化歸思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用
——以解方程（組）為例

廣東省清遠(yuǎn)市清城區(qū)清城中學(xué) 向金華

近年來，教學(xué)實(shí)踐顯示，中學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的過程中若加強(qiáng)對(duì)于化歸思想的運(yùn)用，往往能夠?qū)崿F(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維邏輯能力的提升，促進(jìn)中學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的培養(yǎng)以及鍛煉。中學(xué)數(shù)學(xué)教師在實(shí)際的教學(xué)過程中加強(qiáng)了對(duì)于新型教學(xué)理論以及方法的運(yùn)用，本文分析探討數(shù)學(xué)教師在解方程（組）教學(xué)過程中如何采用化歸思想，并論述了化歸思想的內(nèi)涵。

一、化歸思想的概述

把尚未解決或難以解決的問題，通過適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，逐步歸結(jié)為已經(jīng)解決或易于解決的問題，從而使原來的問題最終獲解，這種思想稱為化歸思想。它是一種常用的重要的數(shù)學(xué)思想，它的運(yùn)用往往能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)于復(fù)雜性較強(qiáng)的數(shù)學(xué)問題的解決，通過采用轉(zhuǎn)化的方式，教師以及學(xué)生能夠?qū)?fù)雜的數(shù)學(xué)題目簡(jiǎn)單化處理，幫助學(xué)生掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)于各類問題的快速解答?？偠灾?，化歸思想在數(shù)學(xué)解答過程中的實(shí)質(zhì)就是通過轉(zhuǎn)化的方式將新知識(shí)轉(zhuǎn)化為已知的知識(shí)。

二、化歸思想的應(yīng)用

關(guān)于化歸思想的應(yīng)用，筆者以解方程（組）為例進(jìn)行了相關(guān)總結(jié)，具體內(nèi)容如下：

1．化繁為簡(jiǎn)——代入法、加減法

學(xué)生在進(jìn)行方程問題解答時(shí)，需要將復(fù)雜的問題進(jìn)行轉(zhuǎn)換，將其轉(zhuǎn)變?yōu)樽晕夷芰邮芊秶鷥?nèi)的簡(jiǎn)單問題。解二元一次方程組中的代入法和加減法就是實(shí)現(xiàn)化歸的最為典型的方法。通過轉(zhuǎn)化，把“二元”轉(zhuǎn)變?yōu)椤耙辉?，把未知轉(zhuǎn)變?yōu)橐阎?，使方程組化為簡(jiǎn)單的一元一次方程，以便使用已有的方法求解。但是，在教學(xué)實(shí)踐中，許多數(shù)學(xué)教師往往把教學(xué)側(cè)重于二元一次方程組如何求解上，過分強(qiáng)調(diào)求解的步驟和注意事項(xiàng)，卻忽視了“化歸”思想的滲透，讓學(xué)生錯(cuò)誤地認(rèn)為只要按部就班地解好方程組就學(xué)會(huì)“化歸”了，這樣的教學(xué)得不償失。如果我們能將“化歸”思想在教學(xué)中突顯出來，落到實(shí)處，那么學(xué)生的分析能力、思維能力、推理能力等將大大提高。

對(duì)于解這個(gè)方程組，我們用代入消元法和加減消元法都不難求得正解。但深刻領(lǐng)悟到“化歸”精髓的學(xué)生，便能想到把方程②變形為3（x+y）+y=14 ③，再把x+y 看作一個(gè)整體，將方程①整體代入③得3×4+y=14，解得y=2，從而快速求出方程組的解為。這樣解方程組，豈不妙哉！

2．化生為熟——換元法

在借助化歸思想進(jìn)行方程題目解答的過程中，教師多采用換元法。它的內(nèi)核就是借助一個(gè)變量將未知式子代替，從而促進(jìn)題目的有效解答。換元法能將陌生的知識(shí)點(diǎn)題目轉(zhuǎn)換為學(xué)生已經(jīng)熟練掌握的知識(shí)，從而將陌生問題進(jìn)一步轉(zhuǎn)換為簡(jiǎn)單的題目，降低了問題解答難度，在最大程度上保障學(xué)生對(duì)于陌生知識(shí)習(xí)題的解答，實(shí)現(xiàn)解題效率的提升。換元法是解一些較復(fù)雜的分式方程時(shí)的一種常用方法，它還可以起到降次的作用，把高次整式方程降為低次整式方程，簡(jiǎn)化計(jì)算過程，減少計(jì)算量，是一種很重要的化歸方法。

對(duì)于這個(gè)分式方程，如果用常規(guī)的方法去分母，原方程整理后就會(huì)變成于是，方程中未知數(shù)x 的次數(shù)變成了4 次，用現(xiàn)有的知識(shí)無法解答，求解就陷入死胡同了。但是，只要我們?cè)儆^察這個(gè)方程的特點(diǎn)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)各個(gè)部分的相互聯(lián)系，根據(jù)方程中是互為倒數(shù)的關(guān)系，可設(shè)，則原分式方程就變形為比較熟悉的分式方程再進(jìn)一步去分母化為學(xué)生已經(jīng)熟練掌握的一元二次方程y2-2y+1=0，解得y1=y2=1。最后由即可求出原分式方程的解為x1=2，x2=-1。

3．化難為易——巧用韋達(dá)定理

對(duì)學(xué)生而言，與解方程（組）有關(guān)的各種題目中，計(jì)算難度最大的莫過于一元二次方程的題目了。而韋達(dá)定理為我們巧妙地展示了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，讓我們不解方程也能得出方程兩根和與兩根積的值，簡(jiǎn)化了計(jì)算過程。因此，它在我們求一元二次方程中參數(shù)的值或取值范圍時(shí)有著重要的作用，同時(shí)也可反過來構(gòu)造一元二次方程，將非一元二次方程的問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程，另辟蹊徑，峰回路轉(zhuǎn)，化難為易。

例3：m,n 為不相等的兩實(shí)數(shù)，且m2-3m+1=0,n2-3n+1=0，求的值。

在解答過程中，可以將m2-3m+1=0 進(jìn)行移項(xiàng)、取倒數(shù)等方式轉(zhuǎn)換為，故而能夠?qū)㈩}目轉(zhuǎn)化為從而將復(fù)雜的題目轉(zhuǎn)換為學(xué)生熟悉操作的一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系問題，即可使問題迎刃而解。

解：假設(shè)m，n 分別為x2-3x+1=0 的兩個(gè)根，故而m+n=3，mn=1。

4．化一般為特殊——特殊值法

有些問題或者要考慮的情況較多，或者思路紛繁，或者計(jì)算量大，不易獲得解決，此時(shí)可以轉(zhuǎn)而研究相對(duì)較為容易解決的特殊情況，從特殊中尋找解決方法。通過特殊化，能夠幫助猜測(cè)有待尋找的結(jié)論，也容易獲得有關(guān)解決問題方法的啟示。

例4：已知當(dāng)x 為任何實(shí)數(shù)時(shí)，x2-2x+5=a（x+1）2+b（x+1）+c 都成立，求a，b，c 的值。

解決這個(gè)問題的突破口就在于把方程右邊的部分進(jìn)行化簡(jiǎn)，再根據(jù)方程左右兩邊的各項(xiàng)系數(shù)應(yīng)相等而建立方程組求解。用這種常規(guī)的方法解決會(huì)花費(fèi)較多的時(shí)間，思考、推理、演算較為費(fèi)勁。而運(yùn)用特殊值法“偷懶”解題，反而會(huì)事半功倍，見效神速。我們可以將x 分別取-1，0，1 這三個(gè)特殊，值代入原方程中可得：c=8，a+b+c=5，4a+2b+c=4，再將它們聯(lián)立成三元一次方程組求解即可。

通過解方程（組）學(xué)習(xí)解題，是提高化歸能力的重要途徑。學(xué)生善于利用數(shù)學(xué)對(duì)象之間的相互聯(lián)系，促成了數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化，通過轉(zhuǎn)化，化繁為簡(jiǎn)、化生為熟、化難為易、化一般為特殊，運(yùn)用有效的思維策略促進(jìn)了問題的解決，提高了解題的效率。筆者相信，隨著化歸思想方法的落實(shí)到位，中學(xué)數(shù)學(xué)必將獲得長(zhǎng)足的發(fā)展，而學(xué)生在此過程中也能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)于各類初中數(shù)學(xué)知識(shí)的把握，實(shí)現(xiàn)其自身邏輯思維能力的培養(yǎng)以及鍛煉，促進(jìn)初中數(shù)學(xué)教學(xué)效果的顯著提升。