基于AIC準(zhǔn)則判斷鋰電池最優(yōu)模型

李國(guó)春，王恩龍，王麗梅，盤(pán)朝奉

（1.江蘇大學(xué) 汽車(chē)與交通工程學(xué)院，江蘇，鎮(zhèn)江 212013；2.江蘇大學(xué) 汽車(chē)工程研究院，江蘇，鎮(zhèn)江 212013）

當(dāng)前電動(dòng)汽車(chē)相關(guān)技術(shù)飛速發(fā)展，電池管理系統(tǒng)（Battery Management system，BMs）作為新能源汽車(chē)技術(shù)的重要組成部分，受到國(guó)內(nèi)外科研人員的廣泛關(guān)注。目前，主要有等效電路模型[1]、電化學(xué)模型[2]及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[3]用于BMs開(kāi)發(fā)中。這3種模型在模型參數(shù)辨識(shí)方法、使用范圍及模型精度等方面各有優(yōu)勢(shì)，但大多數(shù)研究只關(guān)注電池模型的預(yù)測(cè)精度，而忽視模型結(jié)構(gòu)復(fù)雜度和預(yù)測(cè)精度之間的平衡問(wèn)題[4]。對(duì)于基于嵌入式系統(tǒng)所開(kāi)發(fā)的BMs而言，電池模型的精度與復(fù)雜度將影響電池管理系統(tǒng)的決策和控制，因此，精確建模和模型簡(jiǎn)約之間的權(quán)衡是BMs開(kāi)發(fā)中一個(gè)難以避免的關(guān)鍵問(wèn)題[5-6]。

本文選用不同階次的等效電路模型對(duì)動(dòng)力電池進(jìn)行建模研究，基于赤池信息量準(zhǔn)則對(duì)模型的結(jié)構(gòu)復(fù)雜度和預(yù)測(cè)精度進(jìn)行系統(tǒng)的評(píng)價(jià)和分析，得到最適合工程應(yīng)用的動(dòng)力電池模型。

1 電池模型建立及數(shù)學(xué)描述

1.1 電池模型建立

n階RC等效電路模型的原理圖如圖1所示。該模型由電壓源、歐姆內(nèi)阻、不同階次RC網(wǎng)路（i=0,…,n）組成，其中，Uoc為電池開(kāi)路電壓，R0為電池歐姆內(nèi)阻，Ri為電池極化內(nèi)阻，Ci為電池極化電容，Ri和Ci并聯(lián)用于模擬電池動(dòng)態(tài)特征，U為電池端電壓。

圖1 n-RC等效電路模型原理

1.2 模型數(shù)學(xué)描述

基于基爾霍夫定律，建立上述n-RC等效電路模型電路描述方程，具體表達(dá)式為：

式中：i=0,…,n；Ui為極化電壓，V。對(duì)Ui進(jìn)行離散化求解可得：

式中：t為系統(tǒng)采樣周期；Ik為k時(shí)刻的電流；Ui,k為第i個(gè)RC網(wǎng)路在k時(shí)刻下的極化電壓；如果已知模型參數(shù)和電流電壓值，可得：

1.2.1i= 0

當(dāng)i=0時(shí)，n-RC等效電路模型可轉(zhuǎn)化為Rint模型，根據(jù)式（3），電池輸出電壓與輸入電流關(guān)系如下：

采用Z變換法將模型推導(dǎo)為基于時(shí)域的數(shù)學(xué)表達(dá)式，將式（4）轉(zhuǎn)化為輸入輸出方程yk=θkΦk形式可描述為：

為區(qū)分方便，采用下標(biāo)的方式描述模型階次n，如y0,k表示模型階次為0時(shí)系統(tǒng)的輸出變量，■表示模型階次為0時(shí)系統(tǒng)的系數(shù)矩陣，表示模型階次為0時(shí)系統(tǒng)數(shù)據(jù)矩陣，下角標(biāo)k表示數(shù)據(jù)值為tk時(shí)刻的值。

1.2.2i= 1

當(dāng)i=1時(shí)，n-RC等效電路模型轉(zhuǎn)化為T(mén)hevenin模型，假設(shè)：根據(jù)式（3），則電池輸出電壓與輸入電流的數(shù)學(xué)關(guān)系如下：

針對(duì)極化電壓Ui，從離散時(shí)間轉(zhuǎn)換到Z域如下：

整理可得：

求逆拉普拉斯變換可得：

將式（10）轉(zhuǎn)化為輸入輸出方程yk=θkΦk，得：

其中，歐姆內(nèi)阻和開(kāi)路電壓可從式（11）中推導(dǎo)出，表達(dá)式如下：

1.2.3i= 2

當(dāng)i= 2時(shí)，n-RC等效電路模型轉(zhuǎn)化為DP模型，假設(shè)：根據(jù)式（3），則電池輸出電壓與輸入電流的數(shù)學(xué)關(guān)系如下：

將其代入式（13）中得：

求逆拉普拉斯變換可得：

其中，歐姆內(nèi)阻和開(kāi)路電壓可從式（17）中解析出：

1.2.4i=n

當(dāng)i=n時(shí)，電池輸出電壓與輸入電流的數(shù)學(xué)關(guān)系如式（3）所示，根據(jù)Z變換法則，可將式（3）化簡(jiǎn)為：

式中：ai（i=1,…,n），ci（i=0,…,n）為模 型 的辨識(shí)參數(shù)。同理，可將該式轉(zhuǎn)化為輸入輸出方程yk=θkΦk的形式，如下：

其中，歐姆內(nèi)阻和開(kāi)路電壓可以基于式（12）和式（18）的規(guī)律推導(dǎo)得出：

2005年以來(lái)，黃河流域水質(zhì)總體惡化趨勢(shì)初步得到遏制。其中，黃河干流水質(zhì)呈好轉(zhuǎn)趨勢(shì)，主要支流水質(zhì)類(lèi)別雖無(wú)較大變化，但主要污染物濃度有所下降，尤其以污染較重的渭河、洛河較為明顯。

當(dāng)模型的階次較高時(shí)，系統(tǒng)的系數(shù)矩陣難以推導(dǎo)，當(dāng)n＞60后，單位采樣時(shí)間內(nèi)電池荷電狀態(tài)（state of Charge，sOC）對(duì)時(shí)間的變化率不再近似等于0，而是逐漸接近2%[7]。同時(shí)，較高階數(shù)的模型復(fù)雜度也會(huì)相應(yīng)增加，不利于動(dòng)力BMs的運(yùn)算。因此，本文僅討論模型階數(shù)在3階以?xún)?nèi)的情況。

2 模型參數(shù)辨識(shí)

2.1 模型參數(shù)離線辨識(shí)

本研究使用的電池單體為江蘇春蘭新能源公司生產(chǎn)的40 Ah/3.7 V的方形三元材料鋰動(dòng)力電池，電池外形尺寸為36 mm×130 mm×150 mm?；旌厦}沖功率特性（Hybrid Pulse Power Characterization，HPPC）、簡(jiǎn)化聯(lián)邦城市行駛工況（Dynamic stress Cycle，DsT）試驗(yàn)充放電設(shè)備是寧波拜特有限公司提供的動(dòng)力電池測(cè)試系統(tǒng)NBT30V100AC4-T系列。無(wú)錫索亞特小型高低溫濕熱交變?cè)囼?yàn)箱提供相應(yīng)的環(huán)境溫度和濕度條件。所有試驗(yàn)在恒溫 25 ℃，濕度30%的工況下進(jìn)行。

等效電路模型中需辨識(shí)參數(shù)有開(kāi)路電壓Uoc、歐姆內(nèi)阻R0、極化內(nèi)阻Ri及電容Ci。建立這些參數(shù)與sOC間的函數(shù)關(guān)系，在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，通過(guò)估算得到的sOC即可獲取相關(guān)模型參數(shù)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)電池電壓的預(yù)測(cè)。本文參考《FreedomCAR電池實(shí)驗(yàn)手冊(cè)》里的混合脈沖試驗(yàn)原理，利用HPPC試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行模型參數(shù)辨識(shí)，辨識(shí)原理如圖2所示。

圖2 脈沖放電過(guò)程中部分端電壓和電流相應(yīng)曲線

圖2中，t1至t2時(shí)間段電池電壓變化過(guò)程稱(chēng)為零狀態(tài)響應(yīng)，t3至t4時(shí)間段電池電壓變化過(guò)程稱(chēng)為零輸入響應(yīng)。根據(jù)零狀態(tài)響應(yīng)建立放電階段方程：

式中：τi為時(shí)間常數(shù)(τi=RiCi)。本文采用文獻(xiàn)[8]中的指數(shù)擬合法得到模型中的RC網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)，指數(shù)擬合函數(shù)的表達(dá)式為：

比較式（22）和式（23）可得：

通過(guò)式（24）可以計(jì)算出模型中的各個(gè)參數(shù)。但使用該方法求取R0的過(guò)程中，因開(kāi)路電壓（Open Circuit Voltage，OCV）與sOC的函數(shù)關(guān)系耦合影響會(huì)給平臺(tái)電壓區(qū)帶來(lái)較大誤差，所以將采用下面的方法求解電池歐姆內(nèi)阻。

由圖2可知，在放電開(kāi)始時(shí)刻電池電壓出現(xiàn)階躍式下降。這是電池歐姆內(nèi)阻造成的，所以可通過(guò)式（25）計(jì)算電池歐姆內(nèi)阻：

2.2 模型參數(shù)在線辨識(shí)

由于電池系統(tǒng)的時(shí)變性，實(shí)際應(yīng)用中的模型參數(shù)會(huì)隨著循環(huán)次數(shù)、電池容量、外界溫度等因素發(fā)生改變，采用初始辨識(shí)參數(shù)估算出長(zhǎng)期使用后的電池特性會(huì)產(chǎn)生較大偏差。因此，需實(shí)時(shí)測(cè)量電池電流、電壓和溫度來(lái)對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行在線辨識(shí)，以保證模型精度與適應(yīng)性。

參數(shù)在線辨識(shí)的方法主要有遺傳算法、最小二乘法、極大似然算法、卡爾曼濾波法和預(yù)報(bào)誤差法等。隨著計(jì)算步數(shù)的無(wú)限增加，原始數(shù)據(jù)的積累會(huì)越來(lái)越多，致使新輸入的數(shù)據(jù)很難對(duì)前面的估計(jì)值做出修正，從而影響對(duì)其后的參數(shù)估計(jì)效果，且在實(shí)時(shí)系統(tǒng)中可能表現(xiàn)得更為明顯。為了避免類(lèi)似情況，提出了含有遺忘因子λ的遞推最小二乘法 ——遺忘因子算法 （Forgetting Factor Algorithm，F(xiàn)F），它能夠有效克服“數(shù)據(jù)飽和 ”，防止估計(jì)發(fā)散[9]。FF的基本計(jì)算方程為：

式中：ek為零均值白噪聲，符號(hào)定義與式（20）一樣，含有遺忘因子λ的遞推最小二乘法的公式為：

式中：λ為遺忘因子，一般情況下λ=0.95～1，λ越小，算法跟蹤能力越強(qiáng)，但也有可能會(huì)引起算法的波動(dòng)，當(dāng)λ=1時(shí)，式（27）即為普通的遞推最小二乘法；K為算法增益；P為狀態(tài)估計(jì)值的誤差協(xié)方差矩陣。

3 模型階次選擇

3.1 基于離線參數(shù)的建模方法

根據(jù)2.1節(jié)采用的動(dòng)力電池參數(shù)離線辨識(shí)方法，可得到各個(gè)階次模型的不同sOC下的模型參數(shù)。根據(jù)這些參數(shù)基于simulink平臺(tái)建立不同RC網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的等效電路仿真模型，以Thevenin 模型為例，如圖3所示。其中，模型參數(shù)采用simulink元件庫(kù)中的1-D Lookup Table建立Map來(lái)映射關(guān)系，如圖4所示。

圖5為不同階次電池開(kāi)路電壓的辨識(shí)結(jié)果，圖6為電池不同階次模型的預(yù)測(cè)誤差對(duì)比。由圖5可知，帶有RC網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的等效電路模型開(kāi)路電壓的辨識(shí)

圖3 動(dòng)力電池simulink仿真模型

圖4 利用1D Lookup Table建立的模型參數(shù)Map圖

圖5 基于HPPC工況的單體開(kāi)路電壓辨識(shí)結(jié)果（離線）

圖6 基于HPPC工況的單體電壓辨識(shí)誤差（離線）

結(jié)果較為接近，平均偏差只有2.3 mV，而基于Rint模型的開(kāi)路電壓辨識(shí)結(jié)果與帶有RC網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的模型偏差較大，最大偏差達(dá)53.4 mV，平均偏差也在30.7 mV。為比較各階數(shù)模型的精度與效率，采用相關(guān)程度評(píng)價(jià)系數(shù)R-square，以及誤差絕對(duì)值的最大值、平均值、標(biāo)準(zhǔn)差、仿真計(jì)算時(shí)間這5個(gè)參數(shù)來(lái)進(jìn)行不同RC網(wǎng)絡(luò)等效電路模型精度的分析與評(píng)價(jià)，見(jiàn)表1。其中，R-square值是由各個(gè)模型參數(shù)辨識(shí)過(guò)程中，相同sOC區(qū)間的數(shù)據(jù)擬合得到的，其值可以反映擬合程度的好壞，越接近1，說(shuō)明擬合結(jié)果越好。為了客觀評(píng)價(jià)誤差值，所有誤差統(tǒng)計(jì)結(jié)果均使用預(yù)測(cè)誤差的絕對(duì)值。例如，表1為使用上述5個(gè)參數(shù)來(lái)進(jìn)行不同RC網(wǎng)絡(luò)等效電路模型精度分析與評(píng)價(jià)的結(jié)果。

表1 基于離線參數(shù)的電壓預(yù)測(cè)誤差

由表1可知，Rint模型的R-square值最小，電壓預(yù)測(cè)誤差較大，最大誤差為97.94 mV，而帶有RC網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的模型，其預(yù)測(cè)電壓誤差在45 mV以?xún)?nèi)，可見(jiàn)，若不考慮RC網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，電池開(kāi)路電壓辨識(shí)結(jié)果與模型預(yù)測(cè)電壓誤差較大，因此，Rint模型并不適用于電池特性描述。為權(quán)衡模型精度與復(fù)雜度，根據(jù)式（28）和式（29）計(jì)算前三階等效電路模型的赤池信息值[9]。由于n<

式中：L為數(shù)據(jù)的長(zhǎng)度；為最優(yōu)參數(shù)下的平方和，計(jì)算公式為：

式中：yk為電池端電壓的測(cè)量值；為基于模型的端電壓仿真值。計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2。

若以AIC作為判斷模型精度和復(fù)雜度的指標(biāo)，AIC越小，模型越優(yōu)，當(dāng)n=1時(shí)，AIC最小，即Thevenin 模型更適合描述三元鋰離子動(dòng)力電池。由于Rint模型精度低，其AIC的值大于Thevenin模型和DP模型；根據(jù)表1結(jié)果可知，帶有RC網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的模型預(yù)測(cè)精度并不懸殊，結(jié)合表2可以看出，模型復(fù)雜度是影響AIC值的主要因素，因此，Thevenin模型最優(yōu)。

表2 基于離線參數(shù)的AIC

3.2 基于在線辨識(shí)參數(shù)的建模方法

根據(jù)多次辨識(shí)經(jīng)驗(yàn)，選定遺忘因子為 0.999進(jìn)行在線參數(shù)辨識(shí)，辨識(shí)結(jié)果如圖7和圖8所示。

圖7 單體開(kāi)路電壓辨識(shí)結(jié)果（在線）

圖8 單體電壓辨識(shí)誤差（在線）

圖7為在線辨識(shí)的前三階RC等效電路模型開(kāi)路電壓，圖8為前三階RC等效電路模型估計(jì)電壓誤差對(duì)比。由圖7可知，不同RC網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)電池模型辨識(shí)的開(kāi)路電壓值較為接近，四者之間的最大偏差為19.35 mV，平均偏差為2.75 mV，表明使用在線辨識(shí)法得到的開(kāi)路電壓隨sOC的變化關(guān)系較用離線辨識(shí)法得到相應(yīng)關(guān)系更為精確。由圖8可知，帶有RC網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的等效電路模型電壓預(yù)測(cè)誤差相差不大，都在15 mV以?xún)?nèi)，而不帶RC網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的等效電路模型電壓預(yù)測(cè)誤差最大達(dá)到62.48 mV，同樣驗(yàn)證了Rint模型并不適合三元鋰離子電池。為詳細(xì)分析和評(píng)價(jià)模型的估計(jì)精度，使用不同RC網(wǎng)絡(luò)模型估計(jì)誤差的絕對(duì)值進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，結(jié)果見(jiàn)表3。

表3 基于HPPC工況的電壓預(yù)測(cè)誤差

由表3可知，Rint模型不論是平均誤差還是最大誤差都遠(yuǎn)高于其它階次模型，其AIC值最大。通過(guò)對(duì)不同階次模型誤差的絕對(duì)值進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，盡管n=3時(shí)的預(yù)測(cè)最大誤差優(yōu)于n=2，但RC網(wǎng)絡(luò)數(shù)越多，辨識(shí)時(shí)間越長(zhǎng)，增加了計(jì)算時(shí)間。通過(guò)AIC可得出，n=1時(shí)的模型最優(yōu)。為驗(yàn)證該方法的適應(yīng)性，同時(shí)使用DsT工況進(jìn)行分析，單體電壓辨識(shí)結(jié)果如圖9所示，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表4。

表4 基于DsT工況的電壓預(yù)測(cè)誤差（在線）

由于DsT工況電流變化較為復(fù)雜，根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分析可知，不同階次等效電路模型的最大誤差、平均誤差及AIC值與HPPC工況相比較數(shù)值增大，但是根據(jù)AIC判定，同樣可以得到n=1時(shí)的模型最優(yōu)。

綜上所述，基于離線和在線參數(shù)的建模方法均得到Thevenin 模型最適合三元鋰離子動(dòng)力電池建模。通過(guò)比較圖6、圖8和表2、表3，基于在線數(shù)據(jù)的參數(shù)辨識(shí)方法得到的開(kāi)路電壓和端電壓比使用離線數(shù)據(jù)參數(shù)辨識(shí)方法得到的相應(yīng)結(jié)果更優(yōu)。

圖9 單體電壓辨識(shí)結(jié)果（在線）

4 結(jié)論

本文基于AIC，充分考慮了模型離線和在線參數(shù)辨識(shí)方法的優(yōu)缺點(diǎn)，提出了定量評(píng)價(jià)模型結(jié)構(gòu)復(fù)雜度和預(yù)測(cè)精度綜合性能函數(shù)，以判斷鋰離子電池最優(yōu)模型。通過(guò)離線和在線參數(shù)的建模方法，對(duì)不同RC階次的等效電路模型進(jìn)行AIC分析，結(jié)果表明，一階RC等效電路模型最適合鋰離子動(dòng)力電池精確建模。