牛頓力學(xué)的先驅(qū)惠更斯
——機械論的數(shù)學(xué)化

付麗萍 陳玠同 姚珩

(1. 閩南師范大學(xué)物理與信息工程學(xué)院，福建 漳州 363000； 2. 臺灣師范大學(xué)物理系，臺灣 臺北 11677)

毋容置疑,力學(xué)的核心是牛頓三大運動定律與萬有引力定律．然而,它們是如何建立的?牛頓又是受到什么樣的影響而提出來?現(xiàn)行的教科書中都未給予說明．經(jīng)典物理學(xué)或牛頓力學(xué)是結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)、論證完整的科學(xué)思想體系,它不可能靠一個人在有限的時間內(nèi)完成．牛頓的確是經(jīng)典力學(xué)的集大成者,但是他如何逐步奠定起當(dāng)代有效的力學(xué)思維與內(nèi)容,則需要我們認(rèn)真的研究與慎思．牛頓本人也明言他是站在巨人的肩膀上,才能看得更高更遠,那么這些巨人是誰?他們的主張是什么?為什么可以深深地激勵牛頓,促使他能夠建立起穩(wěn)定有效的力學(xué)架構(gòu)．本文追尋牛頓力學(xué)的脈絡(luò),旨在教學(xué)中使教師們的思路更加明晰,提升學(xué)史素養(yǎng)．

1 伽利略的數(shù)學(xué)觀

愛因斯坦認(rèn)為伽利略(G.Galilei, 1564—1642)是近代物理學(xué)之父,而我們對其印象是比薩斜塔落體實驗,因此認(rèn)為伽利略是物理實驗的開創(chuàng)者,但至今并沒有任何史實資料可證明他做了比薩斜塔落體實驗．然而,在其生前1634年最后一本著作《兩門新科學(xué)的對話》的確有著詳細(xì)記載的則是斜面實驗,該實驗指出物體下滑的距離(s)是與時間(t)平方成比例[1]

s∝t2.

(1)

圖1 物體做勻加速度運動的距離與平均速度的關(guān)系

但該書是以定義、定理、命題與證明等幾何學(xué)形式所寫成,逐步說明如何有上式的結(jié)果,而非從斜面實驗的數(shù)據(jù)分析得知．在全書51個命題中的第一個定理,開宗明義寫道(如圖1)：“從靜止開始做勻加速度運動的一個物體,通過任意空間所需時間,等于此物體以最大和最小速率平均值的勻速度運動,通過該空間所需的時間．”[1]

若用現(xiàn)在的公式表示,即代表勻加速度運動物體的位移

(2)

其中v0與vt分別代表物體的初速與末速．利用此關(guān)系,可建立(如表1)得到在第1s,2s,3s……,每秒內(nèi)的行進距離比為1∶3∶5∶7……,然后得知隨時間增加,累積的距離比為1∶4∶9∶16……,即為上式(1)s∝t2．接著他用斜面實驗來加以驗證(如圖2所示)．[2]

表1 勻加速度運動v ∝t,會有s ∝t2關(guān)系

圖2 斜面上滾動的球每秒之間距比為1∶3∶5∶7∶……

伽利略深信地球上落體的運動必定遵循著最簡單和諧的數(shù)學(xué)關(guān)系,而落體速度變化的最簡式就是與時間成正比的關(guān)系,即

v∝t.

(3)

伽利略以復(fù)雜世界背后這種簡潔的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),可反應(yīng)出真實的落體運動現(xiàn)象的信念,作為他全部物理學(xué)的思考基礎(chǔ)．他曾不斷多次強調(diào):“(實驗)完全是不必要的．對于我自己縱使沒有做實驗,我也確信就像我告訴您的一樣,因為它必定得如此”．“借著發(fā)現(xiàn)某一事實的原因,來獲得其知識,它可提供理解和確定其他現(xiàn)象的思維,并不需訴諸于實驗”．“只有在數(shù)學(xué)中才能找到堅實的證明,這種力量讓人充滿驚奇與喜悅”．[1]此處所反映:大自然本身是按著最平常、最簡單和最容易的手段進行各種變化過程的觀點,被物理史學(xué)家視為是促成16世紀(jì)科學(xué)革命的重要因素,此思潮被稱為“物理學(xué)的數(shù)學(xué)觀”或“新柏拉圖主義”．[3]伽利略首先將數(shù)學(xué)的和諧性引入物理學(xué),使物理學(xué)脫離了自古希臘亞里士多德所主張應(yīng)以“性質(zhì)”(nature)來描述物理學(xué)的傳統(tǒng),[4]同時也改變了物理學(xué)的整體面貌．

2 笛卡爾的機械論

伽利略之后沒多久,出現(xiàn)了一位絕頂聰明的科學(xué)家,也被稱為近代哲學(xué)之父·笛卡爾(R. Descartes, 1596—1650)．由于老師們所教的他很快就懂;但他知道的,老師們卻不一定懂,于是他開始懷疑書上所寫以及前人所說的全部知識,而提出了“我疑故我思,我思故我在”的名言．因此他嘗試著去尋找最不可懷疑的事物,以便從那奠立起知識的基礎(chǔ)．后來他發(fā)現(xiàn)雖然每件事情皆令人質(zhì)疑,但有一件事卻永遠無法懷疑,那就是“三角形之內(nèi)角和為180°”,亦即只有幾何學(xué)為不可質(zhì)疑的真實之物,他于是從幾何學(xué)的點、線、面開始來建立起物理學(xué)的知識．由點、線、面可形成長、寬、高,也就是占有空間的延伸物,或稱作物體(body)．換言之,應(yīng)該從這種不可穿透、堅硬的物體做為科學(xué)知識論證的根基．若物體縮成很小之物,它便可稱為質(zhì)點(particle),他并堅定認(rèn)為“一切的感覺現(xiàn)象皆是來自物體或質(zhì)點的位置改變(即運動)所形成．”此種主張后來被稱為“機械論”(mechanism)．[3]笛卡爾用此觀點詮釋了光的反射、折射、氣壓與磁鐵的吸引排斥．他并描述了做圓周運動的物體的特征如圖3,繩上的球或木桿上的螞蟻都具有離開原本的B、F點朝向C、G點運動的特性,且稱圓周運動上的物體皆具有此種逃離圓心之性質(zhì)為離心趨勢(endeavor),或離心傾向(tendency)．[5]

圖3 笛卡爾離心趨勢圖

圖4 笛卡爾渦漩理論之模型

他更以此性質(zhì)來解釋行星的特殊軌道(圖4)．笛卡爾認(rèn)為宇宙間布滿了流體般的以太(ether)物質(zhì),在快速移動下形成了許多渦漩環(huán)流,在渦旋邊上的行星都傾向逃離中心,而此行星也會受其他不同渦漩的作用,最終有些地方所受各種渦漩的離心傾向可互相抵消,達到平衡,而確定出行星的軌道．[5]以現(xiàn)在的觀點來看,此渦漩模型相當(dāng)粗糙,然而在笛卡爾之前宇宙是分成月亮之下的變化世界,與月亮之上的完美天體,結(jié)構(gòu)迥異．他的渦漩理論在歷史上則是首次以日常所見現(xiàn)象來詮釋天體運動,它打破了古希臘與中世紀(jì)時期所主張?zhí)祀H與地表明顯區(qū)分的傳統(tǒng)宇宙觀．[6]

3 數(shù)學(xué)觀與機械論的沖突

新柏拉圖主義的數(shù)學(xué)觀主張以秩序處理現(xiàn)象,滿足于發(fā)現(xiàn)某種精確的數(shù)學(xué)描述,并將這種描述理解為對宇宙終極結(jié)構(gòu)的一種表達．機械論關(guān)心的則是許多個別現(xiàn)象的因果關(guān)系;自然界對人的理智是透明的;試著消除生機(vitalism)哲學(xué)中的各種蒙眬,并證實自然現(xiàn)象是由不可見的、類似于日常生活中人們所熟知的機制所引起的．此二思潮由于追求不同的目的,常導(dǎo)致彼此相互沖突．對機械因果關(guān)系的闡述常常站在與通向精確描述之路相反的方向上;同樣,精確的數(shù)學(xué)描述卻無法提供現(xiàn)象背后的成因．[3]

例如，伽利略發(fā)現(xiàn)重物輕物皆會以相同加速度落下,并可精確描述其速度、位移與時間之關(guān)系,卻無法說明是什么原因造成?行星運動準(zhǔn)確地遵循面積律與橢圓軌道,但無法通過機械論解釋為何會有此性質(zhì)?同樣的,笛卡爾可以說明行星會有特殊的運動軌跡,卻無法精確地指出為何是橢圓?只有盡力或完全消除兩種觀點間的不一致,物理學(xué)才算充分完成．

4 惠更斯的創(chuàng)見：機械論的數(shù)學(xué)化

4.1 重性的機械論解釋：重性是離心力的結(jié)果

面對這些重大的困難,荷蘭物理學(xué)家惠更斯(C. Huygens, 1629—1695)是第一位將機械論與數(shù)學(xué)方法結(jié)合在一起的智者．他首先以機械論觀點說明重性—為何重物會下落的原因(重性gravity并非重力,因當(dāng)時尚無引力觀點)．惠更斯依循著笛卡爾,認(rèn)為地球附近所充斥著隱含的以太,就好似圖5中管內(nèi)充滿的水．當(dāng)管子沿中心軸A旋轉(zhuǎn)時,由于管內(nèi)水的離心趨勢作用較大,會朝管端P移動,而將木栓B壓向管底．重性便是在一個充滿以太物質(zhì)的渦旋世界中,一些離心趨勢較弱較缺乏的物體,由于受到離心趨勢較強的以太物質(zhì)作用,導(dǎo)致重組與碰撞,而被迫落向中心或拉向地心,遂形成物體墜落現(xiàn)象,因此重性是離心力所造成的結(jié)果．[7]

圖5 木栓B放在充滿水的管內(nèi),當(dāng)管旋轉(zhuǎn)時水會往外推至P點,而木栓將朝管底運動

4.2 離心力的量化

為了要說明重物下落距離皆會與時間的平方成正比,以及此結(jié)果是由地球旋轉(zhuǎn)帶動以太物質(zhì)的離心力所造成．惠更斯聰穎過人,以獨到的見解與特殊的直覺,開創(chuàng)出了將機械論所主張的離心力加以數(shù)學(xué)化的處理方法,影響深遠．惠更斯的想法最先出現(xiàn)在1659年的手稿,正式發(fā)表于1673年《擺鐘振蕩》(The Pendulum Clock) 論文的附錄中,但里面只有結(jié)論無任何證明,在逝世后的1703年,后人代為整理出《論離心力》(On Centrifugal force) 的論文中,則有詳細(xì)的論述．[8]他的論文有17個假設(shè),其中最重要常見的為下面的3個假設(shè)．首先,他定出離心力的大小,認(rèn)為物體若不受任何干擾時,如笛卡爾所言,它將維持直線前進．但在圓周上,做圓周運動的物體總有一股傾向,欲脫離圓弧,回到開始時直線的趨勢,此趨勢稱為“離心力”,其大小為EG長度(圖6)．他接著宣稱以下假設(shè).

假設(shè)1:假如兩個一樣的物體在相同時間內(nèi)完成不同的圓運動,則大圓的離心力會大于小圓的離心力．[8]

圖6 惠更斯假設(shè)1示意圖:在相同周期下,

不同圓周上物體的離心力與半徑成正比

假設(shè)2:假如相同的物體在同樣的軌道以不同的速率做旋轉(zhuǎn),但兩者都是做等速率運動．其遠離中心的力,速率快的物體會比速率慢的物體還要大．也就是說,假如以繩線系住物體并從桌面穿過圓心,另外一頭懸掛重物,而此物體的重量會等于所抵抗的離心力,且重量大小與速率的平方成正比(如圖7)．[8]

圖7 在同一圓上,離心力與速率平方成正比

假設(shè)3:假如兩個相等物體以同樣的速率分別做不同大小的圓周運動,它們的離心力會與直徑成反比,所以小圓的力會比較大(如圖8)．[8]

圖8 速率固定時,離心力與半徑成反比

若以F表示離心力,r表示圓周運動半徑,ω為角速率,v為線速率,則假設(shè)1表示ω固定時,離心力與半徑成正比

F∝r.

(4)

假設(shè)3表示v固定時,離心力與半徑成反比

(5)

假設(shè)2表示r固定時,離心力與速率平方成正比

F∝v2.

(6)

此3個假設(shè)若結(jié)合在一起,就形成后來所言離心力F與r、ω、v之關(guān)系為

(7)

雖然,圓周運動在早期托勒密(Ptolemy, 100—170)與后來哥白尼(N. Copernicus, 1473—1543)的天文學(xué)都曾充分探討過,但都是以行星為對象,且從未有作用力的觀念．惠更斯是第一位將圓周上運動物體與所受的作用力結(jié)合,并提出精致的力分析的物理學(xué)家．最初惠更斯并未寫下上述命題的證明,但他對離心力別出心裁的處理方式與數(shù)學(xué)運算,已大步邁出當(dāng)時機械論者的思想局限,也開拓了物理學(xué)家的視野,并深深啟發(fā)了牛頓．[9]今天的教師們在講授圓周運動物體與力關(guān)系時,其實就是在使用惠更斯的理念與做法．

4.3 落體下落距離與時間平方成比例

利用以上3個假設(shè),惠更斯接著描述到(如圖9):“當(dāng)一個物體在B點被釋放,做勻速率圓周運動到達E點時,有回到C點的趨勢,到達F點時,有回到D點的趨勢．這將會造成一個物體從原本位置沿著連心線離開中心的趨勢．以這種方式在第1段時間它將會以EC之距離遠離,在第2段時間會以FD之距離遠離．而這些EC、FD之距離,以及其他時間內(nèi)的距離會以時間平方的方式增加,即它們的比例將會是1、4、9、16…….物體的重性是同體積的以太物質(zhì)以非常快的速度離開圓心所產(chǎn)生的效果．以太物質(zhì)不斷地向后退去,并盡可能沿著半徑方向離開圓心,而使得物體掉落．”[8]

圖9 離心力所造成的位移量之比

惠更斯沒解釋此段論述的原因,在此稍加說明．[9]如圖10,做圓周運動的物體,自B點移動至E點,EC長代表所受離心力．利用弦切角∠CBE=圓周角∠CTB,加上公用角∠C,可得△CBE～△CTB,對應(yīng)邊成比例給出BC∶EC=CT∶BC或BC2=EC·CT,而在極短的時間間隔內(nèi)CT則近似于直徑．再參考圖9,物體自B點行經(jīng)至F與M點所需時間,分別為行經(jīng)至E點所需時間的2倍與3倍,即BC∶BD∶BS≈1∶2∶3,最后可得EC∶FD∶MS=BC2∶BD2∶BS2=1∶4∶9．

圖10 離心力EC與BC2成正比

因此,做勻速率圓周運動的地球會帶動其周圍的以太脫離其原來位置,且以太沿著連心軸隨著時間向外離開其原來位置的距離,會與時間平方成比例．其騰出的空缺,將導(dǎo)致物體持續(xù)予以填補,此種效應(yīng)不但會造成物體下落,且其下落距離也會與時間平方成比例．

惠更斯便是如此,從機械論中以太的離心趨勢或離心力出發(fā),引入細(xì)膩的數(shù)學(xué)規(guī)劃程序,先將離心力的概念量化,再透過有效的運算分析,合理推導(dǎo)并詮釋出伽利略落體運動的和諧關(guān)系．這種創(chuàng)新與徹底的數(shù)學(xué)方法,不僅解除了數(shù)學(xué)觀和機械論沖突的鴻溝,并在論證過程中將此兩種不同的思考模式交互使用,獲得許多有意義的成果．這種將原本差異甚大的兩種思潮圓滿結(jié)合——先分析力作用情形,然后使用數(shù)學(xué)運算,最后尋找出和諧的形式結(jié)果的方法,從此一直沿用至今．[3]

5 對牛頓的影響

惠更斯將機械論數(shù)學(xué)化的劃時代創(chuàng)舉,獲得年輕牛頓的高度贊許,1669年牛頓在《論圓周運動》一書中,[9]寫下非常重要的規(guī)律 (參考圖10,事實上它正是牛頓所繪所用之圖):在時間BE中,物體B離開圓心A的離心趨勢與離開圓周的距離EC成比例,……有如在無阻力作用時,相對物體在此段時間可自由沿著切線移動,兩者所造成的變化距離,且

EC=BC2/CT.

(8)

此處BC表固定時間之位移,即速率,若在很短的時間下CT即為直徑或2倍之半徑,也就代表著離心力EC或F∝v2/r,這關(guān)系就是前面惠更斯所述3個假設(shè)的意義．而此規(guī)律是促成牛頓日后發(fā)現(xiàn)萬有引力的核心關(guān)鍵,但它卻完全是惠更斯的主張與方法．

牛頓當(dāng)時也應(yīng)用了上述規(guī)則,開始探討落體的重性,與做圓周運動月球之離心力兩者之間的關(guān)系,并在1669年如此陳述:“我以月亮至地球距離為地球半徑之60倍……則地表的重性為月亮被拖離地球之離心力的4000倍.”[9]

此段話也呼應(yīng)了他自己所說，距離平方反比律在他20多歲時便有了正確想法,所指的即是式(8)與式(7)離心力結(jié)果的延伸,而此論述基本上正是遵循著惠更斯的思考方式．代表牛頓不僅接受離心力的概念,更重要的是在思維上發(fā)揮了惠更斯所開啟的機械論的數(shù)學(xué)化方法．由此可知,在牛頓提出3大運動定律與發(fā)現(xiàn)萬有引力之前,即在40歲左右發(fā)表《自然哲學(xué)與數(shù)學(xué)原理》之前,[10]惠更斯的思想一直深刻地影響著牛頓,并處處反應(yīng)在其著作里．直至牛頓受到胡克(R. Hooke, 1635—1703)向心強度(central attraction power)的啟示,終于在1684年提出了向心力(centripetal force)的概念,再配合開普勒(Kepler, 1571—1630)的行星周期律,才獲得正確的引力定律及豐富的研究成果,此時他在力學(xué)上的貢獻才真正超越了其先驅(qū)—惠更斯．[11]

6 教學(xué)啟示

牛頓力學(xué)的建立不是為了解決工程問題,它是一種思想創(chuàng)見,[10,12]是要挖掘自然現(xiàn)象背后所蘊含的原理,正確詮釋運動與變化的成因,進而預(yù)測與發(fā)現(xiàn)可能的新現(xiàn)象．牛頓的運動定律與萬有引力定律是奠立在伽利略的數(shù)學(xué)觀、笛卡爾的機械論與惠更斯的離心力的數(shù)學(xué)化,是經(jīng)過長時間的歷史傳承與自我創(chuàng)新,所獲得的知識體系．既是淵源流長,也是無可取代,才成就了今日經(jīng)典力學(xué)完美的形式與內(nèi)容．

然而,在有限的教學(xué)時間里,教師們往往傳授的是已完成的結(jié)論,教學(xué)重點放在了如何正確運用物理知識,去應(yīng)用與解決相關(guān)的科學(xué)問題．教學(xué)的關(guān)注點也放到了中考、高考的考點上而很少去“追根溯源”．物理學(xué)為何以這樣的風(fēng)貌展現(xiàn)?它是如何建立起來的?又為何必須是如此?教師們?nèi)绻宄怂脑搭^與成因,將會更有信心帶領(lǐng)學(xué)生如何去思考,且高瞻遠矚,有所堅持便會“言之有物”．學(xué)生們在這種潛移默化的熏陶下,也會追根究底,習(xí)得有效深刻的思維方法．