學(xué)科素養(yǎng)導(dǎo)向下的2018全國(guó)卷數(shù)學(xué)試題回望

延宗殿

(山西省晉中市昔陽(yáng)縣中學(xué)校 045300)

一、重視基礎(chǔ)，突出主干

數(shù)學(xué)考完后，教師普遍感到，今年高考數(shù)學(xué)試題全國(guó)卷在考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法方面明顯重于往年.試題全面考查基礎(chǔ)，突出主干內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)通性通法，如集合、復(fù)數(shù)、函數(shù)、向量、算法、概率、三角函數(shù)、解三角形、線性規(guī)劃、圓錐曲線等基礎(chǔ)內(nèi)容在選擇填空題中都進(jìn)行了有效的考查，這部分試題有利于穩(wěn)定考生情緒；還有解答題對(duì)數(shù)列、統(tǒng)計(jì)、直線與圓錐曲線、立體幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等高中數(shù)學(xué)主干內(nèi)容也進(jìn)行了重點(diǎn)的考查，充分體現(xiàn)了試卷對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)考查的基礎(chǔ)性、全面性和綜合性.另外試卷也非常注重通性通法的考查.

表1 全國(guó)2卷理科數(shù)學(xué)選擇填空題考點(diǎn)統(tǒng)計(jì)表

全國(guó)2卷理數(shù)的第17題考查了等差數(shù)列最基礎(chǔ)的知識(shí)，難度很低.這體現(xiàn)了命題人對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的重視.要求考生對(duì)這些基礎(chǔ)內(nèi)容必須熟練掌握.

二、穩(wěn)定求新，不落俗套

每年高考試題都在追求穩(wěn)定中求創(chuàng)新，今年全國(guó)卷試題也不例外.同時(shí)試題也追求題型設(shè)計(jì)的創(chuàng)新.如第8題以哥德巴赫猜想為背景，巧妙地設(shè)計(jì)了一道古典概率計(jì)算問(wèn)題.第18題考查了線性回歸模型的具體應(yīng)用和相關(guān)系數(shù)的內(nèi)容，要求學(xué)生根據(jù)折線圖和相關(guān)系數(shù)的大小做出判斷，出題角度非常新穎.

再如解答題中解析幾何放在了立體幾何前面進(jìn)行考查，與往年比較，降低了解析幾何解答題的難度.一般解析幾何解答題都在20題的位置，無(wú)論平時(shí)的考試還是高考，大多數(shù)考生對(duì)于這道題的第2問(wèn)都選擇放棄.今年考題將解析幾何解答提前一個(gè)位置，由一道難題變成了一道中檔題，這樣考生應(yīng)該努力進(jìn)行解答，就不能再選擇“放棄”了.對(duì)高中教學(xué)起到了很好的導(dǎo)向作用.本題考驗(yàn)學(xué)生的隨機(jī)應(yīng)變與心理素質(zhì)，本題源于教材，以拋物線中過(guò)焦點(diǎn)的弦為直徑的圓和準(zhǔn)線相切為背景，設(shè)問(wèn)方式新穎，不落俗套.

例1 (2018全國(guó)2理17)記Sn為等差數(shù)列(an)的前n項(xiàng)和，已知a1=-7，S3=-15.

(1)求{an}的通項(xiàng)公式；

(2)求Sn，并求Sn的最小值.

解析(1)設(shè){an}的公差為d，由題意得3a1+3d=-15.

由a1=-7得d=2.

所以{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-9.

(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.

所以當(dāng)n=4時(shí),Sn取得最小值,最小值為-16.

例2 設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|=8．

(1)求l的方程；

(2)求過(guò)點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程．

解析(1)由題意得F(1,0)，l的方程為y=k(x-1)(k>0).設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，

因此l的方程為y=x-1.

所求圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16.

問(wèn)題：以AB為直徑的圓恒與拋物線C的準(zhǔn)線相切，反之過(guò)點(diǎn)A，B且與C準(zhǔn)線l相切的圓是否一定以AB為直徑？

顯然，圓心M一定在AB的垂直平分線上，且到A(B)的距離和到曲線C的準(zhǔn)線的距離相等.根據(jù)拋物線的定義知，點(diǎn)M在以A(B)為焦點(diǎn)以直線l為準(zhǔn)線的拋物線上E上，即M為AB的垂直平分線與曲線E的交點(diǎn)(如圖所示)AB的垂直平分線方程為y-2=-(x-3)，即y=-x+5.

設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0,y0)，則

因此所求圓除了一個(gè)以AB為直徑外，另一個(gè)圓的圓心為(11，-6)，其方程為(x-11)2+(y+6)2=144.

文理第16題以圓錐為載體考查了空間幾何體的線線角、線面角和面積、體積計(jì)算.這樣的命題在上個(gè)世紀(jì)90年代考過(guò)，近十年來(lái)考查旋轉(zhuǎn)體通常以球和多面體組合體為載體進(jìn)行考查.

立體幾何解答題對(duì)幾何證明提出了較高的要求，由于高考考試大綱刪除了選修4-1.幾何證明選講,所以對(duì)邏輯推理,特別是利用公理法進(jìn)行推理的能力的考查就落在立體幾何和解析幾何題上.從第20題第(1)問(wèn)的線面垂直的證明看,其難度明顯高于往年線面關(guān)系的證明.高考命題的這個(gè)變化,應(yīng)該對(duì)今后的高中教學(xué)中有啟示作用.

三、加強(qiáng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查

今年全國(guó)理科卷試題對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有更深入的考查.如第3題對(duì)于學(xué)生的邏輯推理與直觀想象提出了較高的要求；第18題充分考查學(xué)生的數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)建模能力；第20題考查考生的空間想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力；第19題以拋物線過(guò)焦點(diǎn)的弦為載體，考查學(xué)生的運(yùn)算求解和邏輯推理能力；全國(guó)文理卷第21題為姊妹題設(shè)計(jì)，理科數(shù)學(xué)是以指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)為載體，文科數(shù)學(xué)以多項(xiàng)式函數(shù)為載體考查了用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的基本方法，主要考查了求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、函數(shù)的極值、函數(shù)的零點(diǎn)等基本問(wèn)題.對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)思維品質(zhì)都有很高的要求，充分考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

例3 (2018全國(guó)2理19)已知函數(shù)f(x)=ex-ax2．

(1)若a=1，證明：當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥1；

(2)若f(x)在(0,+∞)只有一個(gè)零點(diǎn)，求a．

解析(1)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)≥1等價(jià)于(x2+1)e-x-1≤0．

設(shè)函數(shù)g(x)=(x2+1)e-x-1，則g′(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x．

當(dāng)x≠1時(shí)，g′(x)<0，所以g(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減．

而g(0)=0，故當(dāng)x≥0時(shí)，g(x)≤0，即f(x)≥1．

(2)設(shè)函數(shù)h(x)=1-ax2e-x．

f(x)在(0,+∞)只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)h(x)在(0,+∞)只有一個(gè)零點(diǎn)．

(ⅰ)當(dāng)a≤0時(shí)，h(x)>0，h(x)沒(méi)有零點(diǎn)；

(ⅱ)當(dāng)a>0時(shí)，h′(x)=ax(x-2)e-x．

當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，h′(x)<0；當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí)，h′(x)>0．

所以h(x)在(0,2)單調(diào)遞減，在(2,+∞)單調(diào)遞增．

故h(x)在(2,4a)有一個(gè)零點(diǎn)，因此h(x)在(0,+∞)有兩個(gè)零點(diǎn)．

四、幾點(diǎn)啟示

今年的高考數(shù)學(xué)試卷，對(duì)備考2019年高考的學(xué)生，有以下幾點(diǎn)啟發(fā)：

1．必須重視“四基”

高考對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本方法和基本數(shù)學(xué)體驗(yàn)的要求越來(lái)越高，因此我們要在復(fù)習(xí)備考的過(guò)程中，結(jié)合教材和考綱，熟練掌握高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和解題的通法，不宜好高騖遠(yuǎn)，花費(fèi)太多的時(shí)間去鉆研偏難怪題.

2．必須深入研究歷年高考真題

在打好基礎(chǔ)的前提下，認(rèn)真研究歷年高考真題，掌握高考命題的一般規(guī)律，對(duì)提高復(fù)習(xí)的效率有很大的幫助.

3．利用典型例題提高解題水平

應(yīng)該通過(guò)學(xué)習(xí)研究一類題目的解法中，掌握核心的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，開拓我們的解題思路，提高解題水平.這是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)所必須.

一般來(lái)說(shuō)，一道題目能夠成為典型例題，它必須具備以下幾條要素：重點(diǎn)與熱點(diǎn)；入口較寬，解法多樣(至少兩種解法)；解法能夠遷移；變式與推廣.難度中等.

從上個(gè)年度的備考情況看，多數(shù)教師對(duì)題的研究不夠充分，表現(xiàn)在，一是解法單調(diào).如果你只能用一種方法解決這道題，那么這道題就不能作為例題，原因很簡(jiǎn)單，主要是你對(duì)這道題還沒(méi)有融會(huì)貫通，還不能多角度來(lái)認(rèn)識(shí)它，也就是你對(duì)它理解的還不透徹，還不能靈活變通.這樣的題怎么能作為例題呢.二是難度太大，一道題目如果難度太大，那么課堂上大多數(shù)學(xué)生往往聽不懂，教師也講不清楚；選題應(yīng)該立足中檔試題，難度系數(shù)在0.5-0.65范圍內(nèi)比較合適.中檔綜合題區(qū)分度好，訓(xùn)練價(jià)值高，教師講得清楚，學(xué)生聽得明白，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高；三是就題論題，不回顧、不反思、不總結(jié).常見的是，一些教師講解完一個(gè)題目后，馬上轉(zhuǎn)入下一個(gè)問(wèn)題的解決，他們不對(duì)這道題目的解題步驟進(jìn)行回顧與反思. 如解題中用到了哪些知識(shí)？哪些方法？這些知識(shí)和方法是怎樣聯(lián)系起來(lái)的？自己是怎么想到它們的？

困難在哪里？關(guān)鍵是什么？遇到過(guò)什么障礙？后來(lái)是怎么解決的？

是否還有別的解決方法?命題能夠推廣嗎？

條件能減弱嗎？結(jié)論能加強(qiáng)嗎？這些方法體現(xiàn)了什么樣的數(shù)學(xué)思想？

充分發(fā)揮典型例題的作用，提高教學(xué)效果，減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)，分析典型例題的解題過(guò)程是提高學(xué)生解題能力的有效途徑.

結(jié)尾：2018年全國(guó)卷數(shù)學(xué)試題大氣、大道，題干簡(jiǎn)潔明了，解答嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范.

試題取材源于生活考查的終極目標(biāo)服務(wù)于學(xué)生未來(lái)的可持續(xù)發(fā)展，能力立意，素養(yǎng)導(dǎo)航，打造數(shù)學(xué)高考考試新形態(tài).

給2019屆考生的建議：立足基礎(chǔ)，注重?cái)?shù)學(xué)的本質(zhì)，掌握數(shù)學(xué)的思想方法.真正把高中數(shù)學(xué)每個(gè)知識(shí)點(diǎn)理解透徹，在學(xué)習(xí)過(guò)程中善于用數(shù)學(xué)思維去分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，只有這樣才能真正地掌握數(shù)學(xué)，才能在最終的高考中取得滿意的成績(jī).