定義讓解題更靈活

蔡 明

(浙江省諸暨市浬浦中學(xué) 311824)

我們都知道定義是揭示事物的本質(zhì)屬性，在很多時(shí)候也是解決問題的有效武器.在圓錐曲線的學(xué)習(xí)中可以遇到三種不同的定義方式，倘若回到定義中去思考，能找到一種解決問題的最佳策略.下面主要介紹各種定義形式促使圓錐曲線的解題更為靈活.

一、第一定義

設(shè)F1,F2為橢圓(雙曲線)的兩個(gè)焦點(diǎn)，橢圓上任意一點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和等于長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，即|PF1|+|PF2|=2a(注：2a>|F1F2|).雙曲線上任意一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值等于實(shí)軸長(zhǎng)2a，即||PF1|-|PF2||=2a(注：2a<|F1F2|).靈活性在于遇到與兩焦點(diǎn)有關(guān)的問題可用此定義關(guān)聯(lián).

分析若用一般思想求出圓方程，進(jìn)而得到切點(diǎn)，顯得比較復(fù)雜.根據(jù)題意：切點(diǎn)M在雙曲線C上，能采用定義或許為更靈活.

證明設(shè)PF1,PF2與圓的切點(diǎn)分別為A,B，根據(jù)切線可得|PA|=|PB|,|F1M|=|F1B|,|F2M|=|F2A|.

結(jié)合雙曲線的定義：||PF1|-|PF2||=2a,

又|PF1|=|PB|+|F1B|,|PF2|=|PA|+|F2A|，

即||F1M|-|F2M||=2a，因此切點(diǎn)M在雙曲線C上(即切點(diǎn)M為雙曲線的頂點(diǎn)).

分析若直接設(shè)點(diǎn)滿足角平分線與垂線去求解會(huì)很繁冗，若能采用定義的策略就會(huì)迎刃而解.

二、第二定義

到定點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離之比為常數(shù)e，當(dāng)01時(shí)，軌跡為雙曲線(定點(diǎn)為焦點(diǎn)，定直線為相應(yīng)準(zhǔn)線).靈活性在于遇到焦點(diǎn)與相應(yīng)準(zhǔn)線間的問題可用此定義關(guān)聯(lián).

例3 設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線的準(zhǔn)線上，且QM∥x軸．證明直線PM經(jīng)過原點(diǎn)O．

分析此題倘若用常規(guī)的坐標(biāo)思想去求證，很容易遺漏斜率不存在的情況從而導(dǎo)致失分.由于本身是與焦點(diǎn)和準(zhǔn)線相關(guān)的問題，因此可考慮用拋物線的定義.

例4 橢圓上三點(diǎn)A,B,C的橫坐標(biāo)x1,x2,x3成等差數(shù)列，F(xiàn)為橢圓的焦點(diǎn)，求證：|AF|,|BF|,|CF|也成等差數(shù)列.

分析要將題中|AF|,|BF|,|CF|與x1,x2,x3建立關(guān)系，因此考慮使用橢圓的第二定義.

證明設(shè)焦點(diǎn)F相應(yīng)的準(zhǔn)線為l:x=m.

設(shè)點(diǎn)A,B,C向l引垂線，垂足分別為A1,B1,C1.

記橢圓的離心率為e，由橢圓的第二定義可得：

所以|AF|=e|AA1|=e(m-x1)，|BF|=e|BB1|=e(m-x2)，|CF|=e|CC1|=e(m-x3),則|BF|-|AF|=-e(x2-x1)，|CF|-|BF|=-e(x3-x2).

由于x1,x2,x3成等差，則x3-x2=x2-x1，所以|BF|-|AF|=|CF|-|BF|,故|AF|,|BF|,|CF|也成等差數(shù)列.

三、極坐標(biāo)下的統(tǒng)一定義

分析此題若用韋達(dá)定理及拋物線的定義進(jìn)行求解，其計(jì)算量頗大且易出現(xiàn)錯(cuò)誤，如果能用圓錐曲線的統(tǒng)一極坐標(biāo)方程去證明會(huì)有一種“柳暗花明又一村”的感覺.

通過以上三組題目可看出，追本溯源運(yùn)用定義是解決問題的一種有利武器.平時(shí)能正確選用定義可減少大量繁冗的計(jì)算，減少運(yùn)算出錯(cuò)的可能性，使本身較難的問題有一種豁然明朗之感.希望平時(shí)能強(qiáng)化應(yīng)用定義的意識(shí)，用定義讓解題更“靈活”，真正體現(xiàn)“將定義用活、用活定義”的思想.