子個(gè)數(shù)p的15%。在本模型中，取p= 6n。為避免過擬合并減少運(yùn)算量，在選擇Legendre多項(xiàng)式函數(shù)構(gòu)造原子時(shí)優(yōu)先選擇低階次的函數(shù)，即從0階多項(xiàng)式往后選取。選擇多變量模型的原子構(gòu)造時(shí)亦遵循該準(zhǔn)則，控制總階次盡量小。

響應(yīng)面采樣位置的確定由LHD[8]獲得。LHD采樣將設(shè)計(jì)空間均勻劃分成采樣數(shù)量n個(gè)子區(qū)間，在每個(gè)子區(qū)間隨機(jī)選取一個(gè)采樣點(diǎn)，體現(xiàn)為均勻隨機(jī)性。均勻性可保證采樣到源模型的全局特征，隨機(jī)性可以降低字典中原子的相關(guān)性，有利于分辨表達(dá)不同特征的原子。

可得到稀疏響應(yīng)面模型為：

式中：s為稀疏響應(yīng)面模型的稀疏度要求。

2.1.2 稀疏響應(yīng)面模型求解

源模型在多項(xiàng)式基上的稀疏度是未知的，為構(gòu)建稀疏的響應(yīng)面模型，通過求解下式來獲得基函數(shù)的系數(shù)：

由于?0范數(shù)問題是非凸的NP難問題，采用松弛方法，將其松弛到?1范數(shù)：

式（8）是可求解的凸優(yōu)化問題，寫成其拉格朗日乘子形式：

式（9）是最小絕對(duì)值收斂和選擇算子、套索算法 （Least Absolute shrinkage and selection Operator，LAssO）回歸模型。LAssO回歸具有原子選擇和系數(shù)收縮功能。變量選擇可以生成稀疏的響應(yīng)面模型，系數(shù)收縮通過犧牲模型訓(xùn)練精度提高了預(yù)測(cè)能力。LAssO提供稀疏模型的能力已經(jīng)在統(tǒng)計(jì)學(xué)領(lǐng)域被證明。LAssO模型可以采用最小角回歸[9]（Least Angle Regression，LAR）方法求解，并可借助Matlab的工具箱得到。稀疏響應(yīng)面的構(gòu)建流程見表2。

“研發(fā)這塊我們還是挺給力的！”余保寧介紹，2018年，燕塘乳業(yè)設(shè)立了博士后科研工作站，成功通過國(guó)家優(yōu)質(zhì)乳工程驗(yàn)收?！叭珖?guó)僅有光明、三元、燕塘等十幾家乳企通過了優(yōu)質(zhì)乳工程認(rèn)證。這應(yīng)該是目前全國(guó)最領(lǐng)先的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，標(biāo)志著我們國(guó)家真正從有奶喝到喝好奶！”

2.2 懸架運(yùn)動(dòng)學(xué)特性響應(yīng)面

由式（1）可知，麥弗遜獨(dú)立懸架的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性優(yōu)化是帶有非線性約束的優(yōu)化問題。采用稀疏響應(yīng)面構(gòu)建方法分別構(gòu)建4個(gè)約束響應(yīng)面由式（1）可知，目標(biāo)函數(shù)由c1，c2，c3相加，所以不需要單獨(dú)構(gòu)建目標(biāo)響應(yīng)面，取對(duì)應(yīng)的3個(gè)約束響應(yīng)面的響應(yīng)值的和即可。

表2 稀疏響應(yīng)面構(gòu)建流程

利用ADAMs/Insight模塊在設(shè)計(jì)空間[lb,ub]內(nèi)通過LHD生成60個(gè)采樣點(diǎn)，進(jìn)行雙側(cè)車輪同向跳動(dòng)試驗(yàn)，輸出7個(gè)目標(biāo)值，即外傾角最大值，式（1）中maxf1(u)；外傾角最小值 ，式（1）中minf1(u)；主銷后傾角最大值，式（1）中maxf2(u)；主銷后傾角最小值，式（1）中minf2(u)；主銷內(nèi)傾角最大值，式（1）中maxf3(u)；主銷內(nèi)傾角最小值，式（1）中minf3(u)；前束角最小值，式（1）中minf4(u)，就可得到約束響應(yīng)面的響應(yīng)值。利用60個(gè)采樣點(diǎn)的位置和對(duì)應(yīng)的響應(yīng)值，通過2.1節(jié)介紹的方法，可構(gòu)建出約束響應(yīng)面。

3 懸架運(yùn)動(dòng)學(xué)特性優(yōu)化

3.1 優(yōu)化方法

多變量非線性不等式約束優(yōu)化問題通?？捎脙?nèi)點(diǎn)法[10]、序列二次規(guī)劃、信賴域法[11]、遺傳算法[12]等方法求解。序列二次規(guī)劃方法在處理中小規(guī)模問題時(shí)計(jì)算速度快、精度高，并可通過Matlab工具箱調(diào)用該模塊工作。因此，本文選擇序列二次規(guī)劃方法對(duì)麥弗遜懸架運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)響應(yīng)面進(jìn)行優(yōu)化。

整理式（1）的序列二次規(guī)劃參數(shù)，見表3。

表3 麥弗遜懸架優(yōu)化參數(shù)表

3.2 對(duì)比方法

為驗(yàn)證和比較所提出的稀疏響應(yīng)面方法，選擇了工程上常用的Kriging模型構(gòu)建相同的約束響應(yīng)面和目標(biāo)響應(yīng)面。

Kriging模型選擇常數(shù)基函數(shù)和高斯關(guān)聯(lián)模型，關(guān)聯(lián)參數(shù)的初始值為θ0=1m×1，邊界值為(i=1,… ,m)，其中m是變量個(gè)數(shù)，而1m×1表示元素全為1的向量。為使對(duì)比條件一致，構(gòu)建約束Kriging模型和目標(biāo)Kriging模型所用的采樣點(diǎn)和稀疏響應(yīng)面一致，所采用的優(yōu)化也是通過調(diào)用Matlab軟件的序列二次規(guī)劃算法工具箱實(shí)現(xiàn)。

3.3 優(yōu)化結(jié)果及分析

調(diào)用Matlab工具箱進(jìn)行優(yōu)化，分別將稀疏響應(yīng)面模型和Kriging模型的最優(yōu)解代入ADAMs/Car中進(jìn)行仿真試驗(yàn)，得到優(yōu)化前后各目標(biāo)變量數(shù)值對(duì)比，見表4。

表4 目標(biāo)變量?jī)?yōu)化前后數(shù)值對(duì)照表

由表4可知，基于稀疏響應(yīng)面方法和Kriging模型優(yōu)化出的結(jié)果均較優(yōu)化前有明顯提高。優(yōu)化目標(biāo)值由原來的5.917°分別降至3.158°（減少46.6%）和3.719 4°（減少37.1%），稀疏響應(yīng)面方法優(yōu)化的結(jié)果比Kriging模型優(yōu)化的結(jié)果高了9.5個(gè)百分點(diǎn)。值得注意的是，基于稀疏響應(yīng)面方法的優(yōu)化結(jié)果各定位參數(shù)變換值均滿足約束的要求，而基于Kriging模型優(yōu)化的結(jié)果中主銷后傾角的變化值為2.068 4°，超出了2°的約束，這是約束Kriging模型的精度不夠?qū)е碌模炔粔虻脑蛑饕且驗(yàn)椴蓸狱c(diǎn)過少。

該懸架原始參數(shù)和基于稀疏響應(yīng)面優(yōu)化后的參數(shù)在ADAMs/Car中仿真試驗(yàn)的對(duì)比曲線，如圖3所示。

圖3 各目標(biāo)變量?jī)?yōu)化前后曲線對(duì)比

由表4可知，優(yōu)化后的4個(gè)定位參數(shù)包括車輪外傾角、主銷后傾角、主銷內(nèi)傾角以及車輪前束角的變化量都有明顯減小。由圖3可知，車輪外傾角、主銷內(nèi)傾角和車輪前束角的優(yōu)化更加突出，特別是前束角的變化量，雖然沒有被列為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，但在優(yōu)化過程中其值也有明顯改善。

4 結(jié)論

本文提出了一種基于稀疏響應(yīng)面和序列二次規(guī)劃算法的麥弗遜懸架運(yùn)動(dòng)學(xué)性能優(yōu)化方法。通過一組僅60個(gè)非自適應(yīng)采樣點(diǎn)，構(gòu)建了4個(gè)6維的約束稀疏響應(yīng)面和1個(gè)目標(biāo)稀疏響應(yīng)面。通過序列二次規(guī)劃算法，基于所構(gòu)建的稀疏響應(yīng)面，對(duì)懸架進(jìn)行了含非線性約束的優(yōu)化。優(yōu)化結(jié)果表明，目標(biāo)函數(shù)值由5.917°優(yōu)化至3.158°，減少了46.6%，且滿足所有的約束要求。將所提出的稀疏響應(yīng)面方法和工程上常用的Kriging模型方法進(jìn)行了對(duì)比，基于Kriging模型的優(yōu)化結(jié)果中，目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)值由5.917°優(yōu)化至3. 7194°，僅減少37.1%，且主銷后傾角不滿足約束要求。由結(jié)果對(duì)比可知，本文所提出的方法較常用的Kriging模型優(yōu)化法具有更高的精度，能夠很好地解決工程中的非線性約束多目標(biāo)優(yōu)化問題。