在課堂中數(shù)學(xué)抽象的培養(yǎng)策略研究

嚴(yán)萬(wàn)德

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)策略是指學(xué)生能夠用數(shù)學(xué)的眼光來(lái)觀察世界，發(fā)現(xiàn)、分析和解決問(wèn)題的內(nèi)在素養(yǎng)。它由數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想與方法、數(shù)學(xué)能力與觀念等組成?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確提出了六大數(shù)學(xué)教學(xué)策略，即數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析。其中，數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的第一要素，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)思維能力發(fā)展的基礎(chǔ)?，F(xiàn)在筆者從幾個(gè)方面談?wù)剶?shù)學(xué)抽象的培養(yǎng)課堂教學(xué)策略。

一、培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的概念

數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，貫穿在數(shù)學(xué)產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過(guò)程中。數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的思維過(guò)程。數(shù)學(xué)抽象主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言予以表征。

二、如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象概括能力

1.概念教學(xué)要從實(shí)例出發(fā)，培養(yǎng)觀察、發(fā)現(xiàn)與歸納能力

數(shù)學(xué)概念是培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力的極好材料。數(shù)學(xué)概念都來(lái)源于生活，在概念教學(xué)時(shí)，教師要重視聯(lián)系實(shí)際，讓數(shù)學(xué)概念有充分的現(xiàn)實(shí)意義。教師應(yīng)提供給學(xué)生豐富的、典型的、恰當(dāng)?shù)膶?shí)例，引導(dǎo)學(xué)生用自己的頭腦親自對(duì)這些實(shí)例進(jìn)行分析、綜合、比較、抽象和概括等一系列的思維活動(dòng)，去揭示概念的內(nèi)涵及概念間的相互關(guān)系，鼓勵(lì)學(xué)生去感受、發(fā)現(xiàn)、猜想、探索、概括事物的本質(zhì)屬性或規(guī)律，抓住它們的實(shí)質(zhì)和共同特征，并盡可能讓學(xué)生自己來(lái)歸納總結(jié)，提煉和完善概念。例如，在函數(shù)概念教學(xué)時(shí)，教師首先列舉一組“函數(shù)關(guān)系”例子，讓學(xué)生觀察它們的特點(diǎn)，找出共同特征，從而歸納出函數(shù)的概念。為了更進(jìn)一步理解概念，再設(shè)計(jì)一組“非函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系”。通過(guò)正反兩方面具體實(shí)例的對(duì)照與辨析，學(xué)生能更好地理解函數(shù)的概念。

2.培養(yǎng)學(xué)生類比聯(lián)想能力

類比聯(lián)想能點(diǎn)燃學(xué)生思維火花，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，促進(jìn)知識(shí)的遷移，達(dá)到活躍思維，豐富想象力，有益于培養(yǎng)學(xué)生的認(rèn)知力和抽象能力。例如，在對(duì)弧度制下扇形面積公式(其中l(wèi)是扇形的弧長(zhǎng)，r是扇形的半徑)的教學(xué)，讓學(xué)生通過(guò)觀察，發(fā)現(xiàn)扇形和三角形很相似，因此啟發(fā)學(xué)生把扇形視作曲邊三角形，三角形的面積公式是，這里扇形的弧長(zhǎng)l相當(dāng)于三角形的底，扇形的半徑r相當(dāng)于三角形的高，把扇形面積公式與三角形面積公式進(jìn)行類比，學(xué)生既容易理解，也更容易記住公式。

3.重視數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言訓(xùn)練

數(shù)學(xué)研究對(duì)象通過(guò)符號(hào)形式進(jìn)行推理和運(yùn)算，給數(shù)學(xué)理論的表述和論證帶來(lái)極大的方便。實(shí)踐證明，如果學(xué)生能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符號(hào)復(fù)述概念、解釋概念，他們對(duì)概念的理解就更深刻。例如，在高中必修2《立體幾何》教學(xué)時(shí)，學(xué)生在理解點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系時(shí)就比較抽象，理解起來(lái)比較困難，所以要讓學(xué)生學(xué)會(huì)識(shí)別圖形，包括幾何體的形狀、大??；幾何體間的位置關(guān)系；幾何體中各元素在平面上、空間中的相互位置關(guān)系以及相對(duì)于特定位置的排列順序。所以對(duì)觀察和分析就有一系列的特殊要求，在識(shí)別圖形時(shí)應(yīng)通過(guò)理解概念的本質(zhì)和圖形的性質(zhì)結(jié)合起來(lái)進(jìn)行。

符號(hào)語(yǔ)言是文字語(yǔ)言的精練簡(jiǎn)化，是對(duì)文字語(yǔ)言的抽象表達(dá)，是更深層次對(duì)概念的理解，在答題的過(guò)程中，要將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言。此外，在函數(shù)及其圖像、方程與曲線的教學(xué)中都要加強(qiáng)符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言能力的培養(yǎng)。

4.鼓勵(lì)學(xué)生提出問(wèn)題

在教學(xué)中，教師要積極鼓勵(lì)學(xué)生大膽發(fā)問(wèn)，善待學(xué)生提出的問(wèn)題，善待提出問(wèn)題的學(xué)生，設(shè)法保護(hù)學(xué)生發(fā)問(wèn)的積極性。對(duì)有價(jià)值的問(wèn)題可引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真探究解決；對(duì)沒有價(jià)值的問(wèn)題要采取妥善的方法予以處理，以保護(hù)、鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)問(wèn)的積極性。教學(xué)中鼓勵(lì)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題有利于激發(fā)學(xué)生的求知欲和創(chuàng)新思維，還可以改變學(xué)生被動(dòng)學(xué)習(xí)的狀態(tài)，使學(xué)生意識(shí)到自己是學(xué)習(xí)的主人，充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主體作用。

5.加強(qiáng)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)

運(yùn)算能力是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，如果運(yùn)算能力不過(guò)關(guān)，就會(huì)嚴(yán)重影響學(xué)生數(shù)學(xué)甚至其他理科學(xué)科的學(xué)習(xí)。高中數(shù)學(xué)由于內(nèi)容多，難度大，教學(xué)時(shí)間緊，有的教師為了能按時(shí)完成教學(xué)任務(wù)，課堂上只注重知識(shí)與方法的教學(xué)，弱化了計(jì)算能力的培養(yǎng)。然而，如果學(xué)生的運(yùn)算能力得不到應(yīng)有提高，將會(huì)嚴(yán)重制約其對(duì)知識(shí)方法的理解和應(yīng)用，影響抽象思維的發(fā)展。因此，在教學(xué)過(guò)程中，教師要有意識(shí)地設(shè)計(jì)訓(xùn)練環(huán)節(jié)，讓學(xué)生在“做“與“練”的過(guò)程中，夯實(shí)運(yùn)算能力基本功。

6.訓(xùn)練數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)建模的結(jié)合

數(shù)學(xué)建模就是把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)問(wèn)題，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題。數(shù)學(xué)建模能培養(yǎng)學(xué)生諸多方面的能力，中學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模，能增強(qiáng)他們的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，初步掌握數(shù)學(xué)建模的基本方法。首先要向?qū)W生介紹一些常用的、典型的數(shù)學(xué)模型，要強(qiáng)調(diào)建模過(guò)程，授之以漁，用典型實(shí)例構(gòu)筑實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維的觀點(diǎn)去觀察、分析和表示各種事物關(guān)系、空間關(guān)系和數(shù)學(xué)信息，從紛繁復(fù)雜的具體問(wèn)題中抽象出我們熟悉的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而達(dá)到用數(shù)學(xué)模型來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，提高他們運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行建模的能力。

三、培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的教學(xué)觀點(diǎn)

數(shù)學(xué)教學(xué)必須以培養(yǎng)和發(fā)展抽象思維能力為指導(dǎo)思想，遵循學(xué)生思維發(fā)展的規(guī)律，加強(qiáng)學(xué)生的抽象思維能力的培養(yǎng)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和綜合素質(zhì)。因此，教學(xué)過(guò)程應(yīng)遵循如下原則。

1.提倡思維型課堂教學(xué)，遵循教學(xué)雙主體原則

在課堂教學(xué)中，教師和學(xué)生的核心活動(dòng)是思維。林崇德、胡衛(wèi)平在《思維型課堂教學(xué)的理論與實(shí)踐》一文中，提出了思維型課堂教學(xué)理論。思維型課堂教學(xué)理論以聚焦思維結(jié)構(gòu)的智力理論為基礎(chǔ)，著眼于課堂教學(xué)中的思維活動(dòng)，以激發(fā)學(xué)生思維為核心，強(qiáng)調(diào)了在教學(xué)活動(dòng)中“雙主體”的師生關(guān)系的重要性，倡導(dǎo)師生的課堂互動(dòng)。思維型課堂教學(xué)有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和數(shù)學(xué)抽象概括能力。

2.課堂要給學(xué)生留下充足的思考空間

思考數(shù)學(xué)問(wèn)題需要一定的時(shí)間。不過(guò)，在高中數(shù)學(xué)課堂上，由于課時(shí)緊，內(nèi)容多任務(wù)重，教師為了能按時(shí)完成既定教學(xué)任務(wù)，通常會(huì)壓縮學(xué)生的思考時(shí)間，造成學(xué)生思考不充分、問(wèn)題探究不夠深入，嚴(yán)重影響學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。因此，教師在課堂教學(xué)時(shí)，應(yīng)適當(dāng)精簡(jiǎn)內(nèi)容，壓縮講解時(shí)間，給學(xué)生充分的課堂思考時(shí)間，讓學(xué)生的大腦得到鍛煉，促進(jìn)學(xué)生抽象思維的發(fā)展。

3.教學(xué)要直觀

數(shù)與圖形之間的聯(lián)系具有高度的抽象性，通過(guò)數(shù)與形的結(jié)合，可以將復(fù)雜的數(shù)據(jù)變得簡(jiǎn)單直觀，是培養(yǎng)學(xué)生抽象思維重要的途徑。立體幾何、解析幾何和函數(shù)等內(nèi)容，有豐富的數(shù)形結(jié)合資源。在具體的教學(xué)中，充分利用圖形的直觀性教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)以深入細(xì)致的觀察，通過(guò)分析、綜合、歸納、概括，讓學(xué)生在數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化的過(guò)程中發(fā)揮想象力和思維能力。

4.提升學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力，利于數(shù)學(xué)抽象的發(fā)展

數(shù)學(xué)抽象概括能力與其他數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng)密切相關(guān)，它與記憶能力、觀察能力、理解能力、聯(lián)想能力、邏輯思維能力等相互滲透、相互影響、相互促進(jìn)。當(dāng)學(xué)生思維能力、綜合分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力整體得到較大提升以后，數(shù)學(xué)抽象自然會(huì)提升一個(gè)檔次。在課堂教學(xué)中，教師如果僅僅把精心用在一味灌輸數(shù)學(xué)知識(shí)、題型、解題套路，而忽視思維能力與綜合分析問(wèn)題能力等數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)，在短期內(nèi)可能比較有效，但卻不利于學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展。所以，教學(xué)要以思維訓(xùn)練、能力培養(yǎng)為核心，綜合提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。