“一字之差”的思考

周香

摘 要：數(shù)學(xué)是思維的體操，就像做廣播操可以鍛煉身體一樣，學(xué)數(shù)學(xué)可以鍛煉思維。下面，一起來(lái)體驗(yàn)數(shù)學(xué)中“一字之差”帶來(lái)的思維體操吧。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；巧妙解法；思考

思維訓(xùn)練1：設(shè)ω>0，函數(shù)f（x）=2sinωx在- ， 上是增函數(shù)，那么ω的取值范圍是 。

思維體操1-1（常規(guī)的數(shù)學(xué)思維）：從定義出發(fā)，- ， 應(yīng)該是f（x）=2sinωx所在增區(qū)間中某個(gè)增區(qū)間的子集。

解：當(dāng)- +2kπ≤ωx≤ +2kπ（ω>0，k∈Z）時(shí)，- + ≤x≤ + ，即f（x）=2sinωx在- + ， + k∈Z上分別單調(diào)遞增，- ， 是f（x）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的增區(qū)間，則

- + ≤- ； + ≥ ；ω>0.

解得當(dāng)k=0時(shí)，0<ω≤ ；當(dāng)k≠0時(shí)，ω?zé)o解。

綜上ω的取值范圍是（0， ]。

思維體操1-2（巧妙的數(shù)學(xué)思維）：從圖象的周期出發(fā)，f（x）=2sinωx的每個(gè)增區(qū)間的區(qū)間長(zhǎng)度應(yīng)不超過(guò)其周期的一半。

解：由

-- ≤ ；T= 。

有ω≤ ，又ω>0，故ω的取值范圍是（0， ]。

思維總結(jié)：“思維體操1-1”從定義出發(fā)，踏踏實(shí)實(shí)一步一個(gè)腳印的做法，雖然是正確的，但是計(jì)算非常繁瑣，容易導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤；而“思維體操1-2”利用三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性簡(jiǎn)化了計(jì)算，思維非常巧妙，同時(shí)也體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)三角函數(shù)性質(zhì)靈活運(yùn)用的能力。

但是，是不是類(lèi)似這樣的題目都可以以“思維體操1-1”或者“思維體操1-2”的方法解答呢？下面請(qǐng)看“思維訓(xùn)練2”。

思維訓(xùn)練2：設(shè)ω>0，函數(shù)f（x）=2sinωx在- ， 上是增函數(shù)，那么ω的取值范圍是 。

“思維訓(xùn)練2”是在“思維訓(xùn)練1”的基礎(chǔ)上僅僅更改了一個(gè)數(shù)字，結(jié)果還會(huì)不會(huì)一樣呢？解題思路、方法又會(huì)有什么樣的變化呢？

思維體操2-1：類(lèi)似“思維體操1-1”常規(guī)的思維，從定義出發(fā)，- ， 應(yīng)是f（x）=2sinωx所在增區(qū)間中某個(gè)增區(qū)間的子集。

解：由

- + ≤- ； + ≥ ；ω>0.

解得當(dāng)k=0時(shí)，ω≤ 且ω<2；當(dāng)k≠0時(shí)，ω?zé)o解。

綜上ω的取值范圍是（0， ]。

思維體操2-2：同樣也可從圖像的周期性與單調(diào)性出發(fā)，

f（x）=2sinωx每個(gè)增區(qū)間的區(qū)間長(zhǎng)度應(yīng)不超過(guò)其周期的一半。

錯(cuò)解：由

-- ≤ ；T= 。

有ω≤ ，又ω>0，故ω的取值范圍是（0， ]。

正確解法：由于f（x）=2sinωx是奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的定義區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性是一致的，故- ，0與0， 單調(diào)性一致，都是單調(diào)遞增的。所以，

-- ≤ ；T= 。

有ω≤ ，又ω>0，綜上ω的取值范圍是（0， ]。

思維總結(jié)：“思維體操2-1”沿用了常規(guī)的定義法，雖然無(wú)法避免計(jì)算上的繁瑣，但是實(shí)實(shí)在在地保證了結(jié)果的正確性；而“思維體操2-2”在利用巧妙的思維時(shí)卻弄巧成拙，上面的錯(cuò)解看似天衣無(wú)縫，無(wú)懈可擊，但因?yàn)樗鲆暳薴（x）=2sinωx函數(shù)本身所具有的對(duì)稱性，導(dǎo)致了過(guò)程、結(jié)果的錯(cuò)誤。不過(guò)，我們不能因?yàn)橐粋€(gè)錯(cuò)解而否定一種巧妙的解法，只要成功地挖掘出題目的隱含條件，加上周全的考慮，“巧妙的思維、解法”仍然可為我們節(jié)省了許多計(jì)算量，使得解答過(guò)程更為簡(jiǎn)便?！八季S體操2-2”中的正確解法就是一個(gè)很好的體現(xiàn)。

兩道思維訓(xùn)練題，大同小異，卻給我們帶來(lái)了很多的思考。遇到此類(lèi)題目，我們常常會(huì)出錯(cuò)，原因是：

第一，計(jì)算能力太差。

第二，不善于尋找和挖掘題目的隱含條件。

第三，缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維。

總結(jié)：我們中常常會(huì)有這樣的同學(xué)，面對(duì)老師剛給他講過(guò)不久的題目，如果沒(méi)有老師的指點(diǎn)他仍然是一頭霧水，感覺(jué)山重水復(fù)疑無(wú)路，這就是忽視方法的總結(jié)和反思的典型例子。所以，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，我們應(yīng)該認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不應(yīng)該只是結(jié)果的學(xué)習(xí)，更應(yīng)該是過(guò)程的學(xué)習(xí)；要注重對(duì)比學(xué)習(xí)、變式學(xué)習(xí)，在對(duì)比中達(dá)到舉一反三、事半功倍的功效。死記硬背并不是長(zhǎng)久之計(jì)，特別是對(duì)于一些常用的結(jié)論或者解題方法，只有在理解的基礎(chǔ)上加以記憶，才能夠在面對(duì)各種相關(guān)問(wèn)題時(shí)應(yīng)用自如。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳德前.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中鍛煉思維[J].初中生世界，2009（14）：31-32.

[2]宋強(qiáng)，劉耀曉.讓思維來(lái)做體操[J].學(xué)周刊（b），2010（2）：149.

編輯 杜元元