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    圍繞核心概念 突出通性通法

    2019-04-01 06:22:30童衛(wèi)華
    關(guān)鍵詞:解題方法

    童衛(wèi)華

    [摘? 要] 數(shù)學(xué)好題要有利于學(xué)習(xí),幫助學(xué)生不僅掌握知識(shí)的運(yùn)用,又洞悉知識(shí)的產(chǎn)生;有利于溝通知識(shí)之間的聯(lián)系,完成知識(shí)重組,完善知識(shí)體系;有利于優(yōu)化思維品質(zhì),提升理解層次,優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu).

    [關(guān)鍵詞] 通性通法;解題方法;試題賞析;核心概念

    試題呈現(xiàn)

    (2018年杭州卷第22題)設(shè)二次函數(shù)y=ax2+bx-(a+b)(a,b是常數(shù),a≠0).

    (1)判斷該二次函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù),說明理由.

    (2)若該二次函數(shù)的圖像經(jīng)過A(-1, 4),B(0,-1),C(1,1)三個(gè)點(diǎn)中的其中兩個(gè)點(diǎn),求該二次函數(shù)的表達(dá)式.

    (3)若a+b<0,點(diǎn)P(2,m)(m>0)在該二次函數(shù)圖像上,求證:a>0.

    解法賞析

    1. 關(guān)于第(1)問的解題方法

    解法1:公式法(常規(guī)方法). 當(dāng)y=0時(shí),ax2+bx-(a+b)=0(a≠0),因?yàn)棣?b2-4a[-(a+b)]=(b+2a)2,所以當(dāng)b+2a=0時(shí),即Δ=0,函數(shù)圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn);當(dāng)b+2a≠0時(shí),即Δ>0,函數(shù)圖像與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

    解法2:因式分解法(十字相乘法). 當(dāng)y=0時(shí),ax2+bx-(a+b)=0(a≠0),將方程利用十字相乘法分解得(x-1)(ax+a+b)=0,所以x=1,x=-. 當(dāng)b=-2a時(shí),x=1,此時(shí)x=x=1,函數(shù)圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn);當(dāng)b≠-2a時(shí),x≠1,此時(shí)x≠x,函數(shù)圖像與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

    解法3:因式分解法(分組分解法). 當(dāng)y=0時(shí),ax2+bx-(a+b)=0(a≠0),將方程左邊拆解,分組ax2+bx-(a+b)=(ax2-a)+(bx-b)=(x-1)(ax+a+b),所以(x-1)·(ax+a+b)=0,方程的解為x=1,x=-. 接下來同解法2.

    解法4:觀察函數(shù)解析式的系數(shù)特點(diǎn),常數(shù)項(xiàng)是-(a+b),與二次項(xiàng)系數(shù)a,一次項(xiàng)系數(shù)b的和恰好互為相反數(shù),所以猜測函數(shù)圖像經(jīng)過某一定點(diǎn),當(dāng)把x=1代入函數(shù)解析式時(shí),發(fā)現(xiàn)y=a+b-(a+b)=0,即不論a,b取何值,函數(shù)都經(jīng)過定點(diǎn)E(1,0). 然后根據(jù)二次函數(shù)圖像的對稱性,當(dāng)對稱軸直線x=-≠1,即b+2a≠0時(shí),函數(shù)圖像與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn);當(dāng)對稱軸直線x=-=1,即b+2a=0時(shí),函數(shù)圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn).

    2. 關(guān)于第(2)問的解題方法

    解法1:由(1)問的解法2,3,4可知,函數(shù)圖像經(jīng)過定點(diǎn)E(1,0),所以函數(shù)圖像不可能經(jīng)過點(diǎn)C(1,1),因此函數(shù)圖像經(jīng)過A(-1,4),B(0,-1)兩點(diǎn),從而a-b-(a+b)=4,

    -(a+b)=-1, 解方程組得a=3,

    b=-2, 所以函數(shù)解析式為y=3x2-2x-1.

    解法2:當(dāng)學(xué)生沒有發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖像經(jīng)過定點(diǎn)(1,0),就不能直接排除點(diǎn)C(1,1),這樣學(xué)生只能分類討論,分別把點(diǎn)A與點(diǎn)B、點(diǎn)A與點(diǎn)C、點(diǎn)B與點(diǎn)C這三組點(diǎn)分別代入二次函數(shù)求解析式. 在解方程組時(shí),發(fā)現(xiàn)a+b-a-b=1即0=1不合理,檢查后發(fā)現(xiàn)原因, C點(diǎn)在函數(shù)圖像上這個(gè)假設(shè)不成立,應(yīng)舍去. 所以只有將點(diǎn)A(1,4)和B(0,-1)代入時(shí)能求解,接下來同解法1.

    3. 關(guān)于第(3)問的解題方法

    點(diǎn)P(2,m)(m>0)在圖像上,所以m=a×22+b×2-(a+b)=3a+b>0①,結(jié)合條件a+b<0②,有以下解法.

    解法1:①-②得(3a+b)-(a+b)>0,所以a>0.

    解法2:利用字母b“中轉(zhuǎn)”,分別由①②可得3a>-b,a<-b,利用不等式傳遞性可得3a>-b>a,可得2a>0,所以a>0.

    解法3:利用字母m“換元”,由①得b=m-3a③,把③代入②可得a+(m-3a)<0,從而2a>m>0,所以a>0.

    解法4:結(jié)合函數(shù)圖像,利用函數(shù)單調(diào)性判斷. 由第(1)小題的解法2,3,4可知函數(shù)圖像經(jīng)過定點(diǎn)E(1,0),點(diǎn)P(2,m)(m>0),將條件a+b<0,轉(zhuǎn)化為圖像與縱軸的交點(diǎn)D(0,-a-b),這三個(gè)點(diǎn)分別在x軸的正半軸上,第一象限,y軸的正半軸上,大致位置如圖1所示.

    假設(shè)當(dāng)a<0時(shí),拋物線經(jīng)過D(0,-a-b),E(1,0)兩點(diǎn)時(shí),如圖2,圖像不經(jīng)過P點(diǎn),因?yàn)楦鶕?jù)二次函數(shù)的性質(zhì),當(dāng)自變量x增大時(shí),函數(shù)值變小,即當(dāng)x=2,函數(shù)值為負(fù)數(shù),所以不可能經(jīng)過P點(diǎn). 同理,當(dāng)拋物線經(jīng)過E(1,0),P(2,m)兩點(diǎn)時(shí),如圖3,圖像不經(jīng)過D點(diǎn). 當(dāng)拋物線經(jīng)過D(0,-a-b),P(2,m)兩點(diǎn)時(shí),如圖4,圖像不經(jīng)過定點(diǎn)E,綜上所述,當(dāng)a<0時(shí),拋物線不可能同時(shí)經(jīng)過這三點(diǎn),以退為進(jìn),排除可能性. 而當(dāng)a>0時(shí),拋物線可以同時(shí)經(jīng)過這三點(diǎn),如圖5,所以a>0成立.

    個(gè)性解讀

    1. 聚焦重點(diǎn)內(nèi)容,核心素養(yǎng)的考查

    試題設(shè)計(jì)聚焦初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容“二次函數(shù)”,考查了函數(shù)研究的基本方面:求解函數(shù)解析式,函數(shù)圖像,涉及圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)(圖像上的特殊點(diǎn)),圖像的位置與函數(shù)解析式中系數(shù)的關(guān)系,函數(shù)的性質(zhì). 在問題解決的過程中,考查了運(yùn)算能力,推理能力,模型思想. 其中試題第(1)問側(cè)重運(yùn)算素養(yǎng)的考查,具體解決方法為兩種方案,方案一:定性分析,計(jì)算Δ,然后比較Δ與0的大小關(guān)系. 方案二:定量刻畫,直接求解方程,不僅回答了交點(diǎn)的個(gè)數(shù),還解決交點(diǎn)在哪里. 試題的第(2)問,在考查運(yùn)算素養(yǎng)的同時(shí),蘊(yùn)含了邏輯推理能力的考查,C(1,1)這個(gè)點(diǎn)不在函數(shù)圖像上,要求學(xué)生對“不合理的等式”能做出正確的判斷. 第(3)問側(cè)重邏輯推理能力的考查,在條件“a+b<0”和“點(diǎn)P(2,m)(m>0)在該二次函數(shù)圖像上”的靈活處理中,嘗試用不同的方法表述論證的過程,掌握數(shù)學(xué)模型進(jìn)行數(shù)學(xué)推理.

    2. 突出通性通法,思維層次的表達(dá)

    試題中每一小問的解決反映了數(shù)學(xué)問題解決的通性通法,如第(1)問求二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù),只需轉(zhuǎn)化成求一元二次方程解的個(gè)數(shù)來解決;第(2)題求二次函數(shù)的解析式中待定系數(shù)a,b,只需將圖像上的兩個(gè)已知點(diǎn)代入列方程組求解;第(3)題要求證“a>0”,可以借助不等式求解. 在具體的解答過程中,解法的多樣性、靈活性和創(chuàng)造性適合不同層次、不同思維品質(zhì)的學(xué)生需求. 如第(1)小題的解法2、解法3、解法4就體現(xiàn)了創(chuàng)新性,利用系數(shù)特點(diǎn),結(jié)合函數(shù)的對稱性,開創(chuàng)性地解決了問題,體現(xiàn)了創(chuàng)新意識(shí). 第(2)題中的解法1和解法2實(shí)際上是同一種方法,但用解法1更能體現(xiàn)學(xué)生的整體意識(shí). 第(3)題中的解法1、解法2、解法3都用到了不等式的知識(shí),但是解法1用到了“a+b<0”這個(gè)整體,體現(xiàn)整體思想;解法2利用“b”中轉(zhuǎn),運(yùn)用不等式的傳遞性,得到3a>-b>a;解法3利用“m”換元,結(jié)合“m>0”這個(gè)隱含條件,得到了2a>m>0,使不同學(xué)生的不同思維方式得以展示,不同的數(shù)學(xué)思想(整體思想、換元思想、類比思想)得以體現(xiàn).

    3. 關(guān)注問題結(jié)構(gòu),整體思想的把握

    試題中有三小問,表面上看第(1)問,函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù),第(2)問,求函數(shù)解析式,第(3)問,證明a>0. 這三小問,分屬于函數(shù)研究的三個(gè)方面,每個(gè)方面都對應(yīng)著各自的通法. 但是這三個(gè)方面都是函數(shù)圖像的一個(gè)方面,是函數(shù)圖像的一個(gè)局部,因此我們可以將這三個(gè)問題當(dāng)成一個(gè)整體,嘗試?yán)脠D像法來解決問題. 有了這個(gè)想法后,再審視題干,二次函數(shù)y=ax2+bx-(a+b)(a,b是常數(shù),a≠0),只能從系數(shù)特點(diǎn)出發(fā),發(fā)現(xiàn)它的不變性:過定點(diǎn)E(1,0). 所以在解決本題的三個(gè)小問時(shí)都可以從這個(gè)隱含條件出發(fā),于是第(1)題就有了解法4:利用函數(shù)經(jīng)過定點(diǎn),結(jié)合函數(shù)圖像的對稱性. 在第(2)題的解題過程中,既然發(fā)現(xiàn)過定點(diǎn)(1,0),就排除過點(diǎn)(1,1),直接用解法1. 在第(3)題的解題過程中,因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)了過定點(diǎn)(1,0)這個(gè)隱含條件,結(jié)合題目中的兩個(gè)條件:經(jīng)過點(diǎn)P(2,m)(m>0)和a+b<0,就可以利用圖像法,數(shù)形結(jié)合,直觀地解決問題. 使學(xué)生深深體會(huì)到“數(shù)缺形時(shí)少直觀,形缺數(shù)時(shí)難入微”以及“數(shù)形結(jié)合真奇妙”.

    教學(xué)啟示

    1. 課堂教學(xué)時(shí)要注重?cái)?shù)學(xué)素養(yǎng)的落實(shí)

    初中數(shù)學(xué)素養(yǎng)可以理解成由以下“十個(gè)核心概念”組成:數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí).

    在課堂教學(xué)時(shí)不僅要加強(qiáng)常規(guī)形代數(shù)式的化簡、變形教學(xué),使同學(xué)們掌握計(jì)算原理,同時(shí)更應(yīng)加強(qiáng)關(guān)于x的代數(shù)式的化簡、變形,如將代數(shù)式ax2+bx-(a+b)因式分解. 關(guān)于x的方程的求解,如ax2+bx-(a+b)=0(a≠0)(方程的解是一個(gè)代數(shù)式),字母x可以是一個(gè)數(shù),如x=1,可以是整式,如x=a,也可以是代數(shù)式,如x=-,x=能促使學(xué)生較深刻地理解代數(shù)式,理解方程的解,實(shí)現(xiàn)從數(shù)字到字母,從算術(shù)到代數(shù),從具體到抽象的跨越,讓不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展.

    2. 習(xí)題講解時(shí)要注重解題思路的提煉

    習(xí)題的講解不僅要解決問題,更應(yīng)關(guān)注解法的由來. 你是怎么想到的?除了這種想法外還有別的想法嗎?這些想法的區(qū)別和聯(lián)系又是什么?能運(yùn)用到別的問題中嗎?關(guān)注習(xí)題中各小問之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系,它們之間的區(qū)別和聯(lián)系在哪里?如文中的第(2)問與第(3)問,第(2)問解決的是方程求解問題,它通常的解題思路是什么?是消元,變二元為一元. 依據(jù)是什么?是等式的性質(zhì). 在解題時(shí),通常還要用到整體思想,那么根據(jù)此想法,結(jié)合第(2)問分析第(3)問,我們會(huì)發(fā)現(xiàn)第(3)問的解法就會(huì)顯得“順理成章”,解二元一次方程的思路、解法、思想方法,就會(huì)順勢遷移到解二元一次不等式組上來.

    3. 單元復(fù)習(xí)時(shí)要注重整體觀念的把握

    數(shù)學(xué)素養(yǎng)是通過單元教學(xué)來落實(shí)的,單元的復(fù)習(xí)教學(xué)對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的夯實(shí)、解題方法的提煉、數(shù)學(xué)思想的體會(huì)起著重大作用. 因此在復(fù)習(xí)時(shí),要引導(dǎo)學(xué)生從整體出發(fā),分析該單元的核心內(nèi)容和核心方法,以形成知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)化、結(jié)構(gòu)化,防止知識(shí)的碎片化.

    如“二次函數(shù)”這一章,我們更應(yīng)把函數(shù)的圖像看成一個(gè)載體,利用這個(gè)載體將二次函數(shù)的核心內(nèi)容整合在一起. 本題中的(3)小問,既可以單獨(dú)利用通法求解,也可以利用挖掘出的共性,利用圖像法“一解到底”. 用一題多解的方式,從不同的角度復(fù)習(xí)相關(guān)知識(shí),注重知識(shí)間的聯(lián)系與區(qū)別,方法的類比和遷移,從多角度比較解題方法,能提升學(xué)生的整體觀念,并在新情境下得到新的體驗(yàn),學(xué)到新的解題方法,形成新的知識(shí)結(jié)構(gòu).

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