基于核心素養(yǎng)的多階數(shù)學思維的培養(yǎng)

【摘 要】 數(shù)學核心素養(yǎng)是學生學習數(shù)學應當達成的有特定意義的綜合性能力.新一輪的課程改革對數(shù)學素養(yǎng)的要求不再局限于通常談到的計算能力、空間想象能力等，而是看學生具有數(shù)學問題意識;能獨立多階思考、獨立判斷;思維縝密，能多角度、辯證地分析數(shù)學問題.學生多階思維的培養(yǎng)成為學生核心素養(yǎng)發(fā)展重要內(nèi)容，隨著核心素養(yǎng)的逐步重視，越來越關(guān)注多階數(shù)學思維培養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】 核心素養(yǎng);批判意識;質(zhì)疑能力;多階數(shù)學思維

2016年教育部課程修訂組在《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》修訂稿中提出了六大核心素養(yǎng)，分別是：數(shù)學抽象，邏輯推理，數(shù)學建模，數(shù)學運算，直觀想象，和數(shù)據(jù)分析[1].這六大核心素養(yǎng)的提出，符合當今深化教育教學改革的潮流，是教學改革大勢所趨，對今后的學科教學具有深遠的指導意義.數(shù)學核心素養(yǎng)是學生掌握了一定的數(shù)學知識、能力和思想方法之后的領(lǐng)悟，是學生對高中階段數(shù)學知識的整體理解和把握.反過來，數(shù)學的核心素養(yǎng)對學生理解掌握數(shù)學知識以及運用數(shù)學的思考方式和手段來解決有關(guān)的問題起著指導性的作用.學生的數(shù)學核心素養(yǎng)中最重要的也是我們現(xiàn)在學生最缺乏的就是批判和質(zhì)疑能力.反應在多階數(shù)學思維能力上.多階數(shù)學思維在一定程度上對發(fā)揮學生是教學的主體性起到了積極的作用，對提高學生的數(shù)學思維品質(zhì)也帶來積極的影響.

多階數(shù)學思維教學就是指教師在教學過程中，注重學生思維的深刻性、廣闊性、靈活性、獨創(chuàng)性、敏捷性和批判性.使學生獲得對數(shù)學知識的多角度理解，進而建立新知識與已有知識的本質(zhì)聯(lián)系;從而理解知識的來龍去脈，形成知識網(wǎng)絡(luò)，從而抓住問題的本質(zhì)，加深對問題的理解.下面對概念課，習題課，試卷評講課進行剖析[2].

1 多階數(shù)學思維在概念課中的培養(yǎng)

多階數(shù)學思維在概念課中的培養(yǎng)主要指在教學過程中指向概念的非本質(zhì)特征以突出概念的本質(zhì)特征，從而揭示概念的本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性之間的關(guān)系.

案例1 筆者在教授人教A版必修一第一章1.2函數(shù)概念時，筆者通過創(chuàng)設(shè)問題情景引入函數(shù)的概念.

問題：研究下面三個實例：

A. 一枚炮彈發(fā)射，經(jīng)26秒后落地擊中目標，射高為845米，且炮彈距地面高度h（米）與時間t（秒）的變化規(guī)律是h=130t-5t2.

B. 近幾十年，大氣層中臭氧迅速減少，因而出現(xiàn)臭氧層空洞問題，圖中曲線是南極上空臭氧層空洞面積的變化情況.

C. 國際上常用恩格爾系數(shù)（食物支出金額÷總支出金額）反映一個國家人民生活質(zhì)量的高低. “八五”計劃以來我們城鎮(zhèn)居民的恩格爾系數(shù)如下表.

討論：以上三個實例存在哪些變量？變量的變化范圍分別是什么？兩個變量之間存在著這樣的對應關(guān)系？ 三個實例有什么共同點？

學生在討論之后，歸納出三個實例變量之間的關(guān)系都可以描述為，對于數(shù)集A中的每一個x，按照某種對應關(guān)系f，在數(shù)集B中都與唯一確定的y和它對應，記作：f：A→B.

第1階——操作（Action）：理解函數(shù)需要進行活動或操作.教師創(chuàng)設(shè)情境，引入課題，學生根據(jù)教師提供的學習任務(wù)，利用課件等工具合作研究三個函數(shù)實例;

第2階——過程（Process）：體驗函數(shù)概念的形成過程.學生歸納出函數(shù)的三個特征，積極給函數(shù)下定義，教師補充符號 f（x）的含義;

第3階——對象（Object）：加深理解函數(shù)概念的本質(zhì).學生填寫已學函數(shù)的定義域、對應關(guān)系、值域，通過合作探究學案上的問題，研究不同對應關(guān)系中三要素的關(guān)聯(lián)，完成對函數(shù)概念的整體認識;

第4階——圖式（Scheme）：建立綜合的心理圖式.這一階段的函數(shù)概念，由此得出函數(shù)的定義：設(shè)A、B是非空數(shù)集，如果按照某種確定的對應關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對應，那么稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)（function），記作：y=f（x），x∈A.

通過含有具體的函數(shù)實例、抽象的過程、完整的定義，乃至和其它概念（方程、不等式）的區(qū)別和聯(lián)系，多階的函數(shù)定義與映射概念的比較，使學生發(fā)現(xiàn)函數(shù)是建立在兩個非空數(shù)集間的一種對應，若將其中的條件“非空數(shù)集”弱化為“任意兩個非空集合”，按照某種法則可以建立起更為普通的元素之間的對應關(guān)系，即映射.這樣的比較不僅加深了學生對函數(shù)概念的理解，對提高學生的數(shù)學思維品質(zhì)也帶來積極的影響.

2 多階數(shù)學思維在習題課中的培養(yǎng)

多階數(shù)學思維在習題課中的培養(yǎng)是對習題進行多維度教學，通過習題的多維度變換，夯實學生對知識的內(nèi)涵和外延的理解，促進學生形成知識網(wǎng)絡(luò)，提高學生的數(shù)學思維品質(zhì).習題課中的多階教學主要包括習題方法性多階、強化性多階和開放性多階等.

案例2 在教授人教A版必修四第一章1.2任意角的三角函數(shù)時，在學生學習任意角的三角函數(shù)的定義后，為鞏固學生對任意角的三角函數(shù)的定義的理解，筆者在習題課中引入例題2.

例2 已知角α的終邊經(jīng)過點P（2，-3），求角α的正弦、余弦和正切值.

在分析解題思路后，由學生進行規(guī)范的板演，筆者最后歸納出這類利用三角函數(shù)的終邊上任意點的坐標來求函數(shù)值的一般步驟后，筆者給出幾道變式題.

以上四個階段都是針對同一個知識點，就是這類利用三角函數(shù)的終邊上任意點的坐標來求函數(shù)值的問題.這種歸類的變式訓練揭示了問題的本質(zhì)屬性，有助于學生掌握解決該類問題的方法和技巧，實現(xiàn)知識、方法的遷移，同時對提高學生的數(shù)學思維品質(zhì)也帶來積極的影響.

3 多階數(shù)學思維在試卷講評課中的培養(yǎng)

多階數(shù)學思維在試卷評講課中的培養(yǎng)是針對高中數(shù)學學習中學生經(jīng)常出錯的、容易混淆的知識、不易糾正的問題，進行多階設(shè)計，查缺補漏.試卷講評還應根據(jù)學生解題過程中所出現(xiàn)的思維障礙和思維缺陷等“錯點”，設(shè)計關(guān)聯(lián)性的引發(fā)學生思維擴散或思維聚焦的問題鏈，將一些“形異質(zhì)同”“形似質(zhì)異” 的試題串聯(lián)起來，促使學生在“聯(lián)系”的狀態(tài)下獲得新的體驗與智慧.

案例3 在人教A版必修一第一章《集合》的單元測試卷中，有這么一道題，很多學生都做錯了，做錯的原因是由于學生對于兩個集合間的基本關(guān)系中“包含”的理解不到位，而帶有參數(shù)時，就參數(shù)的取值范圍更是高一新生在數(shù)學思維上一大障礙，從測試卷中反饋出的情況是學生對這種參數(shù)在數(shù)軸上的位置的確定不理解，為突破這個難點，筆者以此題為點，通過多階教學思維使得學生清晰認識到此類含參數(shù)的集合問題的求解思路.

4 基于核心素養(yǎng)的多階數(shù)學思維教學的意義

（1）有利于培養(yǎng)學生的邏輯推理能力

基于核心素養(yǎng)的多階數(shù)學思維教學使得概念講得更清，定理教得更明，加強邏輯思維培養(yǎng)，使學生自主學會畫圖、自主學會用數(shù)學形式表示、自主學會條理地敘述解題過程[3].

（2）有利于培養(yǎng)學生思維的靈活性

基于核心素養(yǎng)的多階數(shù)學思維教學增強數(shù)學教學的變化性，為學生提供廣泛的聯(lián)想空間，使學生在面臨問題時能夠從多種角度進行考慮，并迅速地建立起自己的思路，真正做到“舉一反三”.另外，還要鼓勵學生從不同的角度去觀察問題和分析問題，鼓勵學生敢于發(fā)表不同的見解.

（3）有利于培養(yǎng)學生反思的習慣

基于核心素養(yǎng)的多階數(shù)學思維教學引導學生剖析發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的過程.反思學習中運用了哪些基本的方法、技能和技巧？ 它們的合理性如何？效果如何？有沒有更好的方法？學習中走過哪些彎路？犯過哪些錯誤？ 原因何在？

參考文獻

[1] 余曉紅.從“課本”到“趣味數(shù)學”[J]. 教育教學論壇， 2012（37）.

[2] 何正文.基于核心素養(yǎng)的批判教學探究[J] .教學考試，2017：（35）.

[3] 陳琦.當代教育心理學[M] .北京：北京師范大學出版社，1997：（102）.