小學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的內(nèi)涵、要素與培養(yǎng)策略研究

洪亮 汪路霞

【摘 要】學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)最終要落實到學(xué)科核心素養(yǎng)的培育上。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是指具有數(shù)學(xué)基本特征、能適應(yīng)學(xué)生終身發(fā)展需要的思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力。數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力主要包括數(shù)學(xué)抽象與表征能力、數(shù)學(xué)猜想與推理能力、數(shù)學(xué)理解與運算能力、數(shù)據(jù)收集與處理能力、數(shù)學(xué)直觀與想象能力、問題分析與解決能力等。在培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力時，需要以數(shù)學(xué)基本思想為指引，以數(shù)學(xué)核心內(nèi)容為載體，以數(shù)學(xué)理性思維培養(yǎng)為旨趣，以數(shù)學(xué)基本活動為途徑，以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育為目標(biāo)。

【關(guān)鍵詞】學(xué)科核心素養(yǎng)；數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力；培養(yǎng)策略

【中圖分類號】G623.5 【文獻標(biāo)志碼】A 【文章編號】1005-6009（2019）09-0038-05

【作者簡介】1.洪亮，江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)星海小學(xué)（江蘇蘇州，215021）校長、黨總支書記，高級教師，蘇州市名校長，蘇州市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人，蘇州市優(yōu)秀教育工作者，江蘇省教育科研先進個人，全國十佳好校長；2.汪路霞，江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)星海小學(xué)（江蘇蘇州，215021）副校長，高級教師，蘇州市優(yōu)秀工作者。

一、小學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的內(nèi)涵與要素分析

1.數(shù)學(xué)抽象與表征能力。

數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對象的思維過程，主要包括從數(shù)量關(guān)系和空間圖形關(guān)系中抽取出數(shù)學(xué)概念及概念間的關(guān)系，或一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學(xué)符號或術(shù)語予以表征。簡言之，數(shù)學(xué)抽象就是從現(xiàn)實世界進入數(shù)學(xué)內(nèi)部，讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼睛看世界。數(shù)學(xué)抽象在義務(wù)教育階段主要表現(xiàn)為符號意識和數(shù)感。史寧中教授也提出：數(shù)學(xué)抽象具有三個基本階段——簡約階段、符號階段和普適階段。

表征是認(rèn)知心理學(xué)的基本概念，一般指信息的內(nèi)部表達。南京師范大學(xué)鄧鑄教授等人認(rèn)為：數(shù)學(xué)表征可以分為內(nèi)部表征和外部表征兩類，內(nèi)部表征又分為符號表征、方法表征和機理表征。有學(xué)者通過研究小學(xué)生的數(shù)學(xué)問題解決發(fā)現(xiàn)，小學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的表征還處于以直觀的表面特征為主的低水平。

數(shù)學(xué)抽象與表征能力的內(nèi)涵是相互關(guān)聯(lián)的，數(shù)學(xué)抽象過程中有數(shù)學(xué)表征的過程，而數(shù)學(xué)表征的過程就是數(shù)學(xué)抽象的過程。對于學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)表征能力的理解，應(yīng)當(dāng)建立在科學(xué)的心理學(xué)分析基礎(chǔ)之上，應(yīng)當(dāng)從學(xué)生的心理發(fā)展規(guī)律來看待他們數(shù)學(xué)抽象和表征能力的培養(yǎng)，讓學(xué)生在抽象與表征的過程中學(xué)會數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)表征。

2.數(shù)學(xué)猜想與推理能力。

數(shù)學(xué)猜想是指在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)或解決問題時展開的分析、嘗試和探索，是對涉及數(shù)學(xué)問題的主導(dǎo)思想、方法以及答案的形式、范圍、數(shù)值等的猜測。數(shù)學(xué)猜想也是一種數(shù)學(xué)思想方法，是人在探索數(shù)學(xué)規(guī)律和本質(zhì)時采用的一種策略，是建立在事實和已有經(jīng)驗基礎(chǔ)上的一種假定，是一種合理假設(shè)。

推理是由一個或幾個已知的判斷（前提）推導(dǎo)出一個未知結(jié)論的邏輯思維過程，是對判斷間的邏輯關(guān)系的認(rèn)識。推理能力是相對穩(wěn)定的個性心理特征的綜合，在推理活動中形成、體現(xiàn)與發(fā)展，并影響推理活動的效果。推理一般包括合情推理和演繹推理。小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主要涉及合情推理。所謂合情推理，是從已有事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果。

猜想是推理的前奏。“猜想—驗證—猜想—驗證”這一反復(fù)的過程就是一種推理過程。猜想如果被驗證是正確的，那么結(jié)論自然產(chǎn)生；猜想如果被否定，那么再一次的猜想會因摒棄了首次猜想而離結(jié)論更近一步。因此，讓學(xué)生根據(jù)已有知識經(jīng)驗感受知識間的聯(lián)系產(chǎn)生的猜想推動著他們數(shù)學(xué)推理能力的發(fā)展。

3.數(shù)學(xué)理解與運算能力。

數(shù)學(xué)理解具備學(xué)習(xí)能力的三個重要特征——過程性、默會性和層次性。學(xué)生不僅要理解概念、符號、命題等顯性的數(shù)學(xué)知識，還要體會數(shù)學(xué)中的思想，體會通過歸納得出猜想、通過抽象得出模式的過程。

運算能力是數(shù)學(xué)能力的核心要素，它的形成對小學(xué)生整體數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)與提升能起到基石性的作用。進一步分析學(xué)生理解算理、發(fā)現(xiàn)算法、通過運算解決問題等過程中的思維過程，可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生運算能力發(fā)展的過程中蘊含著抽象、推理、建模等數(shù)學(xué)基本思想，這能有效促進他們數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

4.數(shù)據(jù)收集與處理能力。

數(shù)據(jù)收集包括三個要素——有數(shù)據(jù)意識、能提出運用數(shù)據(jù)解決的問題與能根據(jù)問題的需要設(shè)計收集數(shù)據(jù)的計劃。

數(shù)據(jù)處理包含三個要素——能從數(shù)據(jù)中提取信息、能通過數(shù)據(jù)進行推斷與能根據(jù)背景選擇合適的方法。先要能從一堆雜亂無章的數(shù)據(jù)中提煉信息，進而運用信息進行決策、推斷，在此基礎(chǔ)上，根據(jù)問題背景選擇合適的方法，感悟統(tǒng)計學(xué)是通過數(shù)據(jù)來推斷數(shù)據(jù)產(chǎn)生的背景的，它對結(jié)果的判斷是好與壞。

5.數(shù)學(xué)直觀與想象能力。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)直觀通過實物直觀、符號直觀、圖形直觀等體現(xiàn)。伴隨數(shù)學(xué)直觀（幾何直觀）的教學(xué)，空間想象能力是數(shù)學(xué)教學(xué)中需要培養(yǎng)的基本能力之一，是數(shù)學(xué)教學(xué)中非常重要的課程目標(biāo)。教學(xué)實踐表明，空間想象能力也是理解抽象的數(shù)學(xué)概念與原理所必需的能力，如圖形的周長、面積和運用畫圖的策略解決數(shù)學(xué)問題等。因此，探求空間想象能力的結(jié)構(gòu)及其培養(yǎng)策略具有重要意義。

6.問題分析與解決能力。

作為義務(wù)教育的課程目標(biāo)之一，問題解決重點要求培養(yǎng)學(xué)生分析和解決問題的能力，建構(gòu)適合學(xué)生發(fā)展的問題解決能力結(jié)構(gòu)。發(fā)現(xiàn)問題的能力是提出問題、分析問題以及解決問題能力發(fā)展的基礎(chǔ)和前提，提出問題和分析問題的能力是能力培養(yǎng)的關(guān)鍵，而解決問題能力的提高反過來又能促進其他能力的培養(yǎng)。

二、小學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的培養(yǎng)策略

1.以數(shù)學(xué)基本思想為指引。

對數(shù)學(xué)教學(xué)而言，其本質(zhì)是促進學(xué)生思維的發(fā)展；對具體教學(xué)內(nèi)容而言，其本質(zhì)既表現(xiàn)為隱藏在客觀事物背后的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)規(guī)律，又表現(xiàn)為隱藏在數(shù)學(xué)知識背后的本質(zhì)屬性，還表現(xiàn)為統(tǒng)攝具體數(shù)學(xué)知識與技能的數(shù)學(xué)思想方法。教師只有正確理解知識，洞悉知識的意義內(nèi)涵、來龍去脈、整體結(jié)構(gòu)及其背后的思想，才能在教學(xué)中聚焦數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

如數(shù)學(xué)抽象既是一種能力也是一種思想，要讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中逐步學(xué)會抽象的思維方式，需要我們引領(lǐng)他們經(jīng)過層次化的思維過程。比如：教學(xué)蘇教版五下“圓”，教師可以先讓學(xué)生通過認(rèn)識生活中圓形的物體（如自行車車輪、初升的太陽、田野中向日葵的臉龐等）形成圓的直觀形象，這就是直觀實物抽象。但接下來要深入認(rèn)識圓的特征，就必須借助圓形紙片這一半符號化的學(xué)習(xí)工具來進行抽象化的思維。如此，學(xué)生就有了具體性的依托，在折一折、比一比、畫一畫、量一量等數(shù)學(xué)化的思維操作中，抽象思維得以順利開展與形成。數(shù)學(xué)抽象的本質(zhì)，就是讓學(xué)生在親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的過程中接受數(shù)學(xué)抽象化的思維訓(xùn)練，進而提升其數(shù)學(xué)抽象能力。我們應(yīng)做到循序漸進，根據(jù)學(xué)生的年齡特征恰到好處地安排和使用這種階段性和層次化的過程，以期實現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的邏輯順序和學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律的高度協(xié)調(diào)與統(tǒng)一，在此基礎(chǔ)上，方能取得最佳的教學(xué)效果。

2.以數(shù)學(xué)核心內(nèi)容為載體。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在闡述課程目標(biāo)時，從原來的“雙基”擴展為“四基”，即基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗。同時，在闡述課程設(shè)計思路時結(jié)合課程內(nèi)容提出了十個核心概念，即數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識。我們應(yīng)當(dāng)緊緊依托“四基”和上述核心概念展開數(shù)學(xué)教學(xué)。

比如：蘇教版六下“圓柱和圓錐特征的認(rèn)識”的教學(xué)難點，是探索平面圖形和立體圖形之間的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。我們嘗試引導(dǎo)學(xué)生通過合作完成自主探索卡來突破這一難點。主要進行了這樣幾個環(huán)節(jié)的處理：（1）導(dǎo)入新課部分，出示幾個常見的平面圖形，讓學(xué)生猜想可能是從哪個立體圖形的某個角度觀察得到的，再把大家猜想到的長方體、正方體、圓柱和圓錐根據(jù)面的特點進行分類，使學(xué)生初步感知圓柱和圓錐是由曲面和平面圍成的幾何體，滲透平面圖形與立體圖形的聯(lián)系，讓學(xué)生知道立體圖形是由若干個面圍成的；（2）認(rèn)識兩個形體的特征之后，要求學(xué)生自主畫出圓柱和圓錐的示意圖并進行反饋和點評，在這個過程中，學(xué)生進一步復(fù)習(xí)圓柱和圓錐的特征，尤其是進一步理解圓柱和圓錐的高的含義，并對其進行拓展，另一方面，畫出示意圖對學(xué)生今后解決有關(guān)體積和表面積的實際問題有幫助，有助于他們對圓柱和圓錐的概念進行再認(rèn)識，但實際課堂上時間不夠，最后調(diào)整到課前學(xué)生預(yù)習(xí)時嘗試；（3）在鞏固練習(xí)中，創(chuàng)設(shè)想一想、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)、滾一滾、堆一堆等活動，繼續(xù)完成自主探索卡。學(xué)生在想一想、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)的活動中發(fā)現(xiàn)平面圖形與立體圖形之間的聯(lián)系，體會圓柱和圓錐可以這樣得到，在滾一滾的活動中自然發(fā)現(xiàn)兩種立體圖形滾動的軌跡和方式不同，滾過的面也不同，為其認(rèn)識圓柱和圓錐的展開圖進而學(xué)習(xí)圓柱的表面積打下基礎(chǔ)。對于圓柱和圓錐的起始課，我們充分挖掘概念的教學(xué)資源，并羅列在自主探索卡上，讓學(xué)生合作學(xué)習(xí)，體會認(rèn)識的樂趣，進行一般概念的自主學(xué)習(xí)，提升了學(xué)生初步的空間觀念。

3.以數(shù)學(xué)理性思維培養(yǎng)為旨趣。

我們知道，數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生與發(fā)展總是有其源和流的，在其內(nèi)化抽象的過程中，必然會出現(xiàn)一系列“是什么”“為什么”“怎么做”的疑難困惑。這需要我們理性地追問：隱藏在客觀事物背后的規(guī)律是什么？統(tǒng)攝具體數(shù)學(xué)知識與技能的數(shù)學(xué)思想方法是什么？用辨析的眼光了解和分析數(shù)學(xué)本質(zhì)的源和流，構(gòu)建活的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，對學(xué)生而言將具有特殊的作用和意義。

教學(xué)蘇教版五下“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”之前，很多學(xué)生已經(jīng)知道了分子分母的變化規(guī)律。這是否就意味著本課的學(xué)習(xí)可以脫離直觀材料的支撐了呢？顯然不是。對分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的認(rèn)識是一種歸納推理的思維活動。如果選取的材料過于陳舊或理性，往往會使學(xué)生缺乏主動思維的欲望。執(zhí)教時，筆者以“分西瓜”的故事引發(fā)學(xué)生進行數(shù)學(xué)思考：能不能用分?jǐn)?shù)的眼光來觀察兩次分西瓜的過程，有什么新的發(fā)現(xiàn)？用什么方法來證明這些分?jǐn)?shù)確實相等呢？在學(xué)生提出折紙、化成小數(shù)、根據(jù)商不變的規(guī)律類推等多種驗證方法后，我們首先展示直觀的涂色驗證，不僅為學(xué)生其他較為抽象的展示提供佐證，更重要的是讓學(xué)生感悟到直觀的局限性，促發(fā)他們開展更為理性的推理活動，實現(xiàn)數(shù)學(xué)思維從感性向理性的第一次飛躍。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該是思維的教學(xué)，逐步引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成理性思維的習(xí)慣，培養(yǎng)其數(shù)學(xué)的理性精神。

4.以數(shù)學(xué)基本活動為途徑。

蘇霍姆林斯基曾說：“當(dāng)知識與積極的活動緊密聯(lián)系在一起的時候，學(xué)習(xí)才能成為孩子精神生活的一部分?！痹跀?shù)學(xué)教育中，活動始終貫穿其中，是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的常規(guī)方式，是學(xué)生探索規(guī)律、掌握知識的重要過程，更是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的必要條件。

如培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析與處理能力，教師要想讓學(xué)生真正地感知數(shù)據(jù)、親近數(shù)據(jù)，最好的辦法就是讓他們親歷數(shù)據(jù)的收集、整理、描述、分析以及做出決策的全過程，在親歷中感受數(shù)據(jù)價值、了解數(shù)據(jù)收集和處理方法，并樂于用數(shù)據(jù)來解決問題。例如：教學(xué)蘇教版五下“折線統(tǒng)計圖”，課堂上不是直接呈現(xiàn)或者教學(xué)折線統(tǒng)計圖怎么畫，而是創(chuàng)設(shè)情境：學(xué)校旁邊的服裝店每年4 ～ 10月都會代銷泳衣，為了避免貨物積壓，供貨商每次送貨前都會打電話問店主：上個月銷售了多少？這個月要再多送還是少送一些？大概送多少？如果你是供貨商，為了方便，你打算怎么辦？啟發(fā)學(xué)生進行思考交流，制訂解題計劃：統(tǒng)計一下服裝店去年每個月的銷售數(shù)據(jù)作為參考。學(xué)生提出：或以供貨商的角色，到服裝店實地詢問；或查資料，收集去年各月的銷售數(shù)據(jù)。并用自己的方式表示數(shù)據(jù)變化，有人用手勢比劃，有人畫出條形圖，有人則畫出曲線圖。通過比較，大家認(rèn)為畫曲線圖比較好，最后進一步細化曲線：這條曲線前半段從下到上逐步升高表示什么？后半段從上到下逐步降低又表示什么呢？在這個過程中，學(xué)生經(jīng)歷了提出問題、制訂計劃、收集數(shù)據(jù)、選擇合適方法描述數(shù)據(jù)以及作出推斷、解決問題的全過程。學(xué)生更深刻地感受到如何收集、處理數(shù)據(jù)，感悟到數(shù)據(jù)從哪里來、其中藏著什么秘密、是做什么用的以及對我們有怎樣的幫助，這些感悟是聽多少遍教師的講解都難以得到的。

5.以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育為目標(biāo)。

教學(xué)目標(biāo)是教學(xué)活動的起點和終點，制定恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)目標(biāo)是教師開展教學(xué)的重要前提。通過前面的敘述，我們已經(jīng)明確了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)對于學(xué)生的重要性，因此，我們必須基于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo)來設(shè)計教學(xué)活動，站在促進學(xué)生發(fā)展的角度來開展數(shù)學(xué)活動，用核心素養(yǎng)來統(tǒng)領(lǐng)整個教學(xué)活動。

培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力已經(jīng)成為我們培育核心素養(yǎng)的一個重要焦點。創(chuàng)造性思維表現(xiàn)在創(chuàng)造性解決問題過程中思維的新與活。新，要求在理解中有自己的感受，有獨立的見解?；睿笤谒伎紗栴}時思維要活，善于變換角度靈活地思考。例如：在教學(xué)蘇教版三下《兩位數(shù)乘兩位數(shù)（筆算）》一課時，教師先出示24×12，讓學(xué)生仔細觀察，這樣的乘法算式具有怎樣的特點？（不含整十?dāng)?shù)的兩位數(shù)乘兩位數(shù)）很顯然，比剛才遇到的都要復(fù)雜。學(xué)生嘗試計算，同桌合作研究，交流匯報：方法一，用加法算，12個24相加；方法二，用連乘算，24×2×6；方法三，拆分成24×2+24×10；方法四，拆分成4×2+20×2+4×10+20×10。引導(dǎo)學(xué)生比較：哪種方法既簡便又通用？學(xué)生在比較中知道了拆分也不是拆得越細越好。相對而言，方法三比較折中。上述教學(xué)著重調(diào)動學(xué)生原有的知識經(jīng)驗，通過數(shù)據(jù)的拆分將新知變?yōu)榕f知，進而探究出24×12的多種運算思路。這樣的探索經(jīng)歷，有助于學(xué)生認(rèn)識到同一個問題可以有多種不同的解決方法，培養(yǎng)學(xué)生的開放性思維。同時，對按照數(shù)位進行拆分這一方法適當(dāng)強化，為接下來的豎式計算做好準(zhǔn)備。

總之，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培育學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，是對素質(zhì)教育理念的積極響應(yīng)和具體落實，也是深化數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的必然要求?；诤诵乃仞B(yǎng)培育目標(biāo)的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，應(yīng)當(dāng)始終站在學(xué)生未來發(fā)展的視角，以數(shù)學(xué)基本思想為指引，以數(shù)學(xué)核心內(nèi)容為載體，以數(shù)學(xué)理性思維培養(yǎng)為旨趣，以數(shù)學(xué)基本活動為途徑，以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育為目標(biāo)。

【參考文獻】

[1]史寧中.數(shù)學(xué)的抽象[J].東北師范大學(xué)學(xué)報（哲學(xué)社會科學(xué)版），2008（5）：169-180.

[2]鞏子坤，宋述立.數(shù)學(xué)的啟示[M].北京：新華出版社，1995.

[3]徐品芳，陳宗榮.數(shù)學(xué)猜想與發(fā)現(xiàn)[M].北京：科學(xué)出版社，2012.

[4]史寧中.學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與教學(xué)：以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)為例[J].中小學(xué)管理，2017（1）：35-37.

[5]張勝利，孔凡哲.數(shù)學(xué)抽象在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].教育探索，2012（1）：68-69.

[6]吳宏.推理能力表現(xiàn)：要素、水平與評價指標(biāo)[J].教育研究與實驗，2014（1）：47-51.

[7]黃燕玲，喻平.對數(shù)學(xué)理解的再認(rèn)識[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2002（3）：40-43.

[8]馬云鵬.關(guān)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的幾個問題[J].課程·教材·教法，2015，35（9）：36-39.

[9]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[10]曹一鳴，王振平.基于學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力發(fā)展的教學(xué)改進研究[J].教育科學(xué)研究，2018（3）：61-65.

[11]莊惠芬.聚焦多個維度，培養(yǎng)兒童的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)[J].江蘇教育：小學(xué)教學(xué)，2016（1）：34-36.

注：本文獲2018年江蘇省“教海探航”征文競賽一等獎，有刪改。