探討音樂與數(shù)學(xué)的關(guān)系

王斯文

【摘要】在現(xiàn)如今社會經(jīng)濟不斷發(fā)展的時代下，音樂無論是在制作方面還是在作曲方面都與數(shù)學(xué)有著密切的關(guān)聯(lián)，而且在音樂當(dāng)中不止有變換、數(shù)列等數(shù)學(xué)知識在書寫音樂樂譜與制作所需樂器的過程中也存在很多數(shù)學(xué)的蹤跡。所以現(xiàn)如今開始有越來越多的數(shù)學(xué)家對音樂進行研究分析，音樂家也不斷的在音樂中摸索數(shù)學(xué)的意義并且也都在分析音樂與數(shù)學(xué)兩者之間的關(guān)系。本文主要針對音樂與數(shù)學(xué)兩者之間的關(guān)系進行詳細分析。

【關(guān)鍵詞】音樂 數(shù)學(xué)

【中圖分類號】J60-05 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2019）05-0211-02

在古希臘的時期里有位數(shù)學(xué)家曾意外發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)與音樂兩者之間有著非常微妙的關(guān)聯(lián)，使用數(shù)學(xué)當(dāng)中的比例將音樂與數(shù)學(xué)聯(lián)系到一起并開始使用數(shù)學(xué)對音樂進行解釋使用音樂當(dāng)中的弦一數(shù)學(xué)計算方式計算音程當(dāng)中的度數(shù)。這位數(shù)學(xué)家還將音程分成兩種，一種是協(xié)和另一種是不協(xié)和，而且其始終都堅持所有事物原則就是數(shù)的原則，但是這位數(shù)學(xué)家的堅持觀點到現(xiàn)在為止還可以影響到對音樂的解釋。另外在音樂當(dāng)中的排列與和聲等都有著“數(shù)”的存在，也會在形象的不斷變化里進行延伸與流動的一種線條，由此可以得知“數(shù)”與“形”兩者的融合就是音樂的基礎(chǔ)。

一、音樂與數(shù)學(xué)在音排列中的關(guān)系

在音樂樂譜的書寫有很多種形式例如簡譜、五線譜等等，在這其中的五線譜的音列就是上下兩行的音符的排列，如果將五線譜當(dāng)中的所有音符按照上下行的排列順序放到數(shù)學(xué)指定的坐標當(dāng)中，然后把所有坐標當(dāng)中的音符當(dāng)作點進行相連就可以看到所有的音符形成了直線。如果將這條直線上的按照從右到左的順序進行延伸，就會發(fā)現(xiàn)整個五線譜當(dāng)中音的音高會隨著順序延伸出現(xiàn)遞增或者是遞減的狀態(tài)，曾有人使用這種方式進行實驗將自己最熟悉的音樂里音符按照音高的順序與數(shù)學(xué)坐標當(dāng)中所對應(yīng)的地方進行相連將整個音樂的曲線繪畫出來，最終發(fā)現(xiàn)這首最熟悉的音樂與所畫出這首音樂音高的曲線形狀也異常優(yōu)美。除此之外在聲音的長短時值當(dāng)中的記錄里可以發(fā)現(xiàn)，音符的具體時值與被命名的音符之間所呈現(xiàn)的是反比例，這就說明在被命名的音符進行不斷加大的時候音符的具體時值則會進行不斷減小。而且音符的具體時值與被命名的音符兩者都形成各自的相等比例數(shù)列例如被命名的音符為：全、二分、四分、八分、十六分、三十二分等音符時，音符的具體時值則為：8、4、2、1/4、1/8、1/16等。在音樂當(dāng)中就是因為這些各不相同但是都有著緊密關(guān)系音符的組成，才可以變成現(xiàn)如今被所有人所聽到的音樂節(jié)奏[1]。

二、音樂與數(shù)學(xué)在和聲中的關(guān)系

在音樂當(dāng)中的和聲不僅能夠完美的體現(xiàn)出音樂的聲響，還能夠很好地突出強調(diào)音樂和數(shù)學(xué)兩者之間存在的微妙關(guān)聯(lián)，也正是因為如此著名的作曲家豪普德曼才將音樂稱之為可以進行流動的建筑。在數(shù)學(xué)當(dāng)中的幾何學(xué)里最為主要的理念就是將多個點進行相組成線，將多條線進行相組成面，再將多個面進行相組最終成為種類眾多的立體形狀。在音樂當(dāng)中與之也有著異曲同工之妙，音樂是將眾多音符進行相組成音線，將眾多音線進行相組成各不相同的音面，最終由各不相同的音面所組成立體的構(gòu)造。但是在整個音樂的立體構(gòu)造當(dāng)中最為重要的部分就是和聲，因為在音樂當(dāng)中的和聲就是由幾個或者是多個音所形成最終成為和聲，而且在和聲當(dāng)中是需要將多個音進行相連成為和音并將和音持續(xù)進行。如果在整個和音當(dāng)中將最初的和音當(dāng)中存在的所有音當(dāng)成很多各不相同的音線開端，然后將連續(xù)并且互不相同的和音中存在的所有音當(dāng)成各種音線之中不一樣的音點，這樣就可以發(fā)現(xiàn)在其中組成很多條音線。通過各不相同的音線進行相互交叉所構(gòu)成音面，而各不相同的音面進行相交這樣就逐漸形成了擁有立體結(jié)構(gòu)的音樂。

在所有不同的音樂作品當(dāng)中一定會產(chǎn)生出各不相同的立體結(jié)構(gòu)，正因如此才讓所有作曲家都可以擁有屬于自己的獨特創(chuàng)作風(fēng)格，但是這樣也會導(dǎo)致一位作曲家如果在同一個時間階段里所創(chuàng)作的作品所具有的立體構(gòu)造都會有大同小異的狀況，這樣就逐漸將所有音樂作曲家自身特有的音樂語言所產(chǎn)生出來。之前曾經(jīng)有人嘗試著把莫扎特在同一個時間階段里所創(chuàng)作的幾首交響曲全部輸進到計算機當(dāng)中，讓計算機對所有交響曲進行分析，然后在使用計算機根據(jù)分析得出的結(jié)果進行模仿創(chuàng)作，最后被創(chuàng)作出來的這首交響曲在整個音樂界引起了很大的轟動，很多的音樂家以及音樂方面的專家都相信了這件事。這是一個具有代表性的事例，但是它卻能足夠體現(xiàn)出音樂的風(fēng)格是可以進行分類，音樂的結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)之間擁有著密切的關(guān)聯(lián)。而且大約在19世紀里曾經(jīng)有位法國的著名數(shù)學(xué)家，經(jīng)過其不斷的研究分析后他提出在音樂當(dāng)中存在的樂聲無論是樂器的樂聲還是聲音的樂聲都可以使用數(shù)學(xué)當(dāng)中按照計算周期正弦當(dāng)中函數(shù)和的形式來進行詳細的描述或者是表達。無論是樂器的樂聲還是聲音的樂聲都只有三個性質(zhì)，分別是音量、音高與音質(zhì)，但是在具體的圖形當(dāng)中可以將其清晰的體現(xiàn)出來，所體現(xiàn)的就是樂聲的音高和曲線當(dāng)中的具體頻率有著緊密的關(guān)聯(lián)，而音質(zhì)與音量則是和數(shù)學(xué)當(dāng)中按照計算周期正弦當(dāng)中函數(shù)和的形狀與振幅有著緊密的關(guān)聯(lián)[2]。

三、音樂與數(shù)學(xué)在節(jié)奏中的關(guān)系

在音樂當(dāng)中的節(jié)奏就是在三大形成音樂的要素之一，在音樂的節(jié)奏當(dāng)中也存在很多有關(guān)數(shù)學(xué)的邏輯思維。在現(xiàn)如今所創(chuàng)作的音樂當(dāng)中，音樂作曲家吸收了很多關(guān)于數(shù)學(xué)理論知識當(dāng)中的思維方式進行音樂的作曲，這種發(fā)展方式就逐漸將以往傳統(tǒng)音樂節(jié)奏相關(guān)的記譜體系進行很大的轉(zhuǎn)變，但這種轉(zhuǎn)變也為音樂自身所具有的表現(xiàn)能力起到很大程度的提升作用。曾經(jīng)有位法國的音樂序列家對音樂當(dāng)中的節(jié)奏進行理論，這種理論也為很多音樂作曲家提供了一種新型的思維方法，這位法國音樂序列家根據(jù)人體、植物、動物等大自然當(dāng)中天然就存在的東西進行對稱最終構(gòu)建起非逆行的節(jié)奏模式，這種節(jié)奏模式不僅可以在音樂節(jié)奏的片段當(dāng)中展現(xiàn)出來，還可以在整個音樂作品當(dāng)中整體節(jié)奏的變幻當(dāng)中展現(xiàn)出來?？梢蕴暨x一首音樂當(dāng)中的節(jié)奏片段進行觀察，如圖一所示：

這樣就可以清楚的觀察出這種音樂節(jié)奏的模式不只是將數(shù)學(xué)當(dāng)中有關(guān)于“量”的變換、增減所顯示出來，還將數(shù)學(xué)當(dāng)中有關(guān)于“形”的對稱所顯示出來，這種音樂節(jié)奏不僅將現(xiàn)如今音樂當(dāng)中所存在節(jié)奏變換為音樂自身所存在的表現(xiàn)能力進行提升，還將音樂整個都遵守了美學(xué)當(dāng)中的原則并沒有打破這種整體的平衡，就像著名的數(shù)學(xué)家馬諾拉曾經(jīng)在研究當(dāng)中所得出的最終定論一樣：在音樂當(dāng)中存在的平衡與對稱的現(xiàn)象里都含有非常明顯的數(shù)學(xué)思維。

在二十世紀的20年代中有位在哥倫比亞大學(xué)當(dāng)中擔(dān)任音樂與數(shù)學(xué)方面的教授，他曾經(jīng)將報紙當(dāng)中挑選了一段起伏非常大的曲線繪畫在坐標紙當(dāng)中，然后再將這條曲線當(dāng)中存在最為基本的比例與間隔變換為音樂的樂曲，最后使用音樂樂器將其演奏出來，卻在演奏當(dāng)中驚奇的發(fā)現(xiàn)這首樂曲當(dāng)中的曲調(diào)竟然異常優(yōu)美，甚至都可以與巴赫的音樂作品進行相互比較。因此這位教授最終得出任何與音樂有關(guān)的作品都可以將其轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)當(dāng)中的公示進行表達[3]。

四、音樂與數(shù)學(xué)在結(jié)構(gòu)中的關(guān)系

在音樂當(dāng)中的結(jié)構(gòu)自身就具有非常清晰可見的數(shù)學(xué)方面的推理與邏輯的思維，尤其是在黃金分割0.618點與菲波那契的數(shù)列結(jié)構(gòu)所產(chǎn)生之后，就更可以將音樂當(dāng)中的所存在的美與數(shù)學(xué)兩者之間關(guān)聯(lián)到一起。在菲波那契的數(shù)列結(jié)構(gòu)當(dāng)中具體是按照：1、1、2、3、58、13、21、34、55……的順序所進行，在這其中最為規(guī)律的就是從第三項的位置開始之后的每一項都是前兩項所相加在一起得出的和。在數(shù)學(xué)當(dāng)中所存在的比例之間關(guān)系就是比較大面積的部分和整個整體進行相互比較就等于比較小面積的部分與其進行相互比較，在這其中的比例值就是0.618與黃金分割點相同，因此這些與數(shù)學(xué)知識有關(guān)的思維都和音樂當(dāng)中的結(jié)構(gòu)有著非常緊密的關(guān)系。另外根據(jù)菲波那契的數(shù)列結(jié)構(gòu)使用到音樂當(dāng)中為大眾所體現(xiàn)出現(xiàn)的就是較為短暫的、局部的不平衡與不對稱，但是這樣卻又將音樂自身就擁有的某種表現(xiàn)與感召能力。例如在匈牙利有位著名的音樂作曲家在他的音樂作品《弦樂、打擊樂與鋼片琴音樂》當(dāng)中的第一篇樂章里，整個曲子一共擁有八十九個小節(jié)，具體是從整首音樂作品當(dāng)中高潮點的部位進行劃分成一個是55小節(jié)一個是34小節(jié)，如果按照這位音樂作曲家對這首作品當(dāng)中的音色與強度所進行的布局開始觀察，可以將從作品開始一直到高潮點的55小節(jié)部分進行劃分成為21+34的小節(jié)，再將從高潮點開始一直到作品結(jié)束的34小節(jié)部分進行劃分成21+13的小節(jié)。這樣就可以非常清楚的觀察出來這些劃分出來的小節(jié)數(shù)字都和菲波那契當(dāng)中所提出的梭子有著非常驚人的相似之處，而且在音樂作品當(dāng)中對小節(jié)的劃分順序也都是按照菲波那契的數(shù)列結(jié)構(gòu)當(dāng)中所存在的規(guī)律而進行的。

除此之外在音樂樂器的鋼琴上的鍵盤可以看出，從C鍵一直到另外一個C鍵之中所在的就是音樂音環(huán)當(dāng)中的八度，在這當(dāng)中一共可以包含鋼琴鍵盤上的13個鋼琴鍵，這13個鋼琴鍵又分為8個白色鋼琴鍵與5個黑色鋼琴鍵，這5個黑色鋼琴鍵又分為兩個小組第一組當(dāng)中存在2個黑色鋼琴鍵另一組則存在3個黑色鋼琴鍵，而這種2/3/5/8/13的數(shù)字正好與菲波那契的數(shù)列結(jié)構(gòu)當(dāng)中處于最前面的幾個數(shù)字。[4]。

綜上所述，通過以上將音樂當(dāng)中所存在的數(shù)學(xué)知識進行分析可以發(fā)現(xiàn)，在整個音樂當(dāng)中都存在數(shù)學(xué)當(dāng)中的“數(shù)”與“形”的體現(xiàn)，這種體現(xiàn)也將數(shù)學(xué)逐漸形成一種抽象藝術(shù)的體系也將數(shù)學(xué)當(dāng)中蘊含的美進行展現(xiàn)，例如數(shù)學(xué)當(dāng)中的邏輯美、形式美、對稱美等的存在。愛因斯坦曾說過整個世界都可以使用音樂當(dāng)中的樂譜進行組成還可以使數(shù)學(xué)當(dāng)中的公式進行組成，所以音樂與數(shù)學(xué)兩者之間有著密不可分的關(guān)系。

參考文獻：

[1]趙軍營.音樂與數(shù)學(xué)的關(guān)系研究文獻綜述[J].北方音樂， 2017（19）：252-253.

[2]馬源雪.探討高校音樂教學(xué)中美聲唱法與民族唱法的關(guān)系[J].中國民族博覽， 2017（7）：137-138.

[3]周子翔.高校音樂教學(xué)中美聲唱法與民族唱法的關(guān)系探討[J].北方音樂，2017（5）：205-205.

[4]常沁怡.音樂中的數(shù)學(xué)——淺談音樂與數(shù)學(xué)的關(guān)系[J].藝術(shù)科技， 2017（6）：162.