例談新定義數(shù)列的解題

時英雄 湯 旭

(安徽省合肥市第一中學 230601)

在高中數(shù)列的學習中，主要就是定義了等差數(shù)列、等比數(shù)列，那么有沒有等和數(shù)列，等積數(shù)列等等這樣的新定義的數(shù)列呢？其實，在很多的數(shù)列題目中經(jīng)常能遇到新定義的數(shù)列，它需要學生對知識進行遷移，利用對等差、等比數(shù)列的理解進行歸納，類比等，找出新定義的數(shù)列的核心來解題.下面就一些常見的新定義數(shù)列問題，談談此類問題的解法，以饗讀者.

一、等和數(shù)列

例1 定義：把滿足an+an-1=k(n≥2,k為常數(shù))的數(shù)列叫做等和數(shù)列，常數(shù)k叫做數(shù)列的公和.若等和數(shù)列{an}的首項為1，公和為3,則其前n項和Sn=____.

評注等和數(shù)列的本質(zhì)就是奇數(shù)項和偶數(shù)項分別為兩組常數(shù)列構(gòu)成，是一個擺動數(shù)列.掌握這一特點，求通項、求和等問題就可迎刃而解了.

二、絕對和數(shù)列

例2 定義：若數(shù)列{an}對任意的正整數(shù)n，都有|an|+|an+1|=k(k為常數(shù)),則稱{an}為絕對和數(shù)列，常數(shù)k叫做數(shù)列的絕對公和，已知絕對和數(shù)列{an}中，a1=2，k=2，則其前2010項和S2010的最小值為____.

解析由定義|a1|+|a2|=2，a1=2，所以|a2|=0,|a3|=2,|a4|=0,…

所以n為奇數(shù)時，|an|=2，n為偶數(shù)時，|an|=0，要使S2010最小，則a3=a5=...=a2009=-2，(S2010)min=2-2×1004=-2006.

評注絕對和數(shù)列與等和數(shù)列的研究類似，只不過奇數(shù)項和偶數(shù)項在取值時都有正負兩種選擇，比等和數(shù)列要復雜一點，也可以將題目設計為前2010項和為定值，求數(shù)列個數(shù)，這樣牽涉到排列組合知識，留給讀者自己研究，這里不做贅述.

三、等比和數(shù)列

由此可得：a2n-1=a1×2n-1=2n-1,故a2009=21004.

評注等比和數(shù)列比等和數(shù)列多了一步構(gòu)造，奇數(shù)項和偶數(shù)項由原來的兩組常數(shù)列變?yōu)閮山M等比數(shù)列，還是分奇偶研究，實質(zhì)沒變.

四、等積數(shù)列

例4 在一個數(shù)列中，如果對?n∈N*都有anan+1an+2=k(k為常數(shù))，那么這個數(shù)列叫做等積數(shù)列，常數(shù)k叫做數(shù)列的公積.若等積數(shù)列{an}中a1=1,a2=2,k=8，則a1+a2+…+a12=____.

解析由題設anan+1an+2=8，,an+1an+2an+3=8，兩式相除得：an+3=an.{an}是一個周期為3的周期數(shù)列.

又由a1a2a3=8,a1=1,a2=2,所以a3=4.

所以，a1+a2+a3=7，a1+a2+…+a12=4×7=28.

評注這里的等積數(shù)列給的是連續(xù)三項的積為同一個常數(shù)，若給出的是連續(xù)兩項則與例1給出的等和數(shù)列如出一則，這里用連續(xù)三項構(gòu)造出一個周期數(shù)列，利用一個周期內(nèi)的幾項和為定值，即可求出特定的前n項和.

五、等差比數(shù)列

①k不可能為0；

②等差數(shù)列一定是等差比數(shù)列；

③等比數(shù)列一定是等差比數(shù)列；

④通項公式為an=a·bn+c(a≠0,b≠0,1)的數(shù)列一定是等差比數(shù)列；

⑤等差比數(shù)列中可以有無數(shù)項為0.

其中正確命題的序號是____.

解析對于①，若k為0，則an+2-an+1=0，從而an+1-an=0，矛盾，故①正確.

對于②，若等差數(shù)列公差為0，則an+1-an=0，矛盾，故②不正確.

對于③，若等差數(shù)列公比為1，則an+1-an=0，矛盾，故③不正確.

對于⑤，若等差比數(shù)列中可以有無數(shù)項為0，則存在an+1-an=0，矛盾，故⑤不正確.

評注本題新定義了等差比數(shù)列，對能否構(gòu)成等差比數(shù)列的條件進行了研究，對其性質(zhì)進行了研究，這也是新定義問題的一種考察方向，本題抓住an+1-an≠0這個關鍵點即可.

六、等方差數(shù)列

②{(-1)n}是等方差數(shù)列；

③若{an}是等方差數(shù)列，則{akn} (k∈N*,k為常數(shù))是等方差數(shù)列；

④若{an}是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列是常數(shù)列.

其中正確命題的序號是____.

對于②，[(-1)n]2-[(-1)n-1]2=0，故{(-1)n}是等方差數(shù)列，故②正確.

高考中的新定義問題尤其是數(shù)列問題并不少見，雖然是新的定義，新的知識點，但是研究新數(shù)列的過程和方法都是大家所熟悉的，所以只要平時在學習的過程中能扎扎實實，將學習的過程和研究的方法遷移過來后，就會發(fā)現(xiàn)其實就是舉一反三，本文中舉的幾個例子就是平常比較常見的新定義數(shù)列.在平時的學習過程中大家也可以按照類似的思路編擬一些類似的題目來拓展思維，然后發(fā)現(xiàn)一些特殊的有意思的數(shù)列，在學習之余增加一些樂趣.