基于新修正偶應(yīng)力理論的Reddy型層合板的熱穩(wěn)定性分析

張大千，王良秀

(沈陽航空航天大學(xué) 航空宇航學(xué)院，沈陽 110136)

當(dāng)材料的尺寸進(jìn)入微米以及納米量級(jí)時(shí)，已有實(shí)驗(yàn)表明材料的剛度、強(qiáng)度會(huì)明顯增強(qiáng)[1-3]，這種現(xiàn)象被稱為材料的尺度效應(yīng)。研究表明經(jīng)典連續(xù)體力學(xué)理論無法解釋這一現(xiàn)象，為了研究這一現(xiàn)象，學(xué)者們提出了廣義連續(xù)介質(zhì)理論，如應(yīng)變梯度理論、偶應(yīng)力理論等。廣義連續(xù)介質(zhì)理論通過引入材料尺度參數(shù)來解釋材料的尺度效應(yīng)，不同的理論引入的材料尺度參數(shù)不同。1963年Mindlin[4]提出了經(jīng)典偶應(yīng)力理論，理論中應(yīng)變對(duì)稱曲率張量不對(duì)稱，轉(zhuǎn)角與位移不獨(dú)立，且含有一個(gè)材料尺度參數(shù)。2002年Yang等[5]人提出了修正偶應(yīng)力理論，進(jìn)一步將曲率張量對(duì)稱化。基于此理論，Ma[6]等人建立了非經(jīng)典Mindlin層合板模型；Park等[7]建立了Bernoulli-Euler梁模型；Tsiatas[8]建立了Kirchhoff板模型。

以上研究中涉及的均是各向同性材料，并未討論各向異性材料。2011年Chen[9]等人首次提出適用于各向異性材料的新修正偶應(yīng)力理論，理論中應(yīng)變張量與偶應(yīng)力力矩張量對(duì)稱，曲率張量不對(duì)稱。在此基礎(chǔ)上，Li、Ma[10-11]建立了Timoshenko層合梁的自由振動(dòng)模型以及Reddy型層合板模型；Chen等[12]建立了Reddy型層合板的整體-局部理論；Mohammadabadi[13-14]等進(jìn)行了復(fù)合材料層合微梁熱屈曲及振動(dòng)尺寸效應(yīng)分析；Chen等[15]對(duì)Mindlin層合板進(jìn)行了屈曲分析以及有限元分析；Chen[16]對(duì)Reddy型層合板進(jìn)行了穩(wěn)定性分析；Wanli.Yang[17]等研究了Mindlin層合板在斜交鋪設(shè)時(shí)不同幾何形狀和邊界條件下，鋪設(shè)角對(duì)尺度效應(yīng)的影響。

以上學(xué)者的研究中均未涉及微尺度下各向異性Reddy層合板的熱穩(wěn)定性研究，基于此，本文以新修正偶應(yīng)力理論為基礎(chǔ)，建立了微尺度下Reddy板熱穩(wěn)定性模型，模型中只引入一個(gè)材料尺度參數(shù)，當(dāng)尺度參數(shù)為零時(shí)可以退化為經(jīng)典理論模型。用該模型對(duì)微尺度下Mindlin板進(jìn)行了熱穩(wěn)定性分析。

1 新修正偶應(yīng)力理論

2011年Chen[9]等人重新書寫了修正偶應(yīng)力理論中部分本構(gòu)方程，將偶應(yīng)力力矩張量對(duì)稱化，理論中應(yīng)變張量與曲率張量表達(dá)如下

(1)

式(1)中ωi,j=?ωi/?j(i=x，y=j),應(yīng)力張量σ和對(duì)稱化得到的偶應(yīng)力力矩張量m本構(gòu)關(guān)系如下

(2)

式(2)中λ、G為L(zhǎng)ame系數(shù)，i、j為材料尺度參數(shù)，表示的是微觀尺度下材料的缺陷或夾雜的尺度的度量，若將理論應(yīng)用于各向同性材料，則模型自動(dòng)退化為各向同性修正偶應(yīng)力。

2 新修正偶應(yīng)力理論Reddy層合板熱穩(wěn)定性模型

2.1 新修正偶應(yīng)力Reddy層合板位移場(chǎng)及應(yīng)變與曲率

在整體坐標(biāo)系下，用u,v,w表示層合板上任意一點(diǎn)x、y和z方向位移，ωx、ωy和ωz分別代表轉(zhuǎn)動(dòng)位移，如圖1所示。

圖1 層合板示意圖

Reddy層合板位移場(chǎng)如下：

u(x,y,z)=u0(x,y)+zθy(x,y)-cz3(θy+w,x)

v(x,y,z)=v0(x,y)-zθx(x,y)-cz3(-θx+w,y)

w(x,y,z)=w0(x,y,z)

(3)

式(3)中u0、v0、w為層合板中面沿直角坐標(biāo)系x，y，z個(gè)方向的位移，θx，θy分別為橫法線繞y軸和x軸的轉(zhuǎn)角。c=4μ/3h2，μ為模型控制參數(shù)，當(dāng)μ=1時(shí)為Reddy板；當(dāng)μ=0時(shí)為Mindlin板；當(dāng)μ=0且θx=?w/?x且θy=-?w/?x時(shí)為Kirchhoff板。轉(zhuǎn)動(dòng)位移為定義為ω=1/2curlu，將式(3)帶入轉(zhuǎn)動(dòng)位移表達(dá)式中得到轉(zhuǎn)動(dòng)位移如下

(4)

當(dāng)溫度改變量為ΔT時(shí)，Reddy型層合板的應(yīng)變與曲率張量可表示為

(5)

式中αx,αy分別為層合板沿x,y軸方向的熱膨脹系數(shù)。將式(3)和式(4)帶入式(5)可得層合板的應(yīng)變和曲率如下

(6)

(7)

2.2 單層層合板本構(gòu)方程

在局部坐標(biāo)系下，第k層層合板的本構(gòu)關(guān)系如下

σ′k=Ckε′k

(8)

式(12)中

(9)

Qk=TkTCkTk

(10)

第k層層合板在整體坐標(biāo)系下熱膨脹系數(shù)為

(11)

式(11)中m=cosφk，n=sinφk，φk為第k層沿x方向鋪設(shè)角。第k層層合板在整體坐標(biāo)系下的本構(gòu)關(guān)系為

σk=Qkεk

(12)

(13)

對(duì)于單層層合板而言是正交各向異性的，因此其剛度矩陣如下

(14)

式中

Qk=

式(15)中

2.3 新修正偶應(yīng)Reddy層合板的虛功原理及熱穩(wěn)定性模型

基于新修正偶應(yīng)力理論的Reddy層合板的虛功原理可表示為

δU-δW=0

(16)

δU為內(nèi)力虛功，δW為外力虛功，表達(dá)式如下

(17)

將式(13)帶入式(17)可進(jìn)一步得到內(nèi)力虛功表達(dá)式

(18)

式(18)中

Nx,Ny,Nxy,Nx1,Nx3,Ny1,Ny3,Nxy1,Nxy3,Qxz,Qyz,Qxz2,Qyz2,Yx,Yy,Yxy,Yyx,Yx2,Yy2,Yxy2,Yyx2

表達(dá)式為

(19)

(20)

(21)

將式(6)、式(7)、式(12)及式(19)帶入式(21)可得到具體控制方程如下

A1u0,xx+A2u0,yy+A3v0,xy+A4w,xxx+A5w,xyy+

A6θx,xy+A7θy,xx+A8θy,yy+fu=0

B1u0,xy+B2v0,xx+B3v0,yy+B4w,yyy+B5w,xxy+

B6θx,xx+B7θx,yy+B8θy,xy+fv=0

C1u0,xxx+C2u0,xyy+C3v0,yyy+C4v0,xxy+C5w,xx+

E1u0,xy+E2v0,xx+E3v0,yy+E4w,y+E5w,yyy+

E6w,xxy+E7θx,xx+E8θx,yy+E9θy,xy+E10θx-

(22)

四邊簡(jiǎn)支層合板邊界條件為

(23)

僅考慮板受熱載荷作用，相對(duì)于板的橫向位移w，膜向位移u0，v0是小量，方程中忽略u(píng)o，v0且假設(shè)fu=fv=fcx=fcy=0，化簡(jiǎn)方程(22)得到正交Reddy層合板僅考慮熱載作用下的控制方程為

D4w,x+D5w,xxx+D6w,xyy+D7θx,xy+D8θy,xx+D9θy,yy+D10θy=0

E4w,y+E5w,yyy+E6w,xxy+E7θx,xx+E8θx,yy+E9θy,xy+E10θx=0

(24)

其中

(25)

滿足全部邊界條件的位移函數(shù)為

(26)

α=aπ/L，β=bπ/L，將式(26)帶入式(24)可得到

(27)

臨界屈曲溫度ΔT可由式(27)可求得。同理，若考慮軸向載荷作用時(shí)，正交Reddy層合板在熱載荷和軸向載荷共同作用下的穩(wěn)定方程為

(28)

其中

由此可求得受軸向壓縮時(shí)正交Reddy層合板在溫度改變量為ΔT時(shí)的失穩(wěn)臨界載荷，當(dāng)=0時(shí)退化為經(jīng)典正交Reddy層合板穩(wěn)定理論，當(dāng)=0且θx=?ωy/?x，θy=?ωx/?y可退化到經(jīng)典Kirchhoff板穩(wěn)定理論。

3 數(shù)值算例

3.1 計(jì)算臨界溫度

計(jì)算僅考慮在熱載荷作用下四邊簡(jiǎn)支方板鋪設(shè)角為[90，0，90]和[0，90，0]時(shí)的臨界溫度隨材料尺度參數(shù)(10-6)的變化，計(jì)算結(jié)果如表1、表2所示。其中板厚h=2×10-5m，L=10h，材料常數(shù)[18]：E2=6.98×109Pa，E1=25E2，G12=0.5E2，G22=0.2E2，ν12=ν22=0.25。當(dāng)鋪設(shè)角為[90,0,90,0]時(shí)，材料常數(shù)相同與熱膨脹系數(shù)與文獻(xiàn)[18]相同，為α1=10×10(-6)/℃，α2=25×10(-6)/℃。將應(yīng)用本模型求出的臨界溫度轉(zhuǎn)換成熱載荷，視其為作用在層合板的雙向等壓載荷，其大小與文獻(xiàn)[16]計(jì)算得到的層合板受雙向等壓時(shí)的屈曲載荷吻合良好，驗(yàn)證了本模型的正確性。從表1表2可以看出：a=1,b=1(a、b為位移模數(shù)[19]，a=1、2、3、4，b=1、2)時(shí)臨界溫度最?。恍滦拚紤?yīng)力理論下的臨界溫度均大于經(jīng)典理論下的臨界溫度，驗(yàn)證了尺度效應(yīng)的存在。a、b相同時(shí)不同鋪設(shè)角下臨界溫度不同，說明鋪設(shè)角對(duì)尺度效應(yīng)有一定影響。隨著材料尺度參數(shù)的增加，臨界溫度增加，尺度效應(yīng)增強(qiáng)；隨著a，b的增加，臨界溫度也在增加。

表1 鋪設(shè)角為[90，0，90]四邊簡(jiǎn)支方板在熱載荷作用下臨界溫度隨材料尺度參數(shù)的變化

3.2 板的跨厚比對(duì)臨界溫度以及尺度效應(yīng)的影響

取h=2×10-5m，材料常數(shù)與算例1相同，分別計(jì)算鋪設(shè)角為[0，90，0]和鋪設(shè)角為[90，0，90]時(shí)不同材料尺度參數(shù)下臨界溫度隨跨厚比與材料尺度參數(shù)(10-6)的變化。圖2表明，隨著跨厚比的增加臨界溫度的值在減小，尺度效應(yīng)也在減弱，材料尺度參數(shù)越大，臨界溫度下幅度降越劇烈，尺度效應(yīng)越明顯。當(dāng)跨厚比相同時(shí)，臨界溫度隨著材料尺度參數(shù)的增加而增大且均大于經(jīng)典理論臨界溫度，驗(yàn)證了材料尺度效應(yīng)的存在。

表2 鋪設(shè)角為[0，90，0]四邊簡(jiǎn)支方板在熱載荷作用下臨界溫度隨材料尺度參數(shù)的變化

圖2 臨界溫度隨跨厚比L/h與材料尺度參數(shù)變化

圖3 單向軸壓四邊簡(jiǎn)支方板臨界載荷隨溫度與h/的變化

3.3 ΔT對(duì)尺度效應(yīng)以及屈曲載荷的影響

取L=10h，材料的長(zhǎng)度尺度參數(shù)取為：=6×10-6m，材料常數(shù)與算例1相同。對(duì)鋪設(shè)角為[90，0，90]計(jì)算溫度變化為ΔT時(shí)外載荷為單向軸壓和鋪設(shè)角為[0，90，0]溫度變化為ΔT時(shí)外載荷為雙向等壓時(shí)基于新修正偶應(yīng)力理論的臨界載荷和經(jīng)典理論下的臨界載荷。

圖4 雙向等壓四邊簡(jiǎn)支方板臨界載荷隨溫度與h/的變化

圖3和圖4中實(shí)線代表的是新修正偶應(yīng)力理論失穩(wěn)臨界載荷，虛線代表的是經(jīng)典理論下失穩(wěn)臨界載荷。計(jì)算結(jié)果表明：新修正偶應(yīng)力理論下的失穩(wěn)臨界載荷總是大于經(jīng)典理論下的失穩(wěn)臨界載荷。隨著溫度ΔT的升高，兩者差距加大，h/越小，兩者差距越明顯，尺度效應(yīng)越明顯；尺度參數(shù)越大，尺寸效應(yīng)也越明顯，表明在有溫度變化時(shí)不能忽略溫度載荷對(duì)失穩(wěn)臨界載荷的影響。

4 結(jié)論

本文基于新修正偶應(yīng)力理論推導(dǎo)出了考慮熱載荷作用下Reddy層合板的控制方程以及邊界條件。當(dāng)材料尺度參數(shù)為零時(shí)，該模型自動(dòng)退化為經(jīng)典理論模型，尺度效應(yīng)會(huì)隨著板幾何參數(shù)的加大而逐漸消失退化為宏觀理論。當(dāng)a,b增加時(shí)臨界溫度也在增加，利用該模型求出了臨界溫度、不同跨厚比下的臨界溫度以及考慮熱載荷作用下的屈曲載荷。主要結(jié)果如下：

(1)當(dāng)a=1,b=1時(shí)基于本模型算出的臨界溫度總是大于經(jīng)典理論下的臨界溫度，捕捉到了尺度效應(yīng)；不同鋪設(shè)角對(duì)尺度效應(yīng)有影響；材料尺度參數(shù)越大，臨界溫度越高，尺度效應(yīng)越明顯。

(2)隨著板的跨厚比的增加臨界溫度在減小，跨厚比越小，尺度效應(yīng)越明顯。

(3)隨著ΔT的增加，考慮熱載荷作用下的屈曲載荷與經(jīng)典理論下的屈曲載荷差距加大，尺寸效應(yīng)也隨之加大且當(dāng)h/越小，尺度效應(yīng)越明。