巧解第35屆預(yù)賽中的拋體問題

李志雄

(莆田第十中學(xué),福建 莆田 351146)

1 第35屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽預(yù)賽中的拋體問題

第35屆預(yù)賽第6題:田徑場(chǎng)上某同學(xué)將一鉛球以初速度v0拋出,該鉛球拋出點(diǎn)的高度為H．鉛球在田徑場(chǎng)上的落點(diǎn)與鉛球拋出點(diǎn)的最大水平距離為________,對(duì)應(yīng)的拋射角為________．重力加速度為g．

2 解法探討

這是一個(gè)與生活實(shí)際直接相關(guān)的經(jīng)典問題,在許多物理競(jìng)賽類的教輔書中都有此問題的解答,一般是以時(shí)間t為參數(shù),從運(yùn)動(dòng)方程出發(fā)來計(jì)算,這種解法思路自然,但計(jì)算復(fù)雜．下面利用中學(xué)數(shù)學(xué)技巧給出2種簡(jiǎn)捷的解法,從中能使人體驗(yàn)到數(shù)理結(jié)合的科學(xué)美．

2.1 利用柯西不等式

(1) 柯西不等式簡(jiǎn)介.

柯西不等式是目前高中數(shù)學(xué)選修4-5中的內(nèi)容,但不如均值不等式一樣為物理教師所熟悉,下面先從平面向量的背景介紹二維形式的柯西不等式．

圖1

如圖1所示,設(shè)在平面直角坐標(biāo)系中有向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a與b之間的夾角θ,根據(jù)向量數(shù)量積的定義有

a·b=|a||b|cosθ.

(1)

因|cosθ|≤1,所以有

|a·b|≤|a||b|.

(2)

用平面向量坐標(biāo)表示(2)式,得

(3)

(2) 分析與解答.

圖2

(1)

落點(diǎn)與鉛球拋出點(diǎn)水平距離為

x=v0xt.

(2)

由(1)、(2)式得

(3)

注意到v0x=vtx,將(3)式變形,利用柯西不等式有

即落點(diǎn)與鉛球拋出點(diǎn)的最大水平距離為

根據(jù)柯西不等式取極值時(shí)的條件,拋得最遠(yuǎn)時(shí)有

則圖2(a)和圖2(b)中2個(gè)速度矢量三角形相似,設(shè)此時(shí)拋射角為θ,有

2.2 利用矢量三角形

圖3

如圖3所示,初速度v0、落地時(shí)末速度vt、速度改變量Δv構(gòu)成矢量三角形OAB,設(shè)拋射角為θ,末速度vt方向與水平線夾角為α,注意到Δv大小為gt,矢量三角形面積為

(1)

落點(diǎn)與鉛球拋出點(diǎn)水平距離為

x=v0cosθ·t.

(2)

由(1)、(2)式可得

(3)

由(3)式知,只要使三角形OAB的面積S最大,水平射程x就能達(dá)到最遠(yuǎn),而此矢量三角形的

面積也可用正弦公式表示為

(4)

因v0、vt大小都是確定的,由(4)式知,要使面積S最大,應(yīng)使sin(θ+α)=1,即θ+α=90°,此時(shí),由(3)、(4)式有

因OAB是直角三角形,有