一道高考題多視角探究與解析

江蘇省江陰市青陽中學(xué) 譚 穎

一題多解即多視角探究有利于同學(xué)們開闊思維，全面理解某個知識點。通過一題多解多視角探究的訓(xùn)練，同學(xué)們可以把問題想得廣、想得深，從而激活解題思路.而一題多解的目的不在于“多解”，而在于思維的“多層性”與“創(chuàng)造性”，在于讓同學(xué)們從多解中分析出解法的優(yōu)與劣，從而獲得思維水平更高的解法。在高三復(fù)習(xí)過程中，一題多解，多視角探究是常見的教學(xué)方式，教師在課堂設(shè)計上要充分發(fā)揮每一道例題的教育功能，深刻挖掘其內(nèi)涵，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，使不同層次學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力在多視角探究過程中都能得到提高，也就是說不同層次的學(xué)生都能夠利用自己所掌握的數(shù)學(xué)知識解決問題，并逐步培養(yǎng)起主動探究的創(chuàng)新意識。下面以一道高考題為例，談?wù)勂矫嫦蛄款}的多視角探究，希望對同學(xué)們學(xué)習(xí)平面向量有所幫助。

2017年江蘇高考題第12題。如圖，在同一個平面內(nèi)，向量的模分別為1，1，，與的夾角為α，且tanα=7，與的夾角為45°。若(m,n∈R)，則m+n=_____。（答案：3）

分析：本題是以向量的模這一基本特征為載體，以平面向量的線性運算和平面向量的基本定理為依托，考查幾乎涵蓋平面向量的所有知識點，即向量的概念、向量的夾角、向量的線性運算、向量的坐標(biāo)運算以及向量的數(shù)量積等知識。

視角一（幾何法）：構(gòu)造三角形，利用正弦定理進(jìn)行求解。

解：以O(shè)C為對角線，OA，OB為鄰邊作平行四邊形OMCN，

則在△OCN中，∠BOC=45°，∠OMC=∠OCN=α，

∠ONC=135°-α，在△OCN中，由正弦定理得：

又因為tanα=7，且α∈[0,180°]，所以α為銳角，

解析：既有大小又有方向的量稱為向量，向量的大小就是向量的長度（或稱為向量的模），由向量這一特征可知，向量具有鮮明的幾何特征，而本題也恰恰明顯地給出了此特征，通過向量的模（實際上就是的長度），根據(jù)向量加法得平行四邊形法則構(gòu)造三角形，再加上“與的夾角為α，且tanα=7，與的夾角為45°”這一條件，很自然地聯(lián)想到解三角形，即正弦定理的使用，結(jié)合有關(guān)三角函數(shù)知識，直觀形象，解法簡捷而明了，數(shù)形結(jié)合思想在平面向量中得到了很好體現(xiàn)。

解析：平面向量數(shù)量積的基本知識是數(shù)學(xué)教學(xué)中必須熟練掌握的，主要包括對定義的理解、對運算律的熟識、對公式的記憶及數(shù)量的運用以及對特殊規(guī)律的熟練掌握。高考要求學(xué)生對平面向量的數(shù)量積的表達(dá)式（其中θ為向量夾角)熟練運用，對其幾何意義進(jìn)行深刻的理解，還要求對其投影的理解以及特殊規(guī)律，即公式的掌握。本題突出了這方面考查，本視角抓住該公式這一特殊規(guī)律，并對其進(jìn)行了很好的運用，收到了意想不到的效果，由，可得，這樣直接進(jìn)行模的計算，進(jìn)而代數(shù)運算，這樣使學(xué)生從陌生的向量運算轉(zhuǎn)化到最熟悉的代數(shù)運算，學(xué)生會輕而易舉解答此高考題。

解析：視角三根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運算是平面向量的又一大特征，本題雖然沒有直接給出建立平面直角坐標(biāo)的條件，但是此題隱含著建系的條件，因為題中給出的向量夾角以及和夾角的三角函數(shù)值，由這個角與函數(shù)值之間的關(guān)系，很自然地聯(lián)想到建立坐標(biāo)系，利用平面向量的坐標(biāo)運算來求解，向量的坐標(biāo)運算將向量與代數(shù)有機結(jié)合起來，這為探究和解決有關(guān)向量問題提供強有力依據(jù)，結(jié)合向量的意義和作用脫去“向量外衣”，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)學(xué)問題，即純粹的代數(shù)運算，再結(jié)合方程思想進(jìn)行求解，體現(xiàn)方程思想方法在數(shù)學(xué)解題中的作用，大大減少了思維量，不過有時候運算量會相應(yīng)地增加了，本題運算量不是很大。