巧用根的判別式

一元二次方程根的判別式是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，是重要的基礎(chǔ)知識(shí)，也是解數(shù)學(xué)題的重要工具，其應(yīng)用主要包括以下幾個(gè)方面：①不解一元二次方程，判斷（證明）根的情況；②根據(jù)方程根的情況，確定待定系數(shù)的取值范圍；③判斷二次三項(xiàng)式是完全平方式時(shí)的待定系數(shù)；④判斷拋物線與直線（含x軸）的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)。下面，我們列舉幾種常見(jiàn)的題型和解法供同學(xué)們參考。

【教材原題】（蘇科版《數(shù)學(xué)》九下第117頁(yè)）k取什么值時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程x2-kx+4=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？

【思路分析】因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以Δ=0，將方程的系數(shù)代入根的判別式中，得到關(guān)于k的方程，進(jìn)而求得k的值。

【解答】∵關(guān)于x的一元二次方程x2-kx+4=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

∴Δ=b2-4ac=（-k）2-4×1×4=0，

解得：k=±4。

∴當(dāng)k=±4時(shí)方程x2-kx+4=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。

【演變過(guò)程】本題是在不解一元二次方程判斷方程根的基礎(chǔ)上演變而來(lái)的。

【考題在線】

變式1如果關(guān)于x的一元二次方程x2+2（k-1）x+k2-1=0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（ ）。

A.k≥1 B.k＞1 C.k＜1 D.k≤1

【思路分析】可由方程根的情況判斷判別式的取值，進(jìn)而分析得出k的取值范圍。

【解答】∵關(guān)于x的一元二次方程x2+2（k-1）x+k2-1=0有實(shí)數(shù)根，

∴Δ=b2-4ac=4（k-1）2-4（k2-1）=-8k+8≥0，

解得：k≤1。

故選：D。

【解后反思】本題應(yīng)注意，有實(shí)數(shù)根包含有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根和有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根兩種情況，解題時(shí)要注意題目的不同說(shuō)法。

變式2關(guān)于x的一元二次方程kx2-x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍。

【思路分析】根據(jù)一元二次方程kx2-x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，知Δ=b2-4ac＞0且k≠0，然后據(jù)此列出關(guān)于k的不等式，解不等式即可。

【解答】∵kx2-x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ=1-4k＞0，且k≠0，

【解后反思】本題主要考查根據(jù)方程根的情況求方程待定系數(shù)的取值范圍。解題時(shí)，注意一元二次方程的“二次項(xiàng)系數(shù)不為0”這一條件。

變式3 求證：無(wú)論k取何值，方程x2-（k+3）x+2k-1=0都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

【思路分析】先用含k的代數(shù)式表示出根的判別式，再通過(guò)配方說(shuō)明其不小于0。

【解答】Δ=（k+3）2-4（2k-1）=k2+6k+9-8k+4=k2-2k+13=（k-1）2+12，

∵（k-1）2≥0，

∴（k-1）2+12＞0，

則無(wú)論k取何實(shí)數(shù)，原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

【解后反思】此題考查了根的判別式在證明方程根的情況這類(lèi)問(wèn)題中的應(yīng)用，這類(lèi)問(wèn)題需要先對(duì)根的判別式進(jìn)行配方，再對(duì)配方結(jié)果的取值進(jìn)行分析，最終得出結(jié)論。

變式4 已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+m-2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，m為正整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)，則符合條件的所有正整數(shù)m的和為（ ）。

A.6 B.5 C.4 D.3

【思路分析】根據(jù)方程的系數(shù)，結(jié)合根的判別式Δ≥0，即可得出m≤3，由m為正整數(shù)，結(jié)合該方程的根都是整數(shù)，即可求出m的值，將其相加即可得出結(jié)論。

【解答】∵a=1，b=2，c=m-2，關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+m-2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

∴Δ=b2-4ac=22-4（m-2）=12-4m≥0，

∴m≤3。

∵m為正整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)，

∴m=2或3。

∴2+3=5。

故選：B。

【解后反思】先由根的情況求出字母系數(shù)取值范圍，再根據(jù)題中條件分析，最終確定m的值。

變式5 若關(guān)于a的二次三項(xiàng)式16a2+ka+25是一個(gè)完全平方式，則k=________。

【思路分析】可以令二次三項(xiàng)式等于0，若二次三項(xiàng)式是完全平方式，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即Δ=0。

【解答】令16a2+ka+25=0，因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以Δ=k2-4×16×25=0，所以k=40或者-40。

答案：40或者-40。

【解后反思】當(dāng)Δ=0時(shí)，二次三項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式，把滿(mǎn)足題目的所有條件列成一個(gè)方程求解。

變式6 已知函數(shù)y=mx2-6x+1（m是常數(shù)），若該函數(shù)的圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求m的值。

【思路分析】應(yīng)分兩種情況討論：①當(dāng)函數(shù)為一次函數(shù)時(shí)，與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；②當(dāng)函數(shù)為二次函數(shù)時(shí)，利用根的判別式解答。

【解答】①當(dāng)m=0時(shí)，函數(shù)y=-6x+1的圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)。

②當(dāng)m≠0時(shí)，若函數(shù)y=mx2-6x+1的圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則方程mx2-6x+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以Δ=（-6）2-4m=0，m=9。

綜上，若函數(shù)y=mx2-6x+1的圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則m的值為0或9。

【解后反思】拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)與一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判別式有著密切的關(guān)系，由交點(diǎn)個(gè)數(shù)可以得到根的判別式取值范圍，由根的判別式取值范圍也可判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)。

在中考復(fù)習(xí)中，我們要善于分析和思考，及時(shí)總結(jié)，做到舉一反三，才能有效提高我們解決問(wèn)題的能力。