基于聯(lián)立方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)預(yù)測(cè)與控制方法

王義鬧

(溫州大學(xué)數(shù)理與電子信息工程學(xué)院，浙江溫州 325035)

聯(lián)立方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型是描述經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中內(nèi)生變量與先決變量之間線性關(guān)系的模型.其中，根據(jù)經(jīng)濟(jì)理論和行為規(guī)律建立的，描述經(jīng)濟(jì)變量直接關(guān)系結(jié)構(gòu)的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)方程系統(tǒng)稱為結(jié)構(gòu)式模型.結(jié)構(gòu)式模型中的每一個(gè)方程都是結(jié)構(gòu)方程.結(jié)構(gòu)方程的正規(guī)形式是將一個(gè)內(nèi)生變量表示為其他內(nèi)生變量、先決變量和隨機(jī)干擾項(xiàng)的函數(shù)形式[1].當(dāng)我們得到結(jié)構(gòu)方程的良好估計(jì)后，就對(duì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中變量之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系有了較好的認(rèn)識(shí).對(duì)于經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，我們還常常希望了解系統(tǒng)的均衡狀態(tài).由于隨機(jī)干擾項(xiàng)的存在，聯(lián)立方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型所描述的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)不可能達(dá)到均衡.退而求其次，本文將數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)中均衡概念進(jìn)行推廣，提出了均值均衡的概念.并研究了調(diào)控外生變量時(shí)，系統(tǒng)均值均衡狀態(tài)的變化，以及如何調(diào)控外生變量才能達(dá)到我們希望的某個(gè)均值均衡狀態(tài).

對(duì)聯(lián)立方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型所描述的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，由于內(nèi)生變量是受先決變量和隨機(jī)干擾項(xiàng)影響的，我們可以通過(guò)調(diào)控外生變量影響內(nèi)生變量，而不能調(diào)控隨機(jī)干擾項(xiàng).因此本文關(guān)心的預(yù)測(cè)問(wèn)題是：在先決變量取定一組值的條件下，內(nèi)生變量均值取什么值；同樣的理由，本文關(guān)心的控制問(wèn)題是：應(yīng)該如何調(diào)控外生變量，才能把內(nèi)生變量均值控制在我們希望的狀態(tài).實(shí)際上，要實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)均值均衡狀態(tài)的預(yù)測(cè)、控制，只要能由結(jié)構(gòu)式模型解出簡(jiǎn)化式模型，即可用最小二乘法估計(jì)模型參數(shù)，得出滿意的預(yù)測(cè)、控制結(jié)果，而不必考慮結(jié)構(gòu)式模型是否可識(shí)別，結(jié)構(gòu)參數(shù)如何估計(jì).計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)、線性回歸文獻(xiàn)[1-9]，用大量篇幅介紹了結(jié)構(gòu)式模型的識(shí)別、估計(jì)方法，但沒(méi)有討論對(duì)系統(tǒng)均值均衡狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測(cè)、控制的必要假設(shè)有哪些，如何進(jìn)行預(yù)測(cè)、控制，效果如何.對(duì)這幾個(gè)問(wèn)題，本文作了初步研究，以下所提到的系統(tǒng)均指聯(lián)立方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型所描述的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng).

1 模型假設(shè)

設(shè)聯(lián)立方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的結(jié)構(gòu)式模型如下：

其中Y表示內(nèi)生變量，X表示先決變量，N表示隨機(jī)干擾項(xiàng)，B表示內(nèi)生變量的結(jié)構(gòu)參數(shù)，Γ表示先決變量的結(jié)構(gòu)參數(shù).

式中X1=（1 1 … 1）′，即每個(gè)方程都有常數(shù)項(xiàng)，因而設(shè)E(N)=0是合理的.通常認(rèn)為，每一結(jié)構(gòu)方程式中出現(xiàn)的所有內(nèi)生變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)都（可能）是線性相關(guān)的，各隨機(jī)誤差項(xiàng)之間也是線性相關(guān)的，各先決變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)都是線性無(wú)關(guān)的.

為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，本文引入更強(qiáng)的假設(shè)：在各先決變量任意取定一組值的條件下，隨機(jī)誤差項(xiàng)的條件期望恒為0.

注意：對(duì)包含內(nèi)生解釋變量的結(jié)構(gòu)方程式，由于內(nèi)生解釋變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)都（可能）是線性相關(guān)的，因而對(duì)任意給定的一組解釋變量的值，隨機(jī)誤差項(xiàng)的條件期望為0的假設(shè)（可能）不再成立.

因?yàn)槿魧?duì) ?x∈R,E(u|x)=0，則

即對(duì) ?x∈R,E(u|x)=0，就必然有r(u,x)=0.即條件期望為0一定線性無(wú)關(guān).

均衡假設(shè)：

蔣中一（Alpha C.Chiang），凱爾文·溫賴特（Kevin Wainwright），在《數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)的基本方法》[10]第30頁(yè)給出的均衡這一概念的一個(gè)定義為：“選定的一組具有內(nèi)在聯(lián)系的變量經(jīng)過(guò)彼此調(diào)整，從而使這些變量所構(gòu)成的模型不存在變化傾向”的一種狀態(tài).

對(duì)聯(lián)立方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型所描述的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，由于系統(tǒng)運(yùn)行規(guī)律包含隨機(jī)干擾項(xiàng)，對(duì)給定的先決變量的一組值，內(nèi)生變量總會(huì)存在隨機(jī)變化，不會(huì)不存在變化傾向.我們要把數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)的均衡概念推廣到計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中，自然就考慮內(nèi)生變量均值的均衡.在給定先決變量取值的條件下，在模型（1）兩邊取數(shù)學(xué)期望，就得到：

這是內(nèi)生變量的（在給定先決變量取值的條件下的條件）均值與先決變量之間的確定關(guān)系式.依此相互影響規(guī)律，內(nèi)生變量均值經(jīng)過(guò)彼此調(diào)整，從而使這些變量均值滿足方程組（3）時(shí)，內(nèi)生變量均值就不再存在變化傾向，系統(tǒng)的這種狀態(tài)本文就稱為聯(lián)立方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型（1）所描述的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)（下文簡(jiǎn)稱為經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)）的均值均衡狀態(tài).

當(dāng)模型（3）中內(nèi)生變量均值的結(jié)構(gòu)參數(shù)矩陣B是可逆矩陣時(shí)，解此方程組就得到唯一一組內(nèi)生變量均值的均衡解

結(jié)構(gòu)參數(shù)矩陣B可逆就是聯(lián)立方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型所描述的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)存在均值均衡狀態(tài)的充分條件.

以下我們恒假設(shè)所研究的系統(tǒng)是存在唯一一組均值均衡解的均值均衡系統(tǒng)，也就是假設(shè)模型（1）中內(nèi)生變量的結(jié)構(gòu)參數(shù)矩陣B是可逆矩陣.稱此假設(shè)為均衡假設(shè).

可預(yù)測(cè)性假設(shè)：

對(duì)具有確定運(yùn)行規(guī)律的系統(tǒng)，給定先決變量的一組值，不經(jīng)過(guò)系統(tǒng)實(shí)際運(yùn)行，僅通過(guò)系統(tǒng)運(yùn)行規(guī)律即可預(yù)先知道系統(tǒng)內(nèi)各變量之間相互影響的均衡運(yùn)行結(jié)果，則該系統(tǒng)是可預(yù)測(cè)系統(tǒng).

對(duì)聯(lián)立方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型所描述的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，由于系統(tǒng)運(yùn)行規(guī)律包含隨機(jī)誤差項(xiàng)，給定先決變量的一組值，不經(jīng)過(guò)系統(tǒng)實(shí)際運(yùn)行，我們不可能預(yù)先知道系統(tǒng)的不存在變化傾向（均衡）的運(yùn)行結(jié)果.但如果可以預(yù)先知道系統(tǒng)的內(nèi)生變量均值的均衡運(yùn)行結(jié)果，就可以稱此系統(tǒng)是（均值）可預(yù)測(cè)系統(tǒng).

定理1 若模型（1）中內(nèi)生變量的結(jié)構(gòu)參數(shù)矩陣B是可逆的，即系統(tǒng)是均值均衡系統(tǒng)時(shí)，則系統(tǒng)（1）是（均值）可預(yù)測(cè)系統(tǒng).

可控性假設(shè)：

對(duì)具有確定運(yùn)行規(guī)律的系統(tǒng)，可以通過(guò)控制外生變量取一組值，使系統(tǒng)達(dá)到均衡狀態(tài)時(shí)，內(nèi)生變量的均衡值取得預(yù)定的（一定范圍內(nèi)的）目標(biāo)值，則該系統(tǒng)是可控系統(tǒng).

對(duì)聯(lián)立方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型所描述的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，由于系統(tǒng)運(yùn)行規(guī)律中包含我們不能控制的隨機(jī)誤差項(xiàng)，使得不可能僅僅通過(guò)控制外生變量，達(dá)到控制內(nèi)生變量的目的.對(duì)系統(tǒng)（1），記為外生變量構(gòu)成的向量，為滯后內(nèi)生變量構(gòu)成的向量，記在給定先決變量取值的條件下，兩邊取數(shù)學(xué)期望，就得到內(nèi)生變量的（條件）數(shù)學(xué)期望與先決變量之間的確定關(guān)系式：

當(dāng)外生變量的結(jié)構(gòu)參數(shù)矩陣Γ1的秩等于增廣矩陣的秩，即當(dāng)

時(shí)，方程組（5）有解，即至少存在一組外生變量的值，使我們希望達(dá)到的內(nèi)生變量的狀態(tài)Y=E(Y)是外生變量取這組值時(shí)的均值均衡狀態(tài).這時(shí)我們稱系統(tǒng)（1）是均值可控的.特別，當(dāng)外生變量的結(jié)構(gòu)參數(shù)矩陣Γ1為可逆矩陣時(shí)有：

即對(duì)我們希望達(dá)到的內(nèi)生變量的狀態(tài)=E(Y)，存在唯一一組外生變量的值與之對(duì)應(yīng).

定理2 若系統(tǒng)（1）中外生變量的結(jié)構(gòu)參數(shù)矩陣Γ1的秩等于增廣矩陣的秩，即當(dāng)（6）式成立時(shí)，則系統(tǒng)（1）是均值可控的.

在實(shí)際系統(tǒng)中，外生變量常常比內(nèi)生變量少，從而對(duì)我們希望達(dá)到的內(nèi)生變量的某些狀態(tài)=E(Y)，不能通過(guò)控制外生變量得到.退而求其次，可以對(duì)系統(tǒng)中我們最關(guān)心的幾個(gè)內(nèi)生變量進(jìn)行控制，在此控制方案下如果其它內(nèi)生變量是可預(yù)測(cè)的，并且我們對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果滿意，就得到了滿意控制方案.以下稱這樣的系統(tǒng)是部分均值可控的.

前定變量與隨機(jī)干擾項(xiàng)不相關(guān)假設(shè)：一般認(rèn)為，前定變量與隨機(jī)干擾項(xiàng)是不相關(guān)的：

2 可預(yù)測(cè)性與可控性的判別

在上一節(jié)我們討論了聯(lián)立方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型（1）所描述的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的可預(yù)測(cè)性和可控性，這種討論是在已知系統(tǒng)的真實(shí)規(guī)律（1）的基礎(chǔ)上進(jìn)行的.然而，在實(shí)際問(wèn)題中模型參數(shù)是未知的，從而B,Γ的秩也是未知的，不能直接應(yīng)用定理1、2判別系統(tǒng)的可預(yù)測(cè)性與可控性.下面謹(jǐn)給出一些可預(yù)測(cè)、可控的特殊情況.

定理3 遞歸系統(tǒng)是可預(yù)測(cè)的；

只要系統(tǒng)（1）的簡(jiǎn)化式模型存在，該系統(tǒng)就是（均值）可預(yù)測(cè)系統(tǒng)；

只要系統(tǒng)（1）的結(jié)構(gòu)式模型是可識(shí)別的，該系統(tǒng)就是（均值）可預(yù)測(cè)系統(tǒng)；

只要系統(tǒng)（1）的簡(jiǎn)化式模型存在，且至少有一個(gè)外生變量，則系統(tǒng)是部分（均值）可控的.

由于遞歸系統(tǒng)中B為下三角陣，一定是可逆的.于是，由定理1知系統(tǒng)是（均值）可預(yù)測(cè)系統(tǒng).

簡(jiǎn)化式模型中有外生變量的那個(gè)方程左端的內(nèi)生變量一定是（均值）可控的，所以系統(tǒng)是部分（均值）可控的.

3 參數(shù)估計(jì)

結(jié)構(gòu)式模型（1）所表示的系統(tǒng)的簡(jiǎn)化式模型為

由前定變量與隨機(jī)干擾項(xiàng)不相關(guān)假設(shè)（8）可知，前定變量與（9）式中隨機(jī)干擾項(xiàng)μ也是不相關(guān)的；再由E(N)=0知E(μ)=0.故參數(shù)C的最小二乘估計(jì)量是C的無(wú)偏估計(jì)量.進(jìn)而是均值均衡向量的無(wú)偏估計(jì)量.

定理4 以記簡(jiǎn)化式模型（9）中參數(shù)C的最小二乘估計(jì)量，則是均值均衡向量的無(wú)偏估計(jì)量.

如果簡(jiǎn)化式模型（9）中隨機(jī)干擾項(xiàng)μ還是同方差、序列不相關(guān)的，則還是均值均衡向量的有效估計(jì)量.如果隨機(jī)干擾項(xiàng)μ還是服從正態(tài)分布的，我們還可以進(jìn)而討論均衡向量的區(qū)間估計(jì).

定理5 如果結(jié)構(gòu)式模型（1）是恰好可識(shí)別的，則先用間接最小二乘法估計(jì)結(jié)構(gòu)式模型參數(shù)B, Γ得進(jìn)而是均值均衡向量的無(wú)偏估計(jì)量.

由于結(jié)構(gòu)式模型（1）是恰好可識(shí)別的，于是其中每一參數(shù)的估計(jì)值均可由簡(jiǎn)化式模型中參數(shù)估計(jì)值唯一確定；反之由模型可識(shí)別知B必可逆，從而可逆，可由唯一確定.

注意：當(dāng)結(jié)構(gòu)式模型（1）中存在過(guò)度識(shí)別的方程時(shí)，先求結(jié)構(gòu)式參數(shù)估計(jì)量，再以作為均值均衡向量的估計(jì)量，一般與定理4中不同，不一定有無(wú)偏性.

4 預(yù)測(cè)與控制示例

本節(jié)以文[2]第六章第五節(jié)給出的簡(jiǎn)化的中國(guó)宏觀經(jīng)濟(jì)調(diào)控模型為例，示意性的給出對(duì)取定的外生變量，如何預(yù)測(cè)系統(tǒng)的均值均衡狀態(tài)，以及對(duì)希望達(dá)到的均值均衡狀態(tài)，應(yīng)如何控制外生變量以達(dá)到我們的控制目標(biāo).

例1 采用基于三部門的凱恩斯總需求決定模型，在不考慮進(jìn)出口的條件下，消費(fèi)者、企業(yè)、政府的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的理論模型為[2]：

其中Yt為支出的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP），Ct為消費(fèi)（COM），It為投資（INV），Gt為政府支出（GOV）；內(nèi)生變量為Yt，Ct，It；前定變量為Gt.

上述結(jié)構(gòu)式模型中，第一個(gè)方程是恒等式，無(wú)需識(shí)別，第二、三個(gè)方程都是恰好可識(shí)別的，模型系統(tǒng)是恰好可識(shí)別的.該宏觀經(jīng)濟(jì)模型的簡(jiǎn)化式為

可見(jiàn)三個(gè)內(nèi)生變量都是可預(yù)測(cè)的，對(duì)給定的外生變量Gt，內(nèi)生變量的均值均衡狀態(tài)為但只有一個(gè)內(nèi)生變量是可控的，例如希望把Yt的均衡狀態(tài)控制為，則只需外生變量.用最小二乘法求得簡(jiǎn)化式模型參數(shù)后，進(jìn)而可得內(nèi)生變量的均值均衡狀態(tài)的無(wú)偏估計(jì).考慮到由恒等式還可以得到所以由結(jié)構(gòu)式模型的4個(gè)參數(shù)也可以唯一確定簡(jiǎn)化式模型的六個(gè)參數(shù).

例2 考慮在宏觀經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，當(dāng)期消費(fèi)行為還要受到上一期消費(fèi)的影響，當(dāng)期的投資行為也要受到上一期投資的影響，因此，在例1所述宏觀經(jīng)濟(jì)模型里再引入Ct和It的滯后一期變量和It-1.

這時(shí)，宏觀經(jīng)濟(jì)模型可寫為[2]：

或?qū)憺?/p>

其中Y表示內(nèi)生變量，X表示先決變量，N表示隨機(jī)干擾項(xiàng)，B表示內(nèi)生變量的結(jié)構(gòu)參數(shù)，Γ表示先決變量的結(jié)構(gòu)參數(shù)

易求得

于是得簡(jiǎn)化式模型

可見(jiàn)三個(gè)內(nèi)生變量都是可預(yù)測(cè)的，對(duì)給定的外生變量Gt，內(nèi)生變量的均值均衡狀態(tài)為

又由于Ct和It的滯后一期變量Ct1-和It1-是已經(jīng)發(fā)生的、不能調(diào)控的，能夠調(diào)控的外生變量只有一個(gè)Gt，所以只有一個(gè)內(nèi)生變量是可控的.例如希望把Yt的均衡狀態(tài)控制為Yt，則只需外生變量

對(duì)文[2]第175頁(yè)表6-1數(shù)據(jù)，用最小二乘法求得簡(jiǎn)化式模型參數(shù)：

由于消費(fèi)方程、投資方程都是過(guò)度識(shí)別的，在文[2]第177頁(yè)，由二階段法估計(jì)結(jié)構(gòu)參數(shù)得估計(jì)值的基礎(chǔ)上，進(jìn)而由（12）式求得均值均衡狀態(tài)中參數(shù)的估計(jì)值

這與最小二乘法所得簡(jiǎn)化式模型參數(shù)估計(jì)值(i=1,2,3,j=1,2,3,4)明顯不同，進(jìn)而再由（14）得內(nèi)生變量的均值均衡狀態(tài)的估計(jì)值則一般有不一定是的無(wú)偏估計(jì).

由例1、例2更清楚的看到，如果我們只尋求預(yù)測(cè)系統(tǒng)的均值均衡狀態(tài)（預(yù)測(cè)政策運(yùn)行效果），或者只尋求將一些內(nèi)生變量控制到我們預(yù)定的均值均衡狀態(tài)，則應(yīng)該用最小二乘法估計(jì)簡(jiǎn)化模型參數(shù)，沒(méi)必要估計(jì)結(jié)構(gòu)模型參數(shù)，特別是存在過(guò)度識(shí)別方程時(shí)，用二階段、三階段法估計(jì)結(jié)構(gòu)模型參數(shù)再求均值均衡狀態(tài)估計(jì)，所得估計(jì)量的性質(zhì)并不好，估計(jì)值與上述無(wú)偏估計(jì)明顯不同.