魯棒獨(dú)立分量分析在結(jié)構(gòu)損傷特征提取中的應(yīng)用?

徐先峰 張華竹 段晨東

（長(zhǎng)安大學(xué)電子與控制工程學(xué)院 西安 710064）

1 引言

實(shí)現(xiàn)大型土木工程結(jié)構(gòu)損傷特征的精確提取，是解決土木工程應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)之一。同時(shí)，特征提取也是信號(hào)處理研究課題中的重要步驟［1～5］。獨(dú) 立 量 分 析［6］（Independent Component Analysis，ICA）是一類(lèi)非常重要的特征提取方法，它假設(shè)各個(gè)源信號(hào)之間具有統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性，這為后來(lái)的許多算法奠定了基礎(chǔ)［7～10］。但在土木工程應(yīng)用問(wèn)題中，由于實(shí)際工程結(jié)構(gòu)具有較高的阻尼，導(dǎo)致ICA算法的穩(wěn)健性降低，很大程度上限制了算法的分離精度，使得模態(tài)參數(shù)不能有效地識(shí)別，為結(jié)構(gòu)損傷特征提取帶來(lái)了較大困難［11～13］。

針對(duì)傳統(tǒng)ICA算法在結(jié)構(gòu)損傷特征提取中的不足，本文引入RobustICA算法［14］，并將該算法應(yīng)用于實(shí)測(cè)IASC-ASCE結(jié)構(gòu)損傷數(shù)據(jù)的特征頻率提取。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示RobustICA算法分離出的各分量之間獨(dú)立性較傳統(tǒng)FastICA算法更高，并在對(duì)各分量的固有頻率進(jìn)行識(shí)別后發(fā)現(xiàn)，RobustICA算法兼有較高的特征提取精度。

2 RobustICA算法

2.1 信號(hào)模型

考慮有n個(gè)未知的源信號(hào)，經(jīng)過(guò)線(xiàn)性混合之后可以得出如下信號(hào)模型：

其中，向量 x（t）=[x1（t），x2（t），…，xm（t）]T表示 m 個(gè)觀(guān)測(cè)信號(hào)組成的觀(guān)測(cè)向量；s（t）=[s1（t），s2（t），…， sn（t）]T是由n個(gè)未知的源信號(hào)所組成的向量；矩陣H表示未知的混合矩陣（m×n），若假設(shè)矩陣H行滿(mǎn)秩，那么其中每一個(gè)元素hij（hij=[H]ij）表示第 j個(gè)源信號(hào)在第i個(gè)觀(guān)測(cè)信號(hào)上的混合系數(shù)。符號(hào)（?）T表示轉(zhuǎn)置運(yùn)算符。在下文中，為了方便表示，省略時(shí)間t，將式（1）記為

盲源分離所要解決的問(wèn)題就是從已知的觀(guān)測(cè)信號(hào)x中估計(jì)出源信號(hào)s。但是，由于混合矩陣H未知，所以需要引入一個(gè)分離矩陣W（n×m），使得式（2）轉(zhuǎn)換為

通過(guò)估計(jì)分離矩陣W ，使得輸出的y=Wx包含對(duì)源信號(hào)的估計(jì)。則矩陣W中的每一行都相當(dāng)于用來(lái)提取單個(gè)源的一個(gè)空間濾波器。

2.2 算法理論

在求解分離矩陣W時(shí)，需要選擇一個(gè)合適的目標(biāo)函數(shù)作為非高斯性的度量，使得W作用于觀(guān)測(cè)信號(hào)x后能將分量的非高斯性最大化。在ICA算法中，通常使用到的一類(lèi)目標(biāo)函數(shù)為峭度表達(dá)式。零均值隨機(jī)變量y的峭度一般定義式為

在基于峭度的FastICA算法中，通常采用式（4）的簡(jiǎn)化形式：

相對(duì)于一般定義式（4），簡(jiǎn)化定義式（5）雖然計(jì)算簡(jiǎn)便，但會(huì)引入計(jì)算誤差；不僅如此，F(xiàn)astICA算法在尋求最優(yōu)解時(shí)采用的是基于固定點(diǎn)的迭代法，容易陷入局部收斂，導(dǎo)致求得的解非全局最優(yōu)解。

而Zarzoso等提出的RobustICA算法［14］則是將峭度的一般定義式（4）的絕對(duì)值形式作為目標(biāo)函數(shù)，使用精確線(xiàn)性搜索方法來(lái)獲得最優(yōu)步長(zhǎng)μ。假設(shè)含噪觀(guān)測(cè)矩陣為x，由于RobustICA算法不需要對(duì)其進(jìn)行白化處理，僅要求其均值為零，則分離后的一個(gè)輸出 y=wi?x（i=1，2，…，m）的峭度表達(dá)式為

式（6）同樣為峭度函數(shù)的一般定義式，是將y=wi?x（i=1，2，…，m）代入式（4）后的結(jié)果，不影響其一般性。如果對(duì)源信號(hào)非高斯性的假設(shè)不變，那么則可以將式（6）的絕對(duì)值形式作為目標(biāo)函數(shù)，得到最優(yōu)步長(zhǎng)的精確線(xiàn)性搜索方法：

其中g(shù)為搜索方向，通常取梯度。至此，峭度準(zhǔn)則便可以表示成如下關(guān)于步長(zhǎng)μ的四次多項(xiàng)式

再對(duì) wi?（k）進(jìn)行歸一化處理：

最后求得對(duì)源信號(hào)的估計(jì)：

如上步驟為提取第 i個(gè)（i=1，2，…，m）分離矢量wi?。反復(fù)上述步驟即可獲得完整的分離矩陣W。

本文所做的主要工作如圖1所示。

3 特征分離方法

為了評(píng)價(jià)算法性能，將平均相似度rˉ作為相關(guān)性的評(píng)價(jià)指標(biāo)，先計(jì)算各分量頻域之間的相關(guān)系數(shù)：對(duì)于隨機(jī)向量bi，bj，其相關(guān)系數(shù)可以表示為ri，j：

其中cov（?X，Y）表示變量 X和變量Y的協(xié)方差。ri，j評(píng)價(jià)相關(guān)性可分為以下三種相關(guān)等級(jí)：

圖1 本文所做的主要工作

1）當(dāng) ri，j∈［0.8，1.0］時(shí)，表明分量 i與 j具有強(qiáng)相關(guān)性；

2）當(dāng) ri，j∈［0.4，0.8］時(shí)，表明分量 i與 j具有一般相關(guān)性；

3）當(dāng) ri，j∈［0，0.4］時(shí)，表明分量 i與 j具有弱相關(guān)性或無(wú)相關(guān)性。

計(jì)算出ri，j后，再利用平均相似度 rˉ對(duì)分量的整體相關(guān)性予以衡量：

rˉ越小，說(shuō)明各分量總體呈現(xiàn)較好的獨(dú)立性；反之，則說(shuō)明各分量之間相關(guān)性較大，沒(méi)有實(shí)現(xiàn)完全分離。

3.1 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)采用ASCE的SHM Benchmark模型，如圖2（b）所示共設(shè)置16個(gè)節(jié)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)設(shè)置16個(gè)傳感器分別安裝在每一層的2，6，8，4的柱子上，模擬6種損傷模式［15］。

該模型具有模擬對(duì)稱(chēng)性，且激勵(lì)模擬為作用于每層y方向上的環(huán)境風(fēng)載，因此，在x，y方向上各選取4個(gè)作為檢測(cè)節(jié)點(diǎn)，分別為11、13、20、22、29、31、38、40。選取12自由度對(duì)稱(chēng)模型下第一層所有斜支撐斷裂工況的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為16384，采樣頻率為1000Hz。

由于源信號(hào)與混合矩陣均未知，且僅有傳感器接收到的信號(hào)。所以，該實(shí)際問(wèn)題便可以看作是盲源分離模型 x（t）=Hs（t）。8個(gè)傳感器接采集到的信號(hào) 便 可 看 作 8 路 觀(guān) 測(cè) 信 號(hào) x（t）=[x1（t），x2（t），…，x8（t）]T，記為（m為觀(guān)測(cè)信號(hào)個(gè)數(shù)）。

圖2 結(jié)構(gòu)模型的部件標(biāo)注與檢測(cè)節(jié)點(diǎn)分布

圖3和圖4分別是利用FastICA算法和Robust-ICA算法對(duì)8路觀(guān)測(cè)信號(hào)的盲源分離結(jié)果的頻譜。

圖3 FastICA分離后的各分量頻譜

圖4 RobustICA分離后的各分量頻譜

由圖3、圖4可以看出，觀(guān)測(cè)信號(hào)經(jīng)FastICA算法和RobustICA算法分離后均得到四階固有頻率f1、f2、f3、f4。表1為兩種算法分離出的12自由度對(duì)稱(chēng)模型下第一層所有斜支撐斷裂工況下的模態(tài)固有頻率與文獻(xiàn)［15］計(jì)算出的該工況下模態(tài)固有頻率的對(duì)比。

表1 FastICA與RobustICA分離出的模態(tài)固有頻率與理論值的對(duì)比

表1顯示，F(xiàn)astICA與RobustICA提取出的特征頻率與理論值的均方根誤差分別為0.2230和0.0415，可見(jiàn)RobustICA算法在提取精度上優(yōu)于FastICA算法；并且，對(duì)比圖3與圖4可以看出，F(xiàn)astICA算法分離出的特征頻率出現(xiàn)混疊現(xiàn)象，而RobustICA分離出的各分量具有更高的獨(dú)立性。為了更有效地對(duì)這些分量進(jìn)行分析，現(xiàn)利用式（12）對(duì)分量?jī)蓛芍g的相關(guān)系數(shù)進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果如表2。

表2 FastICA和RobustICA分離出的各分量之間相關(guān)系數(shù)

表2顯示，混合信號(hào)經(jīng)FastICA算法分離后各分量之間相關(guān)系數(shù) ri，j全部集中在［0.5，0.97］范圍內(nèi)，且通過(guò)式（13）可以計(jì)算出分量的平均相似度rˉ1=0.776∈［0.4，0.8］，說(shuō)明FastICA算法分離出的各分量總體上具有較強(qiáng)的相關(guān)性，出現(xiàn)了嚴(yán)重的頻率混疊，沒(méi)有實(shí)現(xiàn)對(duì)源信號(hào)的通縮分離。相反，混合信號(hào)經(jīng)RobustICA算法分離后，各分量相關(guān)系數(shù)的最大值為0.96＞0.8，認(rèn)為分量b2和b3具有強(qiáng)相關(guān)性，屬于同一分量；次大值為0.50∈［0.4，0.8］，則分量b4和b6具有一般相關(guān)性，近似為同一分量；其余各分量之間的相關(guān)系數(shù)均小于0.3，可以認(rèn)為不具有相關(guān)性，b5、b7、b8為噪聲信號(hào)；且平均相似度 rˉ2=0.125＜ rˉ1=0.776。由此可以看出 RobustICA算法可以大大降低各分量的相關(guān)性，將主要的特征頻率單獨(dú)分離出來(lái)，近似實(shí)現(xiàn)通縮分離，分離精度顯著提高。

3.2 工程實(shí)驗(yàn)

利用RobustICA算法對(duì)Phase II IASC-ASCE實(shí)測(cè)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)進(jìn)行損傷特征頻率提取。Phase II實(shí)測(cè)結(jié)構(gòu)共有16個(gè)數(shù)據(jù)采集通道，通道16為損傷結(jié)構(gòu)的激勵(lì)（隨機(jī)環(huán)境、力錘、振蕩器等）信號(hào)，通道1～15為加速度傳感器采集的損傷結(jié)構(gòu)響應(yīng)信號(hào)。傳感器布置及檢測(cè)節(jié)點(diǎn)如圖5所示。

圖5 Phase II鋼結(jié)構(gòu)實(shí)物模型及檢測(cè)節(jié)點(diǎn)分布

將環(huán)境噪聲作為激勵(lì)源，選取無(wú)損傷和去掉東側(cè)所有斜支撐兩種工況。采集每層中心節(jié)點(diǎn)2、5、8、11、14和激勵(lì)源節(jié)點(diǎn)16的響應(yīng)信號(hào)，數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為4096，采樣頻率為200Hz，利用RobustICA算法對(duì)這6個(gè)通道的信號(hào)進(jìn)行盲源分離。

1）工況一：無(wú)損傷

圖6為環(huán)境噪聲激勵(lì)下工況一的頻譜。

圖6 環(huán)境噪聲激勵(lì)下工況一的頻譜

將環(huán)境激勵(lì)下的工況一記為config1.ambient。表3為環(huán)境激勵(lì)下RobustICA分離出工況一的模態(tài)固有頻率與文獻(xiàn)［16］計(jì)算出的模態(tài)固有頻率的對(duì)比。

表3 環(huán)境激勵(lì)下工況一的模態(tài)固有頻率

表3顯示，無(wú)損傷工況下，RobustICA算法分離出四階模態(tài)頻率，與文獻(xiàn)［16］采用的貝葉斯兩步計(jì)算法計(jì)算出的四階模態(tài)頻率一致，具有較好的分離效果。

2）工況二：去掉東側(cè)所有斜支撐

圖7為環(huán)境噪聲激勵(lì)下工況二的頻譜。

圖7 環(huán)境噪聲激勵(lì)下工況二的頻譜

將環(huán)境激勵(lì)下的工況二記為config2.ambient。表4為環(huán)境激勵(lì)下RobustICA分離出工況二的模態(tài)固有頻率與文獻(xiàn)［16］計(jì)算出的模態(tài)固有頻率的對(duì)比。

表4 環(huán)境激勵(lì)下工況二的模態(tài)固有頻率

表4顯示，去掉東側(cè)所有斜支撐工況下，RobustICA算法分離出三階模態(tài)頻率，與文獻(xiàn)［16］采用的貝葉斯兩步計(jì)算法計(jì)算出的三階模態(tài)頻率一致，具有較好的分離效果。

4 結(jié)語(yǔ)

為了精確提取土木工程中結(jié)構(gòu)損傷特征頻率，將一種穩(wěn)健的盲源分離算法RobustICA應(yīng)用于實(shí)際工程中，對(duì)采集到的ASCE實(shí)測(cè)結(jié)構(gòu)的混合信號(hào)進(jìn)行分離，提取損傷模態(tài)的固有頻率，具有較好的分離精度，并能實(shí)現(xiàn)對(duì)模態(tài)頻率的通縮分離，解決了頻率混疊的問(wèn)題。