淺談函數(shù)的單調(diào)性在高中數(shù)學(xué)中的學(xué)習(xí)與應(yīng)用

◎劉士永

引言：函數(shù)的單調(diào)性是對兩個變量之間關(guān)系的刻畫，一般在求解不等式、求最值、解方程式時會經(jīng)常的用到。函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí)不僅僅是掌握其概念和性質(zhì)，同時還需學(xué)生能夠?qū)⑺鶎W(xué)知識靈活運(yùn)用并能夠解決生活實際問題，如此才能提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率。

一、函數(shù)單調(diào)性學(xué)習(xí)的意義

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生對于一次函數(shù)與二次函數(shù)的知識已有一定的了解，同時也初步接觸了函數(shù)的增減性，但在高中系統(tǒng)學(xué)習(xí)中，學(xué)生想要充分掌握這一方面知識，除了從簡單的定義的和概念出發(fā)之外，還應(yīng)借助數(shù)字符號和具體的實例來進(jìn)行學(xué)習(xí)。如此才能真正的掌握函數(shù)單調(diào)性的定義。此外函數(shù)的單調(diào)性是研究自變量的變化規(guī)律，是整個函數(shù)知識的核心內(nèi)容，因此我們將其列為一個獨(dú)立的單元來進(jìn)行系統(tǒng)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生能夠通過文字的描述、嚴(yán)格的定義、實際的應(yīng)用來更加深入的學(xué)習(xí)和理解，從而為今后的不等式及導(dǎo)數(shù)等知識的學(xué)習(xí)做好鋪墊。

二、函數(shù)單調(diào)性在高中數(shù)學(xué)中的學(xué)習(xí)及應(yīng)用

1.求解方程 方程是運(yùn)用等式來求解的內(nèi)容，其是整個高中數(shù)學(xué)的核心部分，我們將函數(shù)的單調(diào)性運(yùn)用到方程的求解之中，可以幫助學(xué)生快速掌握解題的結(jié)構(gòu)，從而提升方程解題效率。例如，x2＋2x＋（x＋1）3＋1＝0方程求解過程，利用函數(shù)的單調(diào)性可以將其轉(zhuǎn)化為x3＋x＋［（x＋1）3＋（x＋1）］＝0，函數(shù)f（x）＝x3＋x在區(qū)間范圍內(nèi)是遞增函數(shù)，同時是奇函數(shù)，如此既就可以將方程轉(zhuǎn)化為 f（x）＋f（x＋1）＝0，推導(dǎo)出f（x＋1）＝f（－x）最終由于函數(shù)f（x）為單調(diào)函數(shù)由此可推出x＋1＝－x求解，通過單調(diào)函數(shù)的運(yùn)用，簡化了方程的求解過程，提升了做題的效率和質(zhì)量。

2求解不等式 函數(shù)和不等式在高中數(shù)學(xué)中屬于相互交融的知識點(diǎn)。很多時候?qū)W生常常會因知識掌握不到位或者是結(jié)構(gòu)不嚴(yán)謹(jǐn)，從而導(dǎo)致出現(xiàn)解題失誤的情況發(fā)生。我們在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中我們可以借助不等式來對函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行研究，同時還可以利用函數(shù)去解析不等式，利用不等式的換元、分類來解題，如此不但可以快速的解決問題，同時還可以鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力和解題能力。例如，已知條件a，b/c∈R，a、b、c絕對值小于1，證明ab＋bc＋ac＋1＞0，首先在求解這一不等式的時先利用函數(shù)將不等式轉(zhuǎn)化為f（x）＝（b＋c）x＋bc＋1，分析x在1與－1的區(qū)間范圍內(nèi)函數(shù)是否成立及b＋c等于零時函數(shù)f（x）＝1－2b＞0及b＋c不等于零時，不等式轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)，f（x）＝（b＋c）x＋bc＋1函數(shù)在1與－1的區(qū)間范圍內(nèi)都是大于零，所以所證明不等式是成立的。在證明上述不等式的過程中我們是將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用函數(shù)不同單調(diào)區(qū)間內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性來對不等式進(jìn)行驗證，如此大大降低了解題的復(fù)雜性，提升學(xué)生的解題效率［1］。

三、利用函數(shù)的單調(diào)性解決實際問題

在實際生活中對函數(shù)單調(diào)性主要體現(xiàn)在極值問題上，例如，利用函數(shù)單調(diào)性解決材料最優(yōu)化使用、資源整合、效益最優(yōu)、最佳路徑選擇問題等。在遇到這些問題是具有的解題步驟是，第一，將抽象的生活問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，并列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式。第二，求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f＇（x）＝0，并解出方程。第三，將函數(shù)的兩個端點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)所求極值點(diǎn)放在一起，比較所有函數(shù)值，最終得出f（x）z的最值。

1材料合理利用題型 制作一個體積一定的圓柱型飲料罐，當(dāng)材料最省情況下其高和底面半徑應(yīng)怎樣選取。首先分析題意材料最省即為表面積最小的情況下，假設(shè)圓柱體半徑、高、面積分比為r、s、h列出函數(shù)式s＝2πrh＋2πr2，圓柱的體積是一定的，列出體積公式并將其導(dǎo)入面積函數(shù)式中，最終推導(dǎo)出r，根據(jù)r的區(qū)間范圍得出判斷面積大小區(qū)間，從而最終得出r的取值，帶入公式中的得出h的取值，最終得出半徑是高的二分之一時，飲料罐其所用材料最?。?］。

2最優(yōu)路徑 例如，材料加工廠A與鐵路之間的的垂直距離為20千米，垂足是C，在鐵路上距離C點(diǎn)100千米處有一處原材料廠D，現(xiàn)在鐵路線BD之間修建一處中轉(zhuǎn)站B，再由B處向D處修建一條鐵路，現(xiàn)已知鐵路與公路在相同距離內(nèi)的運(yùn)費(fèi)比為3：5，那么如何中轉(zhuǎn)站點(diǎn)D應(yīng)修建在何處，才能夠?qū)崿F(xiàn)D到A處的費(fèi)用最省。假設(shè)：每千米鐵路的費(fèi)用為m，那么公路費(fèi)用為。設(shè)BC段的距離為x，修路總費(fèi)用為y，則AB，如此列出總費(fèi)用函數(shù)式，求其導(dǎo)數(shù)，最終得出x的值即為區(qū)間內(nèi)極值點(diǎn)，也使費(fèi)用最省的B點(diǎn)到D點(diǎn)的距離。

結(jié)語：函數(shù)單調(diào)知識是高中數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)，也是學(xué)生學(xué)好的數(shù)學(xué)的關(guān)鍵點(diǎn)。因此在日常教學(xué)中應(yīng)重視函數(shù)單調(diào)性知識的講解，幫助學(xué)生能夠深入的理解知識并能夠靈活運(yùn)用，結(jié)合生活中的現(xiàn)實問題不等式、方程、導(dǎo)數(shù)等引導(dǎo)學(xué)生對應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性知識進(jìn)行總結(jié)，通過不斷的鍛煉從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，為高考打下良好的基礎(chǔ)。