超聲無損檢測中聲波散射衰減的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)建模研究

方 俊

（1.南京理工大學(xué)紫金學(xué)院機械工程學(xué)院，江蘇 南京 210046；2.河海大學(xué)力學(xué)與材料學(xué)院，江蘇 南京 211100）

超聲波無損檢測技術(shù)的基本原理是用人工的方法在被測材料或結(jié)構(gòu)中激發(fā)出一定頻率的彈性波，以各種不同的頻率在材料或結(jié)構(gòu)內(nèi)部傳播并通過儀器接收，通過分析研究所接收的信號，就可以了解材料與結(jié)構(gòu)的力學(xué)特性和缺陷分布情況。這些彈性波就是聲波，它們在復(fù)雜介質(zhì)內(nèi)的傳播一般都會隨距離發(fā)生一定的衰減，其中與介質(zhì)特性有關(guān)的兩種衰減形式是吸收和散射。由介質(zhì)分子之間的粘性引起的稱為吸收衰減；因碰到另外一種介質(zhì)組成的障礙物而向不同方向產(chǎn)生發(fā)散的現(xiàn)象稱為散射衰減，它主要是由介質(zhì)的非均質(zhì)性引起的。由于混凝土、巖石等材料內(nèi)部含有大量的雜質(zhì)和缺陷，具有高度非均質(zhì)性，因此實驗結(jié)果和實地觀測表明，在此類介質(zhì)中聲波的散射衰減起主導(dǎo)作用。

研究超聲波在混凝土等非均質(zhì)材料中傳播的散射衰減機理和一般規(guī)律，對無損檢測中分析材料的各項特性有重要的意義。但是聲波在非均質(zhì)材料中的傳播過程是非常復(fù)雜的，材料內(nèi)部的缺陷、雜質(zhì)與孔隙等構(gòu)成聲學(xué)界面的數(shù)量和空間分布也是隨機和多樣的，且存在0~4階之間任意階頻率依賴的衰減現(xiàn)象，現(xiàn)有的以經(jīng)典力學(xué)為基礎(chǔ)的整數(shù)階模型只能分析幾種整數(shù)頻率依賴耗散的特殊情況，難以對一般的散射過程進行準(zhǔn)確模擬。

文章基于散射衰減規(guī)律的經(jīng)驗公式，導(dǎo)出了聲波的0-4階分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)散射衰減模型，該模型能夠同時描述任意頻率依賴的衰減和因果關(guān)系的頻散，推動了分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)建模方法在超聲無損檢測領(lǐng)域中的應(yīng)用。

1 聲波散射建模研究的現(xiàn)狀分析

目前國內(nèi)外對于聲波散射衰減的研究大部分是以實驗測定的方法為主。散射系數(shù)α通常用來表示單位距離內(nèi)由散射引起的損失能量，上世紀(jì)90年代Vary和Mavko等人通過大量實驗結(jié)果證明該系數(shù)α與聲波頻率ω以及雜質(zhì)平均尺寸d均存在相關(guān)性，并且具體形式取決于聲波波長λ和雜質(zhì)尺寸d之間的大小關(guān)系：

其中DS是通過實驗數(shù)據(jù)擬合得到的參數(shù)。由該結(jié)論可以看出，聲波散射一般存在三種不同的類型：當(dāng)波長λ遠小于雜質(zhì)尺寸d時，發(fā)生的是Diffusion散射，大部分散射能量集中在靠近入射波傳播的方向，此時α∝d-1；當(dāng)波長λ和雜質(zhì)尺寸d差不多時，發(fā)生的是Mie散射或稱為共振散射，該散射效應(yīng)最為明顯，是超聲無損檢測中最常見的散射類型，此時α∝dω2；當(dāng)波長λ遠大于雜質(zhì)尺寸d時，發(fā)生的是Rayleigh散射，這種散射類型較常見于地震波的觀測中，此時 α∝d3ω4。

根據(jù)以上的觀測結(jié)果，可以將散射的不同類型表達式總結(jié)為一個以頻率為變量的冪函數(shù)形式：

其中α0是與雜質(zhì)尺寸d相關(guān)的一個參數(shù)。顯然，當(dāng)s=0，2，4時，就可以得到（1）式中各項表達式。值得注意的是，Aki和Blair等人后來在實際測量中發(fā)現(xiàn)s的值并不總是只能取整數(shù)，某些情況下也有可能是0-4中的任何一個非整數(shù)，這取決于不同介質(zhì)的材料屬性、雜質(zhì)尺寸與含量以及波長范圍等因素。對于這種復(fù)雜介質(zhì)的任意階頻率依賴散射現(xiàn)象，傳統(tǒng)的整數(shù)階偏微分方程并不能準(zhǔn)確地加以描述，因而需要發(fā)展出新的理論來建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)物理模型。

分?jǐn)?shù)階微積分是一個解決這類物理和力學(xué)建模難題的有力的數(shù)學(xué)工具，已被廣泛應(yīng)用于聲波吸收衰減、反常擴散等領(lǐng)域。分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)建模的優(yōu)勢在于所需物理參數(shù)少，方程形式簡單明確；此外，將其轉(zhuǎn)化到頻域分析則可以變?yōu)閮绾瘮?shù)形式，因而非常適合描述任意階頻率依賴的聲波衰減現(xiàn)象。一般情況下，描述冪律頻率依賴衰減關(guān)系的聲波方程可寫成如下形式：

其中：p代表波的壓力，c0代表波速，C為衰減項的系數(shù)表示a階時間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，（-Δ）b/2為b階分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子。當(dāng)a=1，b=0時，（3）式簡化為經(jīng)典阻尼波方程；當(dāng)a=1，b=2時，（3）式簡化為熱粘性波方程。為了得到任意s階頻率依賴的關(guān)系，Caputo令a=s-1，b=2首次得到了時間分?jǐn)?shù)階聲波耗散模型；Szabo給出了卷積形式的衰減項，而陳文等將之寫成時間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的形式，即a=s+1，b=0。此外，陳文等又引入了空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的衰減項，即a=1，b=s，并給出了分?jǐn)?shù)階拉普拉斯的新定義。這些聲波耗散模型在低頻近似的前提下均滿足冪律頻率衰減關(guān)系。

然而，以上這些模型并不總能反映聲波在介質(zhì)中的頻散，即聲速隨頻率變化的現(xiàn)象。為保證模型能反映頻散，Kelly等［16］提出頻率依賴的頻散系數(shù) β（ω），使模型滿足時間因果關(guān)系。此外，Treeby等利用頻散方程和低頻假設(shè)，得到了含空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的聲波耗散模型。該模型令方程（3）中a=1，b=s，并在等號左側(cè)另外加入頻散項從而同時滿足頻率衰減關(guān)系和時間因果關(guān)系。

但是，現(xiàn)有文獻的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)聲波衰減模型，描述的都是粘性引起的聲吸收衰減，導(dǎo)數(shù)階數(shù)的范圍在0~2之間。而散射衰減由于物理機制不同，從（2）式可以看出，其階數(shù)范圍是0~4，因此分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義就必然需要擴展；除此之外，聲波方程的各項參數(shù)也將有所變化，比如改成與雜質(zhì)尺寸d相關(guān)的參數(shù)。下面首先給出分?jǐn)?shù)階微積分算子的定義，并將0~2階的分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子擴展為0~4階的分?jǐn)?shù)階雙調(diào)和算子。

2 聲波建模的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

2.1 定義A：時間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)算子

時間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)算子現(xiàn)在應(yīng)用比較廣泛的是Caputo型的定義，其滿足的基本形式如下：

其中s為分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，n為大于s的最小整數(shù)，Γ為歐拉-伽馬函數(shù)。這里要求φ（t）必須是n階可微的，另外該定義在建模應(yīng)用及積分變換中需滿足的初始條件是以整數(shù)階微積分的形式給出的，例如當(dāng)n=1且初始時間為0時，就需要給出φ（0）和φ′（0）作為初始條件。該定義滿足傅里葉變換關(guān)系：

其中ω為頻域變量，Φ是函數(shù)φ在頻域內(nèi)對應(yīng)的函數(shù)。從（5）式可以看出，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)算子可以描述時間域和頻域上的冪律依賴現(xiàn)象。

2.2 定義B：分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子

分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子是一種空間分?jǐn)?shù)階微分算子，它是Riesz勢的逆算子，可以用來描述科學(xué)和工程問題的空間非局部性和冪律行為。一般來說，分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子應(yīng)該滿足傅里葉變換關(guān)系

其中（-Δ）s/2為s階分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子，它也有多種不同類型的定義。其中比較重要的一種是Chen/Holm形式的定義，其基本表達式如下：

其中0

其中Ω是d維歐氏空間的積分域。可以看到，公式（7）利用Riesz勢和拉普拉斯算子的不同結(jié)合方式，給出了兩種類型的分?jǐn)?shù)階拉普拉斯顯式積分表達式。通過格林第二公式可以證明，Caputo型算子與帶邊界條件的Riemann-Liouville算子是等價的，這與時間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)中對應(yīng)的兩類關(guān)系是一致的。

2.3 定義C（新定義）：分?jǐn)?shù)階雙調(diào)和算子

將Chen/Holm定義的分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子（7）式拓展到2~4階，就可以得到分?jǐn)?shù)階雙調(diào)和算子，并給出2種類型的顯式積分表達式：

其中2

接下來以散射經(jīng)驗公式（1）為出發(fā)點，結(jié)合分?jǐn)?shù)階算子的定義以及聲波吸收衰減的建模思路，來建立超聲無損檢測中聲波散射的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型。

3 聲波的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)散射衰減通用模型

考慮到聲波散射模型必須既可以描述冪律頻率依賴的衰減，又可以描述滿足因果關(guān)系的頻散，根據(jù)聲波衰減的一般公式（3），給出其包含雙衰減項的基本形式：

其中 C1和 C2都是待定的衰減項系數(shù)，a，b，p，q為分?jǐn)?shù)階微積分算子的階數(shù)，其算子定義由第二章給出。這種含空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)算子的雙衰減項形式是Treeby等首次提出用于描述滿足頻散關(guān)系的聲波吸收衰減的。同樣可以用這種形式來描述聲波的散射衰減。

將（10）式兩邊同時作時間和空間傅里葉變換，可以得到頻域方程：

其中k和ω分別表示復(fù)波數(shù)和角頻率。將（11）式中的復(fù)波數(shù)拆分成實部與虛部的組合k=β+iα，并將實部和虛部進行分離就可以得到

這里α為散射衰減系數(shù)，β為頻散系數(shù)。方程（12）的第一式是實部滿足的條件，與聲波的頻散相關(guān)；第二式是虛部滿足的條件，與冪律頻率依賴的衰減相關(guān)。不失一般性，可以假定（10）式衰減項的第一部分只用于描述冪律衰減，而第二部分只用于描述頻散關(guān)系。因此，系數(shù)C1不應(yīng)該出現(xiàn)在（12）式的一式中，即 cos（aπ/2）必定為 0，否則會影響頻散；同理，系數(shù) C2不應(yīng)該出現(xiàn)在（12）式的二式中，即 sin（pπ/2）必定為0，否則會影響冪律衰減。由此可以得到系數(shù)之間必須滿足的關(guān)系：

其中m，n都是整數(shù)。根據(jù)低頻假設(shè)下的近似關(guān)系式

可以將（12）式的虛部簡化為

要使散射方程滿足（2）式的冪律衰減關(guān)系，就必須讓（15）式中的系數(shù)與之對應(yīng)，這樣就可以得到

接下來將（12）式的實部在低頻假設(shè)下簡化，就可以得到頻散系數(shù)β的表達式

由于該等式必須滿足基于因果關(guān)系的Kramers-Kronig頻散關(guān)系式：

這樣就可以得到能同時滿足冪律衰減關(guān)系和頻散關(guān)系的聲波散射模型的通用公式：

其中0

該方程與Treeby和Cox提出的雙衰減項聲波耗散模型在形式上是一致的，主要區(qū)別在于空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)算子的定義不同，并且這里s的取值范圍是0-4。此外，該散射模型系數(shù)的物理意義也不一樣，這里的α0是與雜質(zhì)尺寸d相關(guān)的參數(shù)。

4 散射衰減的冪指數(shù)表達式

上述聲波散射衰減模型中，分?jǐn)?shù)階微積分算子的階數(shù)s，即散射衰減經(jīng)驗公式（1）中冪律指數(shù)s的物理意義。由于聲波在含雜質(zhì)的非均質(zhì)介質(zhì)中傳播時的s取決于聲波波長λ和雜質(zhì)尺寸d之間的大小關(guān)系，根據(jù)（1）式將其總結(jié)為：

其中μ=d/λ表示的是雜質(zhì)平均尺寸與聲波波長之比；b0是當(dāng)發(fā)生Mie散射或共振散射時（d≈λ），μ的具體值?？紤]到μ的值實際上應(yīng)該是一個連續(xù)的變量（0，+∞），那么從宏觀物理角度來說，s的值也應(yīng)該是一個連續(xù)的變量，而不是“躍遷式”變量。那么為了滿足（22）式，冪指數(shù)s的一種可能的表達式可以寫成

顯然，該式滿足（1）式的基本關(guān)系，但是否有效還需要其他理論或?qū)嶒灥尿炞C。為了與現(xiàn)有散射模型作比較，首先需要寫出衰減系數(shù)α的精確表達式。將（23）式代入（2）式中并考慮到 λ=c0/ω，就可以求得此時包含雜質(zhì)尺寸d和波頻率ω的衰減系數(shù)表達式：

然后將該公式與Blair在上世紀(jì)90年代提出的同樣包含參數(shù)d和ω的散射模型作比較。Blair［8］指出衰減系數(shù)α應(yīng)該滿足表達式：

其中CS和kS均為常系數(shù)，d表示散射體的平均尺寸，ωd表示特征頻率（固定值），僅取決于散射體的固有屬性。表達式（25）主要是基于巖石中的地震波散射衰減實驗數(shù)據(jù)得到的，但也被證實同樣適用于金屬、混凝土或其他非均質(zhì)材料中的超聲波散射衰減。這個現(xiàn)象表明，雖然一般金屬等材料中的雜質(zhì)尺寸要明顯小于大多數(shù)巖石中的散射體尺寸，但散射本身是一種與尺度無關(guān)的現(xiàn)象，其衰減系數(shù)的大小主要取決于波長與散射體尺寸之間的比值，而這一結(jié)論與所提出的散射衰減模型是一致的。

為了比較兩種散射模型中的衰減系數(shù)表達式，并討論雜質(zhì)尺寸d和頻率ω對衰減系數(shù)α的影響，通過圖形對比了不同波頻率下（分別為5Hz、10Hz、15 Hz和 20 Hz）散射衰減公式（24）和（25）中 α 和 d之間的關(guān)系。為了使計算簡化，假設(shè)DS=CS=1，c0=1且根據(jù)Blair模型的設(shè)定ks=0.23，那么當(dāng)模型（24）式中的b0=1/4π時，它與模型（25）式是基本一致的，如圖1所示：

圖1 兩種不同模型中散射衰減系數(shù)α在不同頻率下隨雜質(zhì)尺寸d的變化趨勢

從圖1可以看出，頻率ω的值越大，衰減系數(shù)α的峰值就會隨之增大；當(dāng)散射體的平均尺寸d與波長λ近似相等時（d≈πλ），一定頻率下的衰減系數(shù)α就能達到其最大值。這說明當(dāng)介質(zhì)的散射體尺寸和波長大小近似時，聲波的散射衰減系數(shù)會變得更大，也就是說Mie散射或共振散射是非均勻介質(zhì)中散射效應(yīng)最為明顯的類型，這一結(jié)論也與經(jīng)驗或?qū)嶒炗^測結(jié)果相一致。以上討論中，對兩個模型參數(shù)的取值是b0=1/4π且ks=0.23；而如果選取b0=1/2π且k s=0.4，兩者描繪的曲線也仍然是一致的。事實上只要在兩個模型中選取適當(dāng)?shù)膮?shù)，它們的衰減系數(shù)表達式就是等價的。這也從側(cè)面驗證了散射衰減的冪指數(shù)表達式（23）的準(zhǔn)確性。

5 結(jié) 語

文章基于對聲波散射的經(jīng)驗公式，從頻域分析導(dǎo)出了聲波在非均質(zhì)材料中傳播的0-4階頻率依賴散射衰減模型，并給出了含雙衰減項的通用公式（20），該模型能同時滿足冪律頻率依賴的衰減和因果關(guān)系的頻散。當(dāng)該通用模型取具體的參數(shù)值時，又可以得到與現(xiàn)有聲波吸收衰減模型形式上非常相似的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)散射衰減模型。另一方面，文章又進一步給出了冪指數(shù)一種可能的表達式（23），并由此構(gòu)建了包含雜質(zhì)參數(shù)d和波頻率ω的散射衰減系數(shù)α的一個新模型（24）。為了驗證這個模型，我們將其與現(xiàn)有的Blair模型進行了比較。通過描繪的曲線可以看出，兩個模型結(jié)果是高度一致的。這就明確了上述聲波散射模型通用公式（20）中的分?jǐn)?shù)階微積分算子階數(shù)s的物理意義，為用模型定量分析超聲無損檢測中的散射規(guī)律提供了一定的理論依據(jù)，而且這些工作可以進一步推廣到涉及聲波衰減的其他領(lǐng)域，例如地震勘探中地震波在多孔巖層中的衰減、醫(yī)學(xué)超聲成像、水下沉積物的聲波勘測等。