高考數(shù)學(xué)試題中解析幾何的解題策略

摘要：在高考考場(chǎng)上有這樣一句話：得數(shù)學(xué)者得天下。在高中數(shù)學(xué)里，平面解析是一塊很難的部分，此章包含了許多重要的數(shù)學(xué)思想，在高考中占據(jù)了很大的分值，也起到了舉足輕重的作用。所以，在平常的學(xué)習(xí)中，學(xué)生應(yīng)該特別注重高考數(shù)學(xué)試題里解析幾何的解題策略，這樣才能讓數(shù)學(xué)有很大的提升。

關(guān)鍵詞：高考數(shù)學(xué);解析幾何;解題策略

在高考的備考過(guò)程中，解析幾何往往是學(xué)生最頭疼的一部分知識(shí)點(diǎn)，在全國(guó)卷的題目安排里，常規(guī)是兩小題和一大題，往往出現(xiàn)在壓軸題，并且經(jīng)常是特別抽象的題目，沒(méi)有任何的圖例，需要學(xué)生通過(guò)建立坐標(biāo)系來(lái)創(chuàng)建圖形，為了更好地解決這個(gè)問(wèn)題，還需要老師和同學(xué)在課后總結(jié)幾種基本的解題方法，便于套用。

一、 目前高考解析幾何教學(xué)中暴露的問(wèn)題

現(xiàn)在，解析幾何在高中數(shù)學(xué)中占據(jù)著重要的地位，是各省高考的必定考題，所以大多數(shù)考生的得分都很低，這也直接暴露了學(xué)生在解決解析幾何方面的能力還有所欠缺。

從學(xué)生的角度來(lái)說(shuō)，往往只停留在老師講就懂的層面，僅僅只是對(duì)各種概念表面理解，在解題中根本不會(huì)靈活運(yùn)用，還只是生搬硬套，沒(méi)有明確的方法。并且，在解析幾何上，常常會(huì)運(yùn)用到計(jì)算量很復(fù)雜的坐標(biāo)方法，有時(shí)難倒學(xué)生的不是解題思路，而是龐大的運(yùn)算量，但是學(xué)生的計(jì)算能力往往達(dá)不到;還有題目只會(huì)做對(duì)一部分，而不是全對(duì)，就像學(xué)生通常會(huì)忽略軌跡方程的完整性和多解性;同時(shí)，學(xué)生也會(huì)缺少解題方式上的創(chuàng)新性，不敢嘗試高效的解題方法。更難的是，尤其是在題目聯(lián)系生活實(shí)際時(shí)，學(xué)生就會(huì)有一種恐懼感，白白浪費(fèi)時(shí)間。

在老師方面，老師雖然很認(rèn)真地備課，但是忽略了學(xué)生的真實(shí)感受，學(xué)生并不懂老師講的知識(shí)點(diǎn)，而老師也只是停留在反復(fù)的講解中，指望熟能生巧，為了應(yīng)試，讓學(xué)生刷大量的題，并沒(méi)有激起學(xué)生對(duì)解析幾何學(xué)習(xí)的興趣，這樣就不能幫助學(xué)生在客觀的角度對(duì)待學(xué)習(xí)內(nèi)容，更不能真正地傳遞數(shù)學(xué)思想方法。

二、 一些解決解析幾何的基本方法

目前，在高中教學(xué)中，老師創(chuàng)建了許多種獨(dú)特的解析幾何解法，但也并不是每一種都能適合各種學(xué)生，還需要學(xué)生在實(shí)際做題過(guò)程中，積累經(jīng)驗(yàn)，找到最適合自己的方法，將題目分類，并把相對(duì)應(yīng)的解法匹配在后面。

（一） 坐標(biāo)法

“坐標(biāo)法”適用于許多的平面解析幾何，尤其是在曲線方程中，題目中給的點(diǎn)往往都會(huì)滿足曲線方程，所以可以確定點(diǎn)一定是位于曲線上，從而通過(guò)聯(lián)立多個(gè)方程組，便可以把點(diǎn)的坐標(biāo)求出來(lái)，同時(shí)要注意多解性，還能用來(lái)判斷交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

[2014·遼寧卷]圓x2+y2=4的切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成—個(gè)三角形，當(dāng)該三角形面積最小時(shí)，切點(diǎn)為P。雙曲線C1：x2/a2-y2/b2=1過(guò)點(diǎn)P且離心率為3。

（1）求C1的方程;

（2）橢圓C2過(guò)點(diǎn)P且與C1有相同的焦點(diǎn)，直線l過(guò)C2的右焦點(diǎn)且與C2交于A，B兩點(diǎn)。若以線段AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)P，求l的方程。

解析過(guò)程

（1）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0）（x0>0，y0>0），則切線斜率為-x0/y0，切線方程為y-y0=-x0/y0（x-x0），即x0x+y0y=4，此時(shí)兩個(gè)坐標(biāo)軸的正半軸與切線的交點(diǎn)分別為（4x0，0）、（0，4y0）。故其圍成的三角形的面積S=（1/2）·4/x0·4/y0=8/x0y0。由x20+y20=4≥2x0y0知，當(dāng)且僅當(dāng)x0=y0=2時(shí)x0y0有最大值，此時(shí)S有最小值，因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）。

由題意知2/a2-2/b2=1，a2+b2=3a2，

解得a2=1，b2=2，故C1的方程為x2-y2/2=1。

（二） 基于平面性質(zhì)的解題方法

在高考的解析幾何題目中，也不能一味地只依靠坐標(biāo)法，有時(shí)坐標(biāo)法并不能幫助我們一下在解決問(wèn)題，還需要我們密切關(guān)注和利用一些特殊的平面性質(zhì)，這樣的話，在一定程度上，還可以簡(jiǎn)便運(yùn)算，節(jié)省學(xué)生的時(shí)間。

19. 已知雙曲線E：x2/a2-y2/b2=1（a>0，b>0）的兩條漸近線分別為l1：y=2x，l2：y=-2x。

（1）求雙曲線E的離心率。

（2）如圖1-6，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)直線l分別交直線l1，l2于A，B兩點(diǎn)（A，B分別在第一、四象限），且△OAB的面積恒為8。試探究：是否存在總與直線l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E？若存在，求出雙曲線E的方程;若不存在，說(shuō)明理由。

19. （1）因?yàn)殡p曲線E的漸近線分別為y=2x，y=-2x，

所以ba=2，所以c=5a，從而雙曲線E的離心率e=ca=5。

（2）由（1）知，雙曲線E的方程為x2/a2-y2/b2=1。

設(shè)直線l與x軸相交于點(diǎn)C。

當(dāng)l⊥x軸時(shí)，若直線l與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則|OC|=a，|AB|=4a。又因?yàn)椤鱋AB的面積為8，

所以12|OC|·|AB|=8，因此12a·4a=8，解得a=2，此時(shí)雙曲線E的方程為x2/4-y2/16=1。

若存在滿足條件的雙曲線E，則E的方程只能為x2/4-y2/16=1。

以下證明：當(dāng)直線l不與x軸垂直時(shí)，雙曲線E：x2/4-y2/16=1也滿足條件。

設(shè)直線l的方程為y=kx+m，依題意，得k>2或k<4。

三、 總結(jié)

總而言之，平面解析幾何的內(nèi)容是每一位高中生都必須掌握的知識(shí)點(diǎn)，其中基礎(chǔ)的解題策略也就是將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題來(lái)進(jìn)行研究，很重要的思想就是數(shù)形結(jié)合，所以，老師在教學(xué)的過(guò)程中，一定要在幾何和代數(shù)之間建立明確清晰的關(guān)系，幫助學(xué)生更好地理解基本的解題方法，真正掌握解析幾何的思想。

參考文獻(xiàn)：

[1]吳偉鴻.高考數(shù)學(xué)試題中解析幾何的解題策略探析[J].西部素質(zhì)教育，2017，3（11）：264-265.

作者簡(jiǎn)介：

梁杜娟，四川省廣元市，廣元市元壩中學(xué)。