應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)推證數(shù)學(xué)中的“并聯(lián)”規(guī)律

◎秦宇峰

如果兩個(gè)三角形相似，那么三邊對(duì)應(yīng)成比例，對(duì)應(yīng)高之比等于對(duì)應(yīng)邊之比。物理在電路圖中，若兩個(gè)燈泡并聯(lián)，一個(gè)電阻為R1，另一個(gè)電阻為R2，則有R總是R1、R2的調(diào)和平均數(shù)。其實(shí)在數(shù)學(xué)中，還有許多結(jié)論也符合并聯(lián)規(guī)律。如：

1.已知：AB‖CD，AD、BC相交于E，過(guò)E作EF‖AB，交BD于F，AB=a，CD=b。求證：

總結(jié)：如果三條線段平行且構(gòu)成如圖的形狀，那么中間線段是兩邊線段的調(diào)和平均數(shù)。

2.已知AB⊥BD，CD⊥BD，AD、BC交于點(diǎn)E，EF⊥BD，AB=a，CD=b。求證

證明：∵AB⊥BD，CD⊥BD，EF⊥BD，

∴AB‖CD‖EF

以下的證明過(guò)程同第一題。

總結(jié)：如果三條線段都垂直于同一條線段且構(gòu)成如圖的形狀，那么中間線段是兩邊線段的調(diào)和平均數(shù)。

3.已知：在△ABC中，AD⊥BC，BC=a，AD=b，EFGH是正方形，E在AB上，H在AC上，F(xiàn)G在BC上，EH交AD于點(diǎn)M。求證

總結(jié)：在一個(gè)任意三角形中，如果它的內(nèi)接正方形的一邊在三角形的一邊上，那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是三角形這一邊與高的調(diào)和平均數(shù)。

4.已知：在Rt△ABC，AD⊥BC，∠BAC=90°，AB=a，AC=b，BC=c，EFGH是正方形，E在AB上，H在AC上，F(xiàn)G在BC上，EH與AD交于點(diǎn)M。求證

總結(jié)：在一個(gè)直角三角形中，如果它的內(nèi)接正方形的一邊在斜邊上，那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)等于三邊之積與兩直角邊的積加上斜邊的平方的和的商。

練習(xí)：

5.已知：在Rt△ABC，∠C=90°，BC=a，AC=b，D在AC上，E在AB上。求證

總結(jié)：在一個(gè)直角三角形中，如果它的內(nèi)接正方形的兩邊在直角邊上，那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是兩直角邊的調(diào)和平均數(shù)。

這些題的結(jié)論相同或接近，一條線段是另外兩條線段的調(diào)和平均數(shù)。記住在什么條件下可以得到什么結(jié)論，非常有助于我們解題，可以縮短思維回路，尤其針對(duì)選擇題或填空題，會(huì)起到意想不到的快捷與方便。