利用剪應(yīng)力公式研究楔形截面梁的彎曲正應(yīng)力

吳 曉

（湖南文理學(xué)院?機(jī)械工程學(xué)院，湖南?常德?415000）

楔形截面梁在空間結(jié)構(gòu)中應(yīng)用比較廣泛。文獻(xiàn)[1]討論了兩端固支楔形變截面梁的熱彎曲，文獻(xiàn)[2]采用求積元法分析了楔形變截面鋼-混凝土組合梁彎曲和自由振動(dòng)，文獻(xiàn)[3]研究了剪力對(duì)楔形變截面雙模量梁彎曲應(yīng)力的影響，文獻(xiàn)[4]研究了考慮剪切效應(yīng)的旋轉(zhuǎn)FGM從楔形梁剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)建模與仿真，文獻(xiàn)[5]研究了用楔形體解答求解矩形變截面梁及其適用范圍，文獻(xiàn)[6]研究了楔形梁腹板在彎、剪及局壓聯(lián)合作用下的彈性屈曲，文獻(xiàn)[7]研究了交叉梁系結(jié)構(gòu)中變截面桿件的計(jì)算問題。由以上文獻(xiàn)可知，楔形梁是實(shí)際工程中較常見的承載構(gòu)件。彈性理論采用半逆解法研究楔形梁的彎曲應(yīng)力是采用多項(xiàng)式進(jìn)行求解的，存在一題一方法一解的不足，且不能求解復(fù)雜外載荷作用下楔形梁的彎曲應(yīng)力。本文利用剪應(yīng)力公式研究了楔形梁彎曲正應(yīng)力的求解，得到了復(fù)雜外載荷作用下楔形梁的彎曲正應(yīng)力公式，彌補(bǔ)了彈性理論的不足。

1??楔形梁彎曲正應(yīng)力

對(duì)于圖1所示復(fù)雜載荷作用下的楔形梁，可用奇異函數(shù)把外載荷表示為如下載荷集度形式：

把式（1）對(duì)x積一次分可得梁截面剪力：

圖1 復(fù)雜載荷作用下楔形梁

把式（2）對(duì)x積一次分可得梁截面彎矩：

對(duì)于圖1所示楔形梁，可把其截面高度表示為：

式（4）中：

利用式（4）可知楔形梁截面慣性矩及靜矩分別為：

由材料力學(xué)可知，圖1所示楔形梁截面剪應(yīng)力近似公式為：

由文獻(xiàn)[8]可知，采用式（6）計(jì)算楔形梁截面剪應(yīng)力已不適用，但是可利用式（6）求得計(jì)算復(fù)雜外載荷作用下楔形梁截面通用彎曲正應(yīng)力修正公式。

由文獻(xiàn)[9]可知有下式成立：

式（7）中：G為剪切彈性模量；u為軸向位移；u（0）為中性層軸向位移；w為楔形梁彎曲撓度。

利用式（4）～式（7）可得：

把式（1）～式（3）代入式（13）中即為圖1所示復(fù)雜載荷作用下，楔形梁彎曲正應(yīng)力修正公式，此彎曲正應(yīng)力修正公式是通用公式。而彈性理論僅能對(duì)單一載荷給出一題一解，存在一定的局限性。

2??算例分析

為了檢驗(yàn)式（13）的計(jì)算精度，下面以圖2所示集中載荷作用下懸臂楔形梁為例，進(jìn)行計(jì)算。

圖2 集中載荷作用下楔形梁

由文獻(xiàn)[8]、文獻(xiàn)[9]可知，h1=0時(shí)，圖2所示懸臂楔形梁在集中載荷作用下截面最大正應(yīng)力為：

下面把β、β’隨半楔角α變化的數(shù)值列在表1中，以便討論分析。

表1 β、β’的數(shù)值（μ=0.25）

由表1可知，本文方法式（16）的計(jì)算結(jié)果與彈性理論式（17）的計(jì)算結(jié)果在半楔角α≤ 40°即楔形角度不超過80°范圍內(nèi)吻合得比較好，式（16）與彈性理論式（17）計(jì)算誤差均沒有超過實(shí)際工程所允許的誤差5%。在工程實(shí)際中，半楔角α=40°的楔形梁已經(jīng)是很少見的了。

彈性理論式（17）僅是圖2所示懸臂楔形梁當(dāng)h1=0時(shí)的解析解，而本文給出的式（13）、式（15）則是圖1所示在復(fù)雜載荷作用下楔形梁的彎曲正應(yīng)力公式，所以說本文給出的楔形梁彎曲正應(yīng)力修正公式是通式，本文方法彌補(bǔ)了彈性理論存在一題一方法一解的不足。

3??結(jié)論

（1）本文方法給出的楔形梁彎曲正應(yīng)力修正公式的計(jì)算結(jié)果與彈性理論方法的計(jì)算結(jié)果，在半楔角α≤40°即楔形角度不超過80°范圍內(nèi)吻合得比較好，計(jì)算誤差均沒有超過實(shí)際工程所允許的誤差5%。這說明本文方法給出的楔形梁彎曲正應(yīng)力修正公式計(jì)算精度較高。

（2）本文給出的楔形梁彎曲正應(yīng)力修正公式是通式，對(duì)任意載荷作用下楔形梁的彎曲應(yīng)力計(jì)算都適用，而彈性理論的半逆解法僅適用楔形梁在單一載荷作用下的彎曲應(yīng)力計(jì)算，本文方法克服了彈性理論一題一方法一解的局限性。