基于核心素養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計(jì)
——以“均值不等式”為例

☉江西省鄱陽縣第一中學(xué) 姜 平

核心素養(yǎng)的課程邏輯是從“課程育人”的角度來回答“育人為本”的問題，教師更應(yīng)該思考的是：學(xué)生在某節(jié)課后，到底學(xué)到了什么？除知識外，還有什么收獲？本文以“均值不等式”為例談?wù)劵跀?shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計(jì).

一、基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的教學(xué)目標(biāo)

數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)應(yīng)立足于基礎(chǔ)知識與基本技能這兩方面，融入基本數(shù)學(xué)思想和基本實(shí)踐活動(dòng)的教學(xué)將會(huì)更好地促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的理解、感悟、掌握和運(yùn)用，只有不斷積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，才能更好地體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值，從而提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心，并且這幾方面密切聯(lián)系、相互支撐，共同構(gòu)成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)形成的基礎(chǔ).

“均值不等式”這節(jié)課是在學(xué)生對不等式概念與基本性質(zhì)有了感性的認(rèn)識之后，且能夠解決簡單的關(guān)于不等式性質(zhì)問題的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)新的問題，進(jìn)一步增強(qiáng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識，以及分析問題、解決問題的能力.

二、明確基于核心素養(yǎng)的教材、教法分析

1.教材分析

教材（人教A版數(shù)學(xué)《必修5》）中通過對現(xiàn)實(shí)問題設(shè)置猜想，然后構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，從而得到不等關(guān)系；并通過引入算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定義，理解均值不等式的幾何解釋；且在此基礎(chǔ)上進(jìn)行公式的推導(dǎo)并學(xué)會(huì)應(yīng)用.均值不等式是不等式這一章節(jié)中的核心內(nèi)容，對于如何利用均值不等式求最值、值域，如何在公式推導(dǎo)和應(yīng)用過程中滲透多種數(shù)學(xué)思想方法，這些都是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2.教法分析

通過對新課程標(biāo)準(zhǔn)的解讀以及教材內(nèi)容的解析，了解到本節(jié)課的重點(diǎn)是均值不等式的推導(dǎo)，這是形成核心素養(yǎng)的關(guān)鍵.教學(xué)中采用探究歸納、講練結(jié)合的教學(xué)思路，體現(xiàn)以學(xué)生為主體，以均值不等式的形成過程為主線，放手讓學(xué)生探究思索均值不等式的實(shí)質(zhì)，主動(dòng)發(fā)現(xiàn)均值不等式的應(yīng)用條件及應(yīng)用中常出現(xiàn)的錯(cuò)誤，其中認(rèn)識均值不等式成立的條件應(yīng)作為本節(jié)課的難點(diǎn).

3.教學(xué)流程圖

圖1

三、創(chuàng)設(shè)情境，設(shè)置實(shí)際問題，提出問題

圖2

1.利用趙爽弦圖的模型解釋a2+b2≥2ab

從古到今，中國人有很多發(fā)明創(chuàng)造都推動(dòng)了世界的前進(jìn)，在這璀璨的中華文明的浩瀚星空里，最閃亮的一顆星就是作為2002年北京國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)徽的“趙爽弦圖”.

圖2所示就是在北京召開的第24屆數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，該會(huì)標(biāo)就是依據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖而設(shè)計(jì)的，它是公元前我國數(shù)學(xué)家趙爽記錄在《周髀算經(jīng)》中發(fā)現(xiàn)和證明勾股定理的“趙爽弦圖”，它比歐洲的發(fā)現(xiàn)早了500多年.

提出問題：在正方形ABCD中有4個(gè)全等的直角三角形，設(shè)直角三角形的兩條直角邊分別為a，b，那么正方形的邊長為多少？這樣的四個(gè)直角三角形的面積和是多少？正方形的面積為多少？結(jié)合四個(gè)直角三角形面積與正方形面積的關(guān)系能否找到一些相等或者不等的關(guān)系呢？

設(shè)計(jì)意圖：教育部考試中心《關(guān)于2017年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容的通知》要求“增加中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的考核內(nèi)容，積極培育和踐行社會(huì)主義核心價(jià)值觀，充分發(fā)揮高考命題的育人功能和積極導(dǎo)向作用.比如，在數(shù)學(xué)中增加數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容”.借助這個(gè)情景不僅引發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的民族自豪感，激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲，并滲透愛國主義教育，同時(shí)告訴學(xué)生了解我國光輝而燦爛的數(shù)學(xué)文化史，也是提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)很重要的途徑.

探究結(jié)論：在正方形ABCD中有4個(gè)全等的直角三角形，假設(shè)直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，那么正方形的邊長為這樣，4個(gè)直角三角形面積之和為2ab，正方形面積為a2+b2，由于4個(gè)直角三角形面積之和小于正方形面積，于是我們就得到了一個(gè)表達(dá)式a2+b2＞2ab，當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即a=b時(shí)，小正方形EFGH縮為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)有a2+b2=2ab.

得出結(jié)論：如果a，b∈R，那么a2+b2≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”），具有這種形式的式子就是我們今天要討論的均值不等式.

教學(xué)反思：數(shù)學(xué)思維是促進(jìn)數(shù)學(xué)知識和思想方法以及情感態(tài)度等數(shù)學(xué)素養(yǎng)的必要條件.本節(jié)課的教學(xué)過程，教師通過這一實(shí)際數(shù)學(xué)模型對數(shù)學(xué)思維價(jià)值進(jìn)行挖掘，設(shè)計(jì)出有利于這些思維價(jià)值放大的探究活動(dòng)，并通過學(xué)生的活動(dòng)，將這種“思維形式”內(nèi)化為自己的“思維習(xí)慣”.教師要善于設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問題作為活動(dòng)進(jìn)行的杠桿，把學(xué)生的思維調(diào)動(dòng)起來，從而達(dá)到通過啟發(fā)誘導(dǎo)、探究深入教會(huì)學(xué)生思考的目的.

四、設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，拓展公式內(nèi)容，增強(qiáng)學(xué)生的邏輯推理能力

圖3

數(shù)學(xué)教學(xué)就是學(xué)生在各種數(shù)學(xué)活動(dòng)中生成、拓展、提升與交流經(jīng)驗(yàn)的過程，同時(shí)是他們獲得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能與基本思想的過程.教師通過教學(xué)活動(dòng)給學(xué)生創(chuàng)造直觀思維的機(jī)會(huì)，通過層層的問題設(shè)置給予學(xué)生“悟”的時(shí)間和空間.

教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)：如圖3，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C為AB上一動(dòng)點(diǎn)，CD垂直AB交圓O于D，E兩點(diǎn)，連接AD，BD，OD，點(diǎn)F為圓O上的點(diǎn)，且OF⊥AB，連接CF，過C作CG⊥OD，交OD于點(diǎn)G.設(shè)AC=a，BC=b.不妨設(shè)a＞b.

圓中有四條線段的長度分別等于不等式中的四個(gè)數(shù)，你能看出這四個(gè)數(shù)分別對應(yīng)于哪條線段嗎？

設(shè)計(jì)意圖：這個(gè)圖形是我們非常熟悉的一個(gè)重要圖形，由于半弦長不大于半徑，故得到不等式繼而得到其他不等式（a＞0，b＞0，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號），同時(shí)，對于上述不等式，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)半徑等于半弦，等號成立.本節(jié)課利用這個(gè)圓中的線段模型，使學(xué)生從均值不等式的幾何解釋中體會(huì)到了證明均值不等式的常用方法，也體會(huì)到了不等式成立的相關(guān)條件，使學(xué)生具備進(jìn)一步應(yīng)用均值不等式解題的基礎(chǔ).F