例析高一數(shù)學(xué)三角形中的中線問題

江蘇省南京市棲霞中學(xué) 張鴻博

向量是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在教學(xué)中占據(jù)重要地位。具體來說，向量既有代數(shù)運(yùn)算，可以進(jìn)行相加、相減、數(shù)乘和數(shù)量積運(yùn)算，又有幾何特征，可以用它來證明直線平行、垂直，同時(shí)它又有豐富的物理背景，可以類比物理中的速度、加速度、位移等。學(xué)好向量對(duì)于我們以后的學(xué)習(xí)很有幫助，這就要求學(xué)生形成一個(gè)正確的向量概念，深刻理解其內(nèi)涵。

在高一數(shù)學(xué)中，有一類三角形的問題學(xué)生屢做屢錯(cuò)，例如：

在△ABC 中，AD 是BC 邊 上 的 中 線， 已 知∠A=120 °，AB=4，AC=6，求AD 的長。

【分析】此題明顯是以三角形為背景的題目，學(xué)生看到題目的第一反應(yīng)是運(yùn)用解三角形的相關(guān)知識(shí)：

【錯(cuò)解】在△ABC 中，

到此為止，準(zhǔn)備工作已經(jīng)完成，接下來要求AD 的長，而在△ABD 中，我們只有AB=4,,兩個(gè)條件解三角形是不夠的，同理，在△ACD 中，解三角形的條件也不足，所以學(xué)生到這里就做不下去了。

我們來反思一下，為什么上述方法不成功呢？直接原因當(dāng)然是條件不夠，那根本原因是什么？是中線AD 把∠A=120°分成了兩個(gè)角，而這兩個(gè)角我們都不知道，所以我們才會(huì)缺少條件。

于是，這道題的問題就變成了如何在只知道大三角形中的兩邊及一夾角的情況下，求出大三角形內(nèi)部的一根中線的問題，那我們?cè)撊绾谓鉀Q這個(gè)問題呢？

兩邊及一夾角，除了和余弦定理有關(guān)，還和向量的數(shù)量積有關(guān)！

此題除了上述解法外，還有其他方法。上題的難點(diǎn)在于中線AD把∠A=120°分成了兩個(gè)角，而這兩個(gè)角我們都不知道。雖然兩個(gè)角都不知道，但是我們知道這兩個(gè)角的和，所以我們可以把這兩個(gè)角“打包”，讓它們同時(shí)出現(xiàn)，于是我們想到了這樣的方法：

【解法二】如右圖所示，把△ABD 繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)80°，不難證明△ABD ≌△A′CD，

在△ACA′中，即AC=6,A′C=4，

由余弦定理得：AA′2=AC2+A′C2-2AC·A′C·cos∠ACA′=16+36-