淺談動(dòng)力剛度法的歷史和發(fā)展

(重慶交通大學(xué) 重慶 400074)

一、動(dòng)力剛度法的歷史

動(dòng)力剛度法是一種適宜于計(jì)算機(jī)分析的精確計(jì)算方法，該方法是將結(jié)構(gòu)看作無(wú)限自由度體系，最初是通過(guò)經(jīng)典力學(xué)自由振動(dòng)控制微分方程來(lái)推導(dǎo)出精確的單元?jiǎng)恿偠染仃?需提前給定一個(gè)試探頻率)，然后再按照與靜力剛度矩陣類似的方法拼裝成整體動(dòng)力剛度矩陣，在這個(gè)步驟中其實(shí)與結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)教材中的動(dòng)力直接剛度法類似，而此時(shí)的剛度矩陣中的剛度系數(shù)是試探頻率的超越函數(shù)，這樣的問(wèn)題無(wú)法像有限元一樣采用子空間迭代法或者Lanczos法求解。但是通過(guò)Wittrick-Williams算法就可以求解廣義特征值問(wèn)題。Wittrick-Wiliams算法是動(dòng)力剛度法精確求解結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)問(wèn)題的核心算法(以下簡(jiǎn)稱W-W算法)，它利用Sturm序列的性質(zhì)和Rayleigh約束定理(也叫特征值隔離定理)，在1970年由Wittrick和Williams提出的Wittrick-Williams算法[1～2]，提出之后很快就被應(yīng)用于桿系結(jié)構(gòu)的振動(dòng)分析[3～5]和穩(wěn)定分析[6～7]，后來(lái)胡海昌[8]給出了更富于技巧性的簡(jiǎn)潔證明方法，把約束系統(tǒng)推廣到了更一般的場(chǎng)合。該方法可以將特征值收斂到一個(gè)極小的區(qū)間之中，從而得到工程師滿意的解答。由于有限元法中單元位移函數(shù)相對(duì)于振動(dòng)問(wèn)題是近似的，因?yàn)樵揪褪庆o力位移函數(shù)，要進(jìn)行更高階固有頻率的計(jì)算，就需要加密單元來(lái)提高精度，但是動(dòng)力剛度法的位移函數(shù)是由振動(dòng)控制微分方程的通解構(gòu)成，相當(dāng)于位移函數(shù)是“精確”的，因此無(wú)論多高階的固有頻率，都可以只使用一個(gè)單元來(lái)計(jì)算，其計(jì)算成本相比有限元法會(huì)大大減少，而且也是一種對(duì)應(yīng)于此力學(xué)模型下的精確算法。

二、動(dòng)力剛度法的發(fā)展

國(guó)內(nèi)最早開始與Williams合作研究動(dòng)力剛度法的是清華大學(xué)的袁駟團(tuán)隊(duì)[8]，由于動(dòng)力剛度法的振型計(jì)算方法一直滯后，缺少一個(gè)與頻率計(jì)算方法Wittrick-Williams算法相稱的高效、可靠、精確的算法。所以首先袁駟與Williams合作開發(fā)出了一種新型有效振型算法——導(dǎo)護(hù)型牛頓法，實(shí)現(xiàn)了振型的求解，而且該方法具有二階收斂性，實(shí)際上由于使用Wittrick-Williams算法后，問(wèn)題從超越特征值問(wèn)題轉(zhuǎn)化回了線性特征值問(wèn)題了。其次，該團(tuán)隊(duì)對(duì)該方法運(yùn)用在不同形式結(jié)構(gòu)上做出了很大的貢獻(xiàn)：利用動(dòng)力剛度法求解了變截面桿的振動(dòng)以及穩(wěn)定及Sturm-Liouville問(wèn)題[9]，平面曲梁面內(nèi)面外自由振動(dòng)[10]，薄壁桿系結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)問(wèn)題[11]，以及最新發(fā)表的旋轉(zhuǎn)殼[12]，中厚圓柱殼[13]和中厚橢球殼[14]，其形成精確動(dòng)力剛度矩陣的方法均是利用了剛度矩陣的性質(zhì)，強(qiáng)制讓某個(gè)節(jié)點(diǎn)位移變成單位位移，而其它位移為零，利用求解精度和效率都十分出眾的常微分方程求解器COLSYS求解微分方程組邊值問(wèn)題得出對(duì)應(yīng)位移下的所有節(jié)點(diǎn)力，也就得出動(dòng)力剛度矩陣相應(yīng)的一列，最后拼裝成精確動(dòng)力剛度矩陣。并與EEP(單元能量投影法)法凝聚格式的自適應(yīng)算法和該法結(jié)合，建立了桿件動(dòng)力分析的自適應(yīng)求解方案、實(shí)施策略和具體算法[15]。

國(guó)內(nèi)另一個(gè)比較早開始研究動(dòng)力剛度法的是大連理工大學(xué)齊朝輝[16～18]，他注意到了動(dòng)力剛度矩陣合同變換對(duì)角化過(guò)程中的物理意義，合同變化為對(duì)角陣之后，最后一個(gè)對(duì)角元稱之為最后的能量范數(shù)，利用能量范數(shù)的性質(zhì)，將超越特征值問(wèn)題轉(zhuǎn)換為常微分方程的初值問(wèn)題，因此可以用很多解決常微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值方法來(lái)求解固有頻率，比如4階的Runge-Kutta法。該方法同樣高效穩(wěn)定。國(guó)內(nèi)還有其它學(xué)者也研究這個(gè)方法，張靜[19]將動(dòng)力剛度法應(yīng)用于計(jì)算受拉結(jié)構(gòu)的固有頻率上，湖南大學(xué)的晏班夫?qū)?dòng)力剛度法應(yīng)用在了拉索的參數(shù)識(shí)別上[20～21]，熊學(xué)玉將動(dòng)力剛度法應(yīng)用在體外預(yù)應(yīng)力梁的固有頻率計(jì)算上[22]。

國(guó)外為動(dòng)力剛度法的研究做出重要貢獻(xiàn)的是倫敦城市大學(xué)(City University London)的Banerjee團(tuán)隊(duì)。他們使用動(dòng)力剛度法研究了各種問(wèn)題，如單雙自由度彈簧元件問(wèn)題[23～24]，帶剛體的問(wèn)題[25]，錐形梁[26～27]和移動(dòng)梁[28]的問(wèn)題，以及夾層梁[29]，功能梯度梁[30]，矩形板的一般情況[31]，復(fù)合材料層合板[32]。

三、結(jié)語(yǔ)

動(dòng)力剛度法的求解精度極高，但是由于現(xiàn)有的有限元程序沒有使用該方法的程序，一般研究者都是自己使用MATLAB或者M(jìn)athematica軟件編程來(lái)達(dá)到使用該法的目的。而且在面對(duì)一些帶有孔洞的特殊結(jié)構(gòu)時(shí)，通用性不及有限元法。本文希望借此論文能夠讓更多的研究者了解此方法，應(yīng)用此方法去研究結(jié)構(gòu)的振動(dòng)問(wèn)題和穩(wěn)定問(wèn)題會(huì)更加精確。也可以嘗試將此方法應(yīng)用在Levinson梁，Reddy高階梁板理論結(jié)合，為進(jìn)一步用精確算法求解結(jié)構(gòu)固有頻率帶來(lái)方便。