高考中的函數(shù)方程思想考法

◎曹學(xué)勤

高考數(shù)學(xué)考的主要是高中數(shù)學(xué)的基本知識和數(shù)學(xué)的應(yīng)用。而近幾年更加突出了數(shù)學(xué)的應(yīng)用，對數(shù)學(xué)思想考察比例的加大就是一個標(biāo)志。常見的四種數(shù)學(xué)思想中函數(shù)方程是非常重要的。結(jié)合2019年高考，我們來看一下對函數(shù)方程思想的考察形式，以便我們在復(fù)習(xí)中要針對性的做好工作。

函數(shù)方程思想方法本身就是一種解題方法同時也是數(shù)形結(jié)合的前提。所謂的“數(shù)形結(jié)合”中的數(shù)指的都是函數(shù)，形指的就是函數(shù)的圖像。利用圖像來解決問題。如果沒有發(fā)掘出函數(shù)，當(dāng)然就沒有圖像，更談不上結(jié)合。結(jié)合2019年高考題，我們來探討一下有關(guān)函數(shù)方程思想的考察方法和規(guī)律。

以全國卷I為例，2019年的文科第3題是：已知a=log20.2，b=20.2，c=0.20.3，則（）

A.a＜b＜c B.a＜c＜b C.c＜a＜b D.b＜c＜a

比較大小很多時候要用到函數(shù)的單調(diào)性。三個數(shù)是的具體準(zhǔn)確數(shù)值是得不到的。這時可以考察三個函數(shù)y=log2x，y=2x，y=0.2x，分別當(dāng)x=0.2和0.3時的函數(shù)值。只需將三個函數(shù)的圖像做出來，根據(jù)所描點的高低不同，很容易比較出三個數(shù)值的大小。這個題考察的是什么，形式上是比較指數(shù)和對數(shù)的大小，實際上考察了函數(shù)的知識和應(yīng)用。除了基本知識，更重要的是應(yīng)用，這是用函數(shù)圖像來估計函數(shù)值！典型的函數(shù)方程是思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。以比大小的形式考察了指對函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)。

函數(shù)方程思想遠不止解決類似于以上這些涉及函數(shù)的問題，其實，在其他的內(nèi)容中也有很多可以利用函數(shù)來解決的問題。2019年高考文科試題的第18題：記Sn為等差數(shù)列｛an｝的前n項和，已知S9=-a5.

（1）若a3=4，求｛an｝的通項公式；（2）若a1＞0，求使得sn≥an的n的取值范圍.

這是這是一道數(shù)列題，怎么解決，要用函數(shù)。數(shù)列實際上是定義域特殊的函數(shù)，很多數(shù)列的問題往往可以用函數(shù)辦法來解決。比如常見的求數(shù)列的最值項，求數(shù)列前n項和的最值等，都是將數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的函數(shù)來解決旳。常見的考題中，通項公式an=f（n）和前項和公式sn=g（n）的相關(guān)問題比較多見。從形式上就體現(xiàn)出這就是定義域為正整數(shù)的函數(shù)。而這道題，把函數(shù)和數(shù)列結(jié)合的更加完美巧妙。對于條件sn≥an，代入了等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式，就變?yōu)榱艘粋€關(guān)于n的一元二次不等式。這不就是一元二次函數(shù)的應(yīng)用嗎？典型的函數(shù)方程思想的應(yīng)用。這道題出題更加明顯的強調(diào)了函數(shù)在解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用。

第20題本身就是函數(shù)的問題。21題第一問已知點A，B關(guān)于坐標(biāo)原點O對稱，|AB|=4，圓M過點A，B且與直線x+2=0相切.（1）若A在直線x+y=0上，求圓M的半徑；很多學(xué)生覺得這道題難，其實是函數(shù)方程意識不好。其實就是簡單的將條件中的方程列出，然后解方程即可。再比如2018年高考理科20題，一道概率題，問的是這樣每一件產(chǎn)品不合格概率為p，20件產(chǎn)品中恰有2件不合格概率為f（p），求f（p）的最大值點P0。這題完美的將獨立事件恰好發(fā)生k次的概率和函數(shù)問題完美的結(jié)合。

以上幾個題，看似數(shù)列，概率等問題，而實質(zhì)上都在考察函數(shù)！不難看出，函數(shù)方程的考察在高考中占有了重要的地位。隨著新課改的實施和對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)考察的加強，對數(shù)學(xué)思想的考察必將進一步加強。那我們怎樣復(fù)習(xí)，才能讓學(xué)生取得更好的成績呢。在平常的教學(xué)工作中要做到以下：

第一，基礎(chǔ)知識的脈絡(luò)體系要清晰明了。對于函數(shù)方程這一塊，要讓學(xué)生清清楚楚的知道他分為兩部分，函數(shù)的基本概念和應(yīng)用。基本概念包括函數(shù)的定義，函數(shù)的性質(zhì)，主要有單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性等。還有常見的基本初等函數(shù)：一次函數(shù)，二次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、指對函數(shù)、三角函數(shù)等。當(dāng)然還要知道他們的簡單復(fù)合。沒有這一系列的函數(shù)知識基礎(chǔ)，是談不上函數(shù)方程思想的。第二，要有應(yīng)用函數(shù)的意識。在平常的教學(xué)中，要有意識的強化學(xué)生應(yīng)用函數(shù)方程思想解決問題的意識。對于這個問題，在教學(xué)中可以總結(jié)一些套路，然后再培養(yǎng)靈活利用的意識。比如說一些涉及到最值的問題，學(xué)生看到最值“最值”這個標(biāo)志就會想想能否用函數(shù)來求最值呢，久而久之就慢慢培養(yǎng)了應(yīng)用函數(shù)方程思想解決問題的意識。

第二，教學(xué)中要做到理論實踐結(jié)合，挖掘教材的材料巧妙利用。平常的教學(xué)過程中精講精練，注意一題多解，在變式訓(xùn)練和比較中感受函數(shù)方程思想的重要性和操作方法。讓學(xué)生在應(yīng)用的過程中，解決問題的過程中不斷提高。

2019年的高考落下帷幕，它進一步指明了下一步的復(fù)習(xí)思路和方向，我們只有在平常的教學(xué)過程中，深研硬拼多下功夫，研究學(xué)生，研究教材，更要研究考試說明，才能取得更好的復(fù)習(xí)效果。