關(guān)于廣義純正斷面的一個(gè)注記*

嚴(yán)慶富， 晏潘， 王守峰

(云南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 昆明 650500)

正則半群的逆斷面是Blyth和McFadden在文獻(xiàn)[1]中提出的.自此，具有逆斷面的正則半群逐漸成為半群代數(shù)理論研究的熱點(diǎn)之一[2-3].與此同時(shí)，對逆斷面的推廣，也成為許多半群學(xué)者關(guān)注較多的問題.1999年，陳建飛給出了純正斷面的概念，得到了具有擬理想純正斷面的正則半群的結(jié)構(gòu)定理[4]，而在文獻(xiàn)[5]中，陳建飛和郭聿琦又得到了純正斷面的一些更加深刻的性質(zhì).在此基礎(chǔ)上，孔祥軍對純正斷面做了較為系統(tǒng)的研究[6-8].另一方面，張榮華和王守峰提出了逆斷面的另一種推廣，即廣義逆斷面，給出了具有廣義逆斷面的正則半群的結(jié)構(gòu)定理[9].受此啟發(fā)，孔祥軍定義了正則半群的廣義純正斷面，借助于文獻(xiàn)[9]的處理方法，得到了一類具有廣義純正斷面的正則半群的結(jié)構(gòu)定理[10].

本文將在上述研究的基礎(chǔ)上，繼續(xù)研究具有廣義純正斷面的正則半群及其子類的性質(zhì)，分別用RI、RGI、RO、RGO來表示具有逆斷面、廣義逆斷面、純正斷面和廣義純正斷面的正則半群類，證明了如下結(jié)果：

RI?RO,RI?RGI,RO∪RGI?RGO.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)S是正則半群，S0是S的子半群，x∈S,X是S的非空子集.記

V(x)={y∈S|xyx=x,yxy=y}

E(S)={e∈S|e2=e}

VS0(X)={x0∈S0|xx0x=x,x0xx0=x0,x∈X}

則稱S0為S的純正子半群(逆子半群)，若對任意e,f∈E(S0),有ef∈E(S0)(ef=fe).

定義1.1 設(shè)S是正則半群，若S0是S的純正子半群且關(guān)于任意x∈S,有VS0(x)≠?,則稱S0是S的廣義純正斷面[10]; 若關(guān)于任意x,y∈S,{x,y}∩S0≠?蘊(yùn)涵VS0(x)VS0(y)?VS0(yx),則正則半群S的廣義純正斷面S0稱為純正斷面[4].若S0是S的逆子半群且關(guān)于任意x∈S,有VS0(x)≠?,則稱S0是S的廣義逆斷面[9]；若關(guān)于任意x∈S,VS0(x)中恰好含一個(gè)元素,則正則半群S的廣義逆斷面S0稱為逆斷面[3].

設(shè)S0是正則半群S的廣義純正斷面，x∈S.記

下面的引理給出了I和Λ的等價(jià)刻畫，用L,R表示S上的格林關(guān)系.

引理1.2[10]設(shè)S是具有廣義純正斷面S0的正則半群.則

I={e∈E(S)|(?e0∈E(S0))eLe0},Λ={e∈E(S)|(?e0∈E(S0))eRe0},I∩Λ=E(S0)

由定義立即看出，純正斷面和逆斷面均為廣義純正斷面，而逆斷面必為廣義逆斷面.稱半群S為右正則帶(左正則帶)，若關(guān)于任意x,y∈S,有

x2=x,xyx=yx(x2=x,xyx=xy)

引理1.3[3]設(shè)S0是正則半群S的逆斷面，則I和Λ分別為S的左正則子帶和右正則子帶.

推論1.4 設(shè)S0是正則半群S的逆斷面,則S0是S的純正斷面.

證明:對x∈S,記VS0(x)中的唯一逆元為x0.設(shè)x,y∈S且x∈S0,則

yy0∈I,x0x∈E(S0)?I

據(jù)引理1.3，有yy0x0x∈I,故

(y0x0)xy(y0x0)=y0[(yy0x0x)(yy0x0x)]x0=y0(yy0x0x)x0=y0x0

類似可知xy(y0x0)xy=xy,這就證明了(xy)0=y0x0.對偶可證x∈S,y∈S0蘊(yùn)含(xy)0=y0x0.故S0是S的純正斷面.

引理1.5[5]正則半群S的廣義純正斷面S0是純正斷面當(dāng)且僅當(dāng)

IE(S0)?I,E(S0)Λ?Λ,E(S0)I?E(S),ΛE(S0)?E(S)

類似的，可以證明以下命題.

命題1.6 正則半群S的廣義逆斷面S0是逆斷面當(dāng)且僅當(dāng)

E(S0)I?E(S),ΛE(S0)?E(S)

證明：必要性由引理1.3立得.下證充分性.

由推論1.4、引理1.5和命題1.6，易知下述結(jié)果成立.

推論1.7 設(shè)S是具有子半群S0的正則半群，則S0是S的逆斷面當(dāng)且僅當(dāng)S0既是S的純正斷面又是S的廣義逆斷面.

2 主要結(jié)果

定理2.1 分別用RI、RGI、RO、RGO來表示具有逆斷面、廣義逆斷面、純正斷面和廣義純正斷面的正則半群類.則

RI?RO,RI?RGI,RO∪RGI?RGO

證明：由推論1.7，RI?RO,RI?RGI且RO∪RGI?RGO.下面將證明上述包含關(guān)系都是真包含.考慮半群M={1,b,c,x},其乘法表為

則M是一個(gè)非逆的純正半群且

E(M)={1,b,c},V(1)={1},V(b)={b,c}=V(c),V(x)={x}

我們斷言M是M的唯一的(廣義)純正斷面.事實(shí)上，若M1≠M(fèi)是M的一個(gè)(廣義)純正斷面，則M1有以下兩種情形：M11={1,x,b},M12={1,x,c}.然而，M11和M12均不是M的子半群，矛盾.故RI?RO.

考慮完全0-單半群S=M0(G;I,Λ,P),其中

下面，我們將找出該半群的所有廣義純正斷面.方便起見，將引入以下記號：

e=(1，1，1),f=(1,1,3),g=(2,1,2),h=(2,1,3),a=(2,1,1),b=(1,1,2)

則S={e,f,g,h,a,b,0}且

(1)V(e)={e,f},V(b)={a,h},V(f)={e,f,a,h}

(2)V(g)={g,h},V(h)={g,h,f,b},V(a)={f,b},V(0)={0}

(3)he=a?E(S),fg=b?E(S)

若S0是S的廣義純正斷面，則S0一定純正且關(guān)于任意t∈S,有VS0(t)≠?.于是可能的情形僅為以下兩種：

故RI?RGI且RO?RGO.

V((0,c))=V((0,b))={(0,b),(0,c)},V((0,x))={(0,x)}

有

(0,x)∈T0, {(0,b),(0,c)}∩T0≠?

由于xc=b和xb=c,這蘊(yùn)涵(0,b),(0,c)∈T0.注意到E(T0)是半格，有(0,b)(0,c)=(0,c)(0,b).故b=bc=cb=c,矛盾.另一方面，設(shè)T*是T的純正斷面且S*={s∈S|(s,1)∈T*}.注意到V(1)={1},容易驗(yàn)證，S*是S的純正斷面，矛盾.故RO∪RGI?RGO.