探尋類比規(guī)律 開啟發(fā)現(xiàn)之門

◎席欣力

高中數(shù)學(xué)新課程目標(biāo)設(shè)置中，把“提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力（簡稱“四能”）”、“不斷提高實踐能力，提升創(chuàng)新意識”作為課程目標(biāo)。其中，發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新意識的核心［1］。類比推理是合情推理的一種，是根據(jù)兩個對象之間一部分屬性相同或相似，從而推斷出這兩個對象另外的屬性也可能相同或相似的思維形式，它是人類思維活動中最積極、最有創(chuàng)造性的成分。高中數(shù)學(xué)類比推理這類試題以類比思維為軸心，與數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識相結(jié)合，是培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的重要途徑。以下分類例析。

一、變維類比

將三維空間的對象和二維或一維空間中的對象進(jìn)行類比，這樣的類比方法即為變維類比。此類問題以空間幾何體與平面圖形進(jìn)行類比為主。

空間中，設(shè)平面 OA1VA∩BC＝M，OB1VB∩AC＝N，OC1VC∩AB＝L，

則有 ΔMOA1∽ ΔMAV，ΔNOB1∽ ΔNBV，ΔLOC1∽ ΔLCV，

二、結(jié)構(gòu)類比

某些待解決的問題沒有現(xiàn)成的類比物，但可通過觀察，憑借結(jié)構(gòu)上的相似性等尋找類比問題，然后通過適當(dāng)?shù)拇鷵Q，將原問題轉(zhuǎn)化為類比問題來解決。常見的有函數(shù)的解析式與數(shù)列的通項公式之間的類比，等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比，橢圓與雙曲線的類比，解析幾何中的兩點間的距離公式及斜率公式與函數(shù)求值之間的類比等。

【例2】求值：sin280°＋sin240°－sin 40°sin 80°

【解析】整體上看式子的結(jié)構(gòu)和余弦定理相似，原式可改寫成 sin280°＋sin240°－2 sin 40°sin 80°cos 60°

而 80°＋40°＋60°＝180°，80°、40°、60°可以看作一個三角形的三個內(nèi)角，類比余弦定理可得解法。

（2）O為拋物線 y2＝2px（p＞0）的頂點.

【解析】當(dāng)M、N滿足 EM⊥EN時，取M，N關(guān)于x軸的對稱點 M′、N′，由對稱性知 EM′⊥EN′，此時MN與M′N′所在直線關(guān)于x軸對稱，若直線MN過定點，則定點必在x軸上.

設(shè)直線MN的方程為：x＝my＋t，

（2）在拋物線 y2＝2px（p＞0）中，若M，N為拋物線上的兩點（都不同于原點O），且OM⊥ON，則直線MN過定點 （2p，0）

【變式2】數(shù)列{an}是正項的等差數(shù)列，若，則數(shù)列 n也為等差數(shù)列，類比上述結(jié)論，寫出正項的等比數(shù)列 {cn}，若dn＝_______，則數(shù)列 {dn}也為等比數(shù)列.

三、推廣類比

推廣類比就是將已知的、簡單的命題，通過類比、概括、拓展推廣到比原命題更一般化的命題。比如可將少元問題類比到多元問題，低次問題類比到高次問題，特殊問題類比到普遍問題等。推廣類比可以擴(kuò)大認(rèn)知的范圍，加深對知識的理解。

【例4】已知 a，b，c∈ R，且三次方程 f（x）＝x3－ax2＋bx－c＝0有三個實數(shù)根 x1，x2，x3，

（1）類比一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，寫出此方程根與系數(shù)的關(guān)系；

【解析】（1）聯(lián)想一元二次方程 x2－px＋q＝0的兩根 x1，x2，滿足x1＋x2＝p，x1x2＝q，

x2－px＋q＝（x－x1）（x－x2），因而 x3－ax2＋bx－c＝（x－x1）（xx2）（x－x3），比較兩邊的系數(shù)，得 a＝x1＋x2＋x3，b＝x1x2＋x2x3＋x1x3，c＝x1x2x3；

（2）f（x）＝x3－ax2＋bx－c，若 f（x）＝0有三個兩兩不等實數(shù)根x1，x2，x3，則函數(shù) f（x）有一個極大值和一個極小值，且極大值大于0，極小值小于0.

由已知得 f′（x）＝3x2－2ax＋b＝0有兩個不等的實數(shù)根 α，β，

【變式4】在直角坐標(biāo)系中，不難得到“對于雙曲線 xy＝k，（k＞0）上任意一點P，若點P在x軸、y軸上的射影分別為M、N，則必為定值k”；類比于此，對于雙曲線，（a＞0，b＞0）上任意一點P，可以得出類似命題為_____________。

四、方法類比

某些陌生的、復(fù)雜的或抽象的問題，用常規(guī)的思路和方法很難解決，通過類比某些相關(guān)或相似問題的解答，在解題思路或思想方法上受到啟發(fā)，從而實現(xiàn)原問題的解答。這種解題策略和思想方法的類比稱為方法類比。

【例5】觀察下面的解答過程：已知正實數(shù) a，b滿足 a＋b＝1，求的最大值.

請類比以上解題法，使用綜合法證明下題：

【解析】由已知代數(shù)式的求值方法：先換元，再列方程，解方程，求解，可得代數(shù)式的值所求的式子也有無限重復(fù)的特點，類比可得解題方法：令，則兩邊平方得，＝m2，即2＋m＝m2，解得m＝2（－1舍去）。故答案為2。

【變式5】對于問題：“已知關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c＞o的解集為（1，2），解關(guān)于 x的不等式ax2－bx＋c＞0”，給出了如下一種解法：

解析：由ax2＋bx＋c＞0的解集為（－1，2），得a（－x）2＋b（－x）＋c＞0的解集為（－2，1），即關(guān)于 x的不等式ax2－bx＋c＞0的解集為（－2，1）

在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，思維的訓(xùn)練是本質(zhì)。學(xué)習(xí)類比，掌握類比的方法和規(guī)律，就為發(fā)現(xiàn)問題解決問題“插上了翅膀”，善于類比，奇思妙想，我們就會發(fā)現(xiàn)很多繁難或新問題的神奇而精妙的解法，讓我們享受數(shù)學(xué)的快樂。由于類比推理是由特殊到特殊的推理，它推理的邏輯根據(jù)是不充分的，帶有或然性，具有猜測性，甚至是錯誤的，其正確性還須經(jīng)過嚴(yán)格的邏輯推理加以論證，因而我們在運用時既要大膽嘗試，又要嚴(yán)謹(jǐn)證明。

五、變式答案與解析

設(shè)直線MN的方程為y＝k（x－c），代入橢圓方程得 （b2＋a2k2）x2－2a2k2cx＋（a2k2c2－a2b2）＝0

【解析】 對于雙曲線xy＝k（k＞0）是我們熟悉的反比例函數(shù)，坐標(biāo)軸是它的漸近線，其圖像上任意一點P到漸近線的距離的積必為定值k，對于雙曲線，它的漸近線為 bx＋ay＝0和bx－ay＝0，其圖像上任意一點P（x，y）在兩條漸近線上的射影分別為M、N，則點P到漸近線的距離為，所以。

5.（－3，－1）∪（1，2）

【解析】由 ax2＋bx＋c＞0的解集為（－1，2）得 a（－x）2＋b（－x）＋c＞0的解集為（－2，1）發(fā)現(xiàn) －x∈（－1，2），則 x∈（－2，1）

6.－1或2

【解析】類比上述解題思路，設(shè)f（x）＝x3＋x，則 f（x）在 R上單調(diào)遞增，由x6＋x2＝（x＋2）3＋x＋2，即f（x2）＝f（x＋2），∴x2＝x＋2，解之得，x＝－1或x＝2；所以方程x6＋x2＝（x＋2）3的解為的解集為－1或2