“弧度制”教學：注重概念生成凸顯概念本質

金山

【摘?要】?數(shù)學概念是數(shù)學思維的起點，是建立數(shù)學理論的基礎，概念教學在數(shù)學教學中舉足輕重，不僅擔負著學生知識結構和思維能力發(fā)展的責任，同時也是培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的一種重要途徑.文中以必修4弧度制的概念教學設計為例，探討概念教學中如何凸顯概念的本質，培養(yǎng)學生用數(shù)學眼光觀察世界、用數(shù)學語言表達世界的核心素養(yǎng).

【關鍵詞】?教學設計;概念教學;弧度制;核心素養(yǎng)

數(shù)學概念是數(shù)學思維的起點，是判斷推理的基礎，是定理、法則、性質的基本單位，是建立數(shù)學理論的基礎，正確理解、掌握和運用數(shù)學概念是學好數(shù)學的前提.所以數(shù)學概念的教學具有十分重要的作用，不僅擔負著學生知識結構和思維能力發(fā)展的責任，同時也是培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的一種重要途徑.下面以最近筆者在一次市級公開課中，執(zhí)教的“弧度制”教學為例，談談對概念教學的認識和感悟.

1?教材、學情分析

1.1?教材分析

本節(jié)所使用教材是蘇教版《必修4》第1章第1.1.2節(jié)“弧度制”.第1.1節(jié)分兩部分，前一部分是“任意角”，其中角的度量仍采用初中學過角度制.本節(jié)弧度制的基本思想是圓半徑與圓周長在同一度量單位下，用對應的弧長與圓半徑之比來度量角.與角度制度相比，弧度制度量角在數(shù)學中顯示出很大的優(yōu)越性：一是10進制取代了60進制，便于數(shù)與數(shù)（角與角）之間比較，提高解決問題的效率，并且新的度量體系與角度制可以進行對應換算，保證與原有數(shù)學系統(tǒng)相容;二是三角函數(shù)中的自變量是角，因為函數(shù)是數(shù)集到數(shù)集的對應，自變量取實數(shù)才合理，若繼續(xù)采用角度制表示角，就會與函數(shù)的定義沖突;三是微積分中使用弧度制后，眾多公式可以簡化，從而推動了微積分的發(fā)展和普及.所以本節(jié)課的學習對本章以及今后的數(shù)學學習十分重要.

1.2?學情分析

授課班級是四星級高中普通理科班，學生數(shù)學基礎扎實，具有探究熱情.從知識層面，學生已學過角度制度量角，掌握射線旋轉形成任意角等;從能力層面，學生具備一定的觀察事物能力，積累了一些不同度量系統(tǒng)之間換算的活動經(jīng)驗，在一定程度上具備了抽象、概況的能力和語言轉換能力，這些都為本節(jié)課順利開展奠定了基礎.

1.3?教學目標

教學目標 ?（1）理解弧度的意義，能正確地進行弧度與角度之間的換算，熟記特殊角的弧度數(shù);

（2）了解角的集合與實數(shù)集之間可以建立其一一對應的關系;

（3）掌握弧度制下的弧長公式，會利用弧度制解決某些簡單的實際問題.

教學重點?弧度制與角度制換算和弧長公式.

教學難點?理解弧度制意義及角與實數(shù)的對應關系.

2?教學過程

2.1?情境引入 學會數(shù)學眼光觀察

PPT展示，扳手擰緊螺帽的場景對大家都不陌生，你能從中看出扳手轉動與螺帽轉動之間有什么特點和聯(lián)系？

設計意圖?弧度制是一種新的描述角的方法，在弧度制教學中，有些老師采用數(shù)學規(guī)定說，沒有強調(diào)它本身的數(shù)學含義和數(shù)學價值，強行讓學生接受，導致學生對概念缺乏數(shù)學理解.另外，讓弧度制以這種"冷酷"的面孔登場亮相，學生心里不情愿，學習缺少動力，自然效果低下.本節(jié)首先展示學生熟悉的生活場景，引導學生用數(shù)學眼光觀察、思考，不僅可以提高學生學習興趣，同時也為理解弧度制做好鋪墊.

師：如圖2，扳手的另一端從點A轉動到點B，螺帽對應點A1轉動到B1位置，從中你發(fā)現(xiàn)幾何數(shù)量之間具有哪些相等和不相等的關系？

生1：點A轉動的弧長與點A1轉動的弧長不相等;兩弧所在圓的半徑也不相等，扳手轉動的弧長大些，所在的圓半徑也大些.

師：有相等的量嗎？

生1：點A和點A1轉動的角度相等.

師：很好.如果扳手變長，螺帽轉動相同的角度，扳手轉動的弧長怎么變化？

生眾：弧長更大.

設計意圖?螺帽轉動相同角度，扳手越長越省力，即扳手的長度（半徑）改變，扳手的另一端轉動弧長也改變，這是學生較為熟悉的生活體驗，但其中隱含的“弧長與半徑比值為定值”的數(shù)學元素，對學生來說卻是陌生的、抽象的，設計這樣的環(huán)節(jié)主要是讓學生初步感受弧度制度量角的合理性.問題1?想一想，圓心角、半徑、弧長之間有什么關系？能用一個數(shù)學式子表示三者之間的關系嗎？

設計意圖?教材上對弧度制沒有過多的引入，當然可以從長度為例，用國際單位制“米”或我國古代“尺”來度量一個物體的長度，但這樣引入，會讓學生感覺弧度制是數(shù)學家們捏造出來的，有一種強行灌輸?shù)母杏X，很難激起學生相應的學習興趣和學習動機.

學生分組討論，并選出代表交流.

生2：對于相等的圓心角，半徑越大弧長越長.所以我們小組猜想，用l，α，r表示圓心角、弧長、半徑，l與r成正比，三者之間可以用l=αr表示.

師：為什么比例系數(shù)是α呢？這樣合理嗎？

生3（與生2同組）：畫圖發(fā)現(xiàn)，r相等，l與α也成正比;l相等，r與α成反比，所以想到這樣表示，并且是合理的.

生眾：這還是猜出來的呀！

師：他們的猜想合情合理，這種猜想在數(shù)學中非常重要，當然數(shù)學中的猜想是要驗證的.大家現(xiàn)在的疑問是，l與r之間的變化是否只與α有關？會不會還受其它的量影響？

生4：利用初中學過的弧長公式，l=nπr180，其中n是圓心角的角度數(shù).所以

lr=nπ180，這個式子說明lr只與角大小有關，當角確定，lr為定值.

師：太棒了！通過大家的探究、猜想、驗證，我們得到：可以用l與r來表示α，即α=lr.這就是本節(jié)課我們要學習的“弧度制”（引出課題）.

教學體會?在教學實踐中，重應用、輕講解的概念教學仍普遍存在，學生被動接受概念，缺乏概念的理解，不能體會其意義和價值.弧度制是數(shù)學中的一種規(guī)定，但在學生眼中數(shù)學是一門嚴謹、講究邏輯的科學，為什么要這樣規(guī)定？這樣規(guī)定是否合理？教師沒有一一回答這些疑問，而是通過學生自主探究、大膽猜想、小心驗證，親身體會這種度量角的規(guī)定的合情性、合理性，學生欣然接受新的度量角的方法.

2.2?建構數(shù)學 學會數(shù)學語言表達

問題2?用α=lr度量角，角的單位是什么？

設計意圖?問題2設計是為了讓學生理解弧長與半徑的比值表示角，了解弧度制的優(yōu)越在于：用實數(shù)表示角.

生5：因為l與r是長度，所以它們的比值是個實數(shù)，沒有單位.

師：大家一開始對用實數(shù)來衡量角的大小可能不太適用，但通過上面探究我們知道這種方法在數(shù)學中是可行的、合理的.用數(shù)表示角大小，可以在數(shù)后面加上rad，這不是單位，只是提醒我們這個數(shù)在此表示角，等熟練了后，在不引起歧義的情況下通常省略.

問題3?任意角都可以用l與r的比值表示嗎？

設計意圖?問題3設計的目的是建立弧度制下的角與實數(shù)之間的一一對應關系.

生6：任意角是從旋轉角度定義的，旋轉量從弧長可以得出，符號用旋轉方向規(guī)定的，所以任意角都可以用l與r的比值表示，正角、零角、負角分別用正數(shù)、零、負數(shù)表示.

師：任意一個角都可以用唯一實數(shù)表示，那么任意一個實數(shù)都可以表示角嗎？唯一嗎？

生7：可以而且是唯一的.

師：很好，如圖3所示，實數(shù)和角之間是一一對應的關系.

問題4?由問題1的探究過程你可以得到弧度制與角度制下角的關系嗎？

生8：設角的弧度數(shù)為α，角度為n°，因為lr=nπ180，所以α=nπ180，n=180π·α.

設計意圖?第（1）問要求學生掌握換算的算理，第（2）問要求記憶特殊角的弧度數(shù).通過探究，讓學生理解角的兩個度量系統(tǒng)相容性，掌握兩種度量角之間的互換，利用熟悉的角度制感受用實數(shù)表示的角的大小.

問題6?根據(jù)角的弧度制定義，探究扇形的弧長、面積公式.

設計意圖?弧度制的優(yōu)越性不僅在于用實數(shù)表示角，還表現(xiàn)在一些公式因為弧度制的引入使得形式簡化.問題4的設計讓學生通過親身經(jīng)歷簡化過程，更容易記住扇形中的幾個量之間的關系，體會到弧度制給研究問題帶來的方便.

學生探討、師生交流過程略.2.3?數(shù)學運用?學會數(shù)學分析

例1?把下列各角從弧度化為度：（1）3π5;（2）3.5.

例2?把下列各角從度化為弧度：（1）252°;（2）11°15′.

設計意圖?弧度制與角度制換算是本節(jié)課的重點，通過例題鞏固學生對弧度制角的認識.

例3?已知扇形的周長為8cm，圓心角為2rad，求扇形的面積.

變式?已知扇形的周長為8cm，當圓心角為多少時，扇形面積最大.

設計意圖?概念學習后，學生自然會發(fā)問：概念有什么用？怎么用？通過例3讓學生簡單了解弧度制在實際中的應用，加強知識的訓練，形成知識網(wǎng)絡.

3?教學感悟

3.1?引導學生用數(shù)學的眼光觀察世界，激發(fā)學習概念的興趣

概念課的引入，若采用平鋪直敘、機械灌輸?shù)姆椒?，由于對概念的?shù)學理解的缺失，導致學生感到概念枯燥乏味、抽象難懂.根據(jù)建構主義理論，建立在真實事件或真實問題上的概念生成，不僅能夠激起學生的學習興趣，而且對學生更具有感染力.本節(jié)課從扳手擰緊螺帽的生活場景引入，雖然這一情境對學生來說并不陌生，但一般不會留意到其中蘊含的圓心角、弧長、半徑之間的關系.通過引導學生用數(shù)學眼光觀察場景，提煉其中數(shù)學元素，在激起學生學習興趣和好奇心同時，巧妙聯(lián)系圓心角、弧長和半徑，為新知搭建橋梁，促使學生順理成章進入到了弧度制概念的探究.

3.2?引導學生用數(shù)學方法研究世界，親身經(jīng)歷概念形成過程

第斯多慧說過，“不稱職的教師強迫學生接受真知，優(yōu)秀的教師則教學生主動尋求真知.”并強調(diào)：“教師先不要急于給學生講解觀點，應當啟發(fā)學生自己去尋求答案，主動去掌握知識.”在概念的教學中，有些教師重概念應用、輕概念形成，學生對概念缺乏數(shù)學理解，不能體會其意義和價值.弧度制概念對學生而言，難點在于為什么可以這樣規(guī)定？這樣規(guī)定合乎數(shù)學道理嗎？為了讓學生突破這些困惑，教學中弧長與半徑的比值為定值沒有直接呈現(xiàn)給學生，而是引導學生自主發(fā)現(xiàn)、自主探究，通過學生與情境、學生與學生、教師與學生之間的多邊活動，通過學生認真思考與反思，成為概念建構的真正主人.概念形成的教學過程，由于學生思維的高度參與，課堂充滿了活力，學生對弧度制本質有了更深刻的理解，培養(yǎng)了學生直觀想象、數(shù)學抽象、邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng)，發(fā)展了學生嚴謹科學精神.

參考文獻

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