一種改進(jìn)的有限頻域狀態(tài)反饋H∞控制方法研究

王興野， 張進(jìn)秋， 劉義樂， 畢占東， 李國強

(陸軍裝甲兵學(xué)院 車輛工程系, 北京 100072)

以外界擾動對輸出的影響最小為基本控制思想的魯棒H∞控制是近年來發(fā)展起來的一種控制性能十分優(yōu)異的控制算法，特別是1994年S.P.Boyd等有關(guān)線性矩陣不等式(LMI)的專著問世以及美國The MathWorks公司推出MATLAB LMI Toolbox后，H∞控制器的設(shè)計可以轉(zhuǎn)化為一組LMI，并利用MATLAB進(jìn)行求解，使H∞控制成為了一種方便實用的控制器設(shè)計方法，并在近年來在車輛懸架的振動控制上也有了較為深入的研究，對于處理控制中的時滯問題[1-3]、模型不確定[4-6]和非線性問題表現(xiàn)出了較好的控制性能。由ISO2631國際標(biāo)準(zhǔn)可知，對于垂直方向上振動而言，人體對4～8 Hz頻域內(nèi)的振動最為敏感。因此，在控制器設(shè)計的過程中，有限頻域振動控制成為了近年來的國內(nèi)外研究的熱點之一[7-10]。

Sun等[11-12]基于廣義KYP引理[13]理論推導(dǎo)了主動懸架有限頻域H∞控制定理，認(rèn)為比全頻域H∞控制能更好的提高車輛的乘坐舒適性。在有限頻域狀態(tài)反饋H∞控制器設(shè)計時，文獻(xiàn)中所采用的設(shè)計方法外界擾動輸入能量的最大值相當(dāng)于wmax=ρ/ε，而全頻域的H∞控制器外界擾動輸入能量的最大值相當(dāng)于wmax=ρ/γ2。仿真驗證中，參數(shù)取值ε=10 000，然而求解全頻域狀態(tài)反饋H∞控制器時發(fā)現(xiàn)，γ2始終接近于81，可見εγ2，當(dāng)ρ取相同值時，兩種控制器所對應(yīng)的擾動輸入能量的最大值并不相同，且差距很大，沒有排除控制頻域范圍外其他因素的干擾，因此控制效果的對比不夠科學(xué)。若設(shè)置ε=γ2，應(yīng)用文中方法求解時又會出現(xiàn)沒有可行解的問題。王剛等[14]針對該問題提出了引入松弛變量的方法，可通過引入5個松弛變量來減小設(shè)計的保守性。這種方法的不足之處在于引入的參數(shù)變量較多，且變量的取值更多的需要依賴個人的經(jīng)驗。針對以上問題，本文提出了一種改進(jìn)的有限頻域H∞控制方法，所需的參數(shù)更少，并根據(jù)懸架可控制的實際頻域范圍，將全頻域控制定義為一種可控頻域范圍內(nèi)的有限頻域控制，排除了其他因素的干擾，使兩種控制效果的對比更加科學(xué)。

1 問題描述

考慮如下的線性時間連續(xù)系統(tǒng)

(1)

式中：x(t)為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，u(t)為系統(tǒng)的控制輸入，w(t)為外界的擾動輸入，z1(t)為系統(tǒng)的目標(biāo)輸出，z2(t)為系統(tǒng)的約束輸出，A為系統(tǒng)矩陣，B為控制力位置矩陣，D為干擾矩陣，C1、C2為輸出矩陣，D1、D2為傳遞矩陣。

控制器設(shè)計的目標(biāo)就是要設(shè)計一個狀態(tài)反饋控制器u(t)=Kx(t)，K為待求的狀態(tài)反饋增益矩陣。使得系統(tǒng)滿足

① 無外界擾動時漸進(jìn)穩(wěn)定；

② 在零初始條件下，外界擾動到系統(tǒng)目標(biāo)輸出的傳遞函數(shù)Gwz1(jω)在頻域[ω1,ω2]內(nèi)最小；

③ 外界擾動能量小于wmax∈L2[0,∞)時，控制約束條件始終能夠得到保證。

即求解minγ, s.t.

(2)

{z2}i<1,i=1,2,…

(3)

將u(t)=Kx(t)代入式(1)可得

(4)

令A(yù)1=A+BK，C11=C1+D1K，C21=C2+D2K，則上式可化為

(5)

2 有限頻域狀態(tài)反饋H∞控制器設(shè)計

定理1對于給定的正常數(shù)γ、ε和ρ，如果存在對稱矩陣P，P1>0，Q>0滿足

(6)

<0

(7)

(8)

其中ωc=(ω1+ω2)/2，{·}i表示矩陣{·}的第i行，j代表虛數(shù)因子，*表示矩陣對應(yīng)位置矩陣塊的共軛轉(zhuǎn)置。則存在一個狀態(tài)反饋控制器u(t)=Kx(t)使得系統(tǒng)(5)：

① 無外界擾動時漸進(jìn)穩(wěn)定；

③ 外界擾動能量小于wmax=ρ/ε時，控制約束條件始終能夠得到保證。

證明：首先證明系統(tǒng)(5)在沒有外界擾動的情況下是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

根據(jù)Schur補引理[15]，式(6)可以等價的寫為

(9)

進(jìn)一步可以推出

(10)

由Lyapunov穩(wěn)定理論可證，系統(tǒng)(5)無外界擾動時漸進(jìn)穩(wěn)定。

根據(jù)Schur補引理，式(7)可以等價的寫為

則不等式可等價寫為

JΦJT+HΠHT+ΓP1Λ+ΛTP1ΓT<0

根據(jù)投影定理[16]，上式等價于

(11)

(12)

式中，NΓ和NΛ分別是由核空間Ker(Γ)和Ker(Λ)的任一組基向量作為列向量構(gòu)成的矩陣。選取

由式(12)又可以進(jìn)一步可以得到

由Schur補引理可得

進(jìn)一步由GKYP引理推論可以得到

下面對式(8)能夠滿足控制約束條件進(jìn)行證明。

由式(10)可知，V(t)=xT(t)P1x(t)是系統(tǒng)的一個Lyapunov函數(shù)，對V(t)求導(dǎo)得

根據(jù)基本不等式有

εwT(t)w(t)，?ε>0

進(jìn)而可得

εwT(t)w(t)

不等式兩端同時進(jìn)行0到t的積分可得

V(t)-V(0)≤

式中，系統(tǒng)初始狀態(tài)為零V(0)=0，wmax為最大的擾動能量。令ρ=εwmax，則進(jìn)一步可以推出

V(t)=xT(t)P1x(t)≤ρ

因此

式中，λmax{·}代表矩陣{·}的最大特征值。從而可以看出，如果

成立，則由Schur補引理可知約束條件(8)一定成立，定理1證畢。

考慮到不等式(6)、(7)中含有非線性項，無法利用MATLAB中的LMI工具箱進(jìn)行計算，此處還需要通過變量代換的方法將其轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式。定義以下對角矩陣

代入A1=A+BK，C11=C1+D1K，C21=C2+D2K，用J1、J2、J3分別左乘和右乘不等式(6)～(8)進(jìn)行全等變換，并重新定義矩陣變量如下

則矩陣不等式(6)～(8)可化為

(13)

(14)

(15)

注意到矩陣不等式(14)中的矩陣是復(fù)矩陣，無法使用MATLAB中的LMI工具箱進(jìn)行求解，還需要將其轉(zhuǎn)化為實線性矩陣不等式的形式。根據(jù)復(fù)線性矩陣不等式的處理方法，埃爾米特矩陣M=X+jY<0，當(dāng)且僅當(dāng)

(16)

則可令

綜上，可得到能夠直接用于求解有限頻域狀態(tài)反饋H∞控制器的定理如下。

定理2對于給定的常數(shù)γ、ε和ρ，如果存在對稱矩陣滿足線性矩陣不等式(13)、(15)、(16)，則可以設(shè)計一個狀態(tài)反饋H∞控制器，控制器狀態(tài)增益矩陣使得系統(tǒng)(5)滿足：

① 無外界擾動時漸進(jìn)穩(wěn)定；

③ 外界擾動能量小于wmax=ρ/ε時，控制約束條件始終能夠得到保證。

應(yīng)用定理2可將系統(tǒng)有限頻域狀態(tài)反饋H∞控制器的設(shè)計，轉(zhuǎn)化為可用MATLAB直接進(jìn)行求解的如下凸優(yōu)化問題

minγ, s.t. LMIs(13)、(15)、(16)

此時可計算狀態(tài)反饋增益

3 車輛主動懸架建模及其控制器設(shè)計

以如圖1所示的二自由度四分之一車輛主動懸架系統(tǒng)為研究對象，應(yīng)用定理2提出方法對該系統(tǒng)的有限頻域狀態(tài)反饋H∞控制器進(jìn)行設(shè)計和計算。

首先建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，系統(tǒng)在振動過程中的動力學(xué)方程為

式中，ms為懸置質(zhì)量；mt為非懸置質(zhì)量；ks和kt分別為懸架和車輪剛度；cs為作動器等效阻尼系數(shù)；u為主動控制力，對被動懸架而言，u=0；xr為路面不平度位移激勵；xs和xt分別為車體和車輪的垂直位移。

對懸架振動的控制目標(biāo)和約束作如下數(shù)學(xué)描述：

(1) 控制目標(biāo)

路面擾動輸入為能量有界信號系統(tǒng)控制的目標(biāo)就是實現(xiàn)有限頻域車體加速度對外界擾動的最優(yōu)抑制，可通過降低路面擾動到車體加速度的傳遞函數(shù)的最大奇異值來實現(xiàn)，這與函數(shù)的H∞范數(shù)定義相一致，因此控制目標(biāo)的數(shù)學(xué)描述就是

(2) 約束條件

控制的約束條件主要包括以下3個方面。

約束條件一：懸架動行程小于其行程最大值；

xs(t)-xt(t)

約束條件二：相對動載荷小于1；

約束條件三：控制力小于其最大值。

u(t)

根據(jù)以上控制目標(biāo)和約束條件的描述，可選取系統(tǒng)的狀態(tài)變量x(t)，系統(tǒng)的目標(biāo)輸出z1(t)和約束輸出z2(t)分別如下

將懸架系統(tǒng)的運動學(xué)方程轉(zhuǎn)化為式(1)所示的狀態(tài)空間形式，則可得到式中輸入、輸出變量的系數(shù)矩陣

4 仿真分析

主動懸架參數(shù)取值如表1所示，有限頻域控制器設(shè)計參數(shù)取值如表2所示。考慮到車輛懸架的有效控制頻域為0.1～30 Hz，為了對比的科學(xué)和公平，全頻域控制器的設(shè)計仍采用定理2的求解方法，但是頻域的上下限分別取則可分別求得有限頻域狀態(tài)反饋H∞控制器增益Kf和全頻域狀態(tài)反饋H∞控制器增益Ke如下：

Kf=[14 352.14,-1 591.76,-2 091.80,-915.95]

Ke=[15 232.85,-1 580.75,26 099.94, 140.97]

利用計算得到的兩種控制器增益可分別得到相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)最大奇異值曲線，并可與被動無控制條件下的閉環(huán)系統(tǒng)進(jìn)行對比，如圖2所示。從圖中可以明顯的看出，與被動無控制狀態(tài)相比，兩種控制器基本在全頻域上都有較好的振動抑制效果；與全頻域狀態(tài)反饋H∞控制相比，改進(jìn)的有限頻域狀態(tài)反饋H∞控制在人體敏感的4～8 Hz頻域范圍內(nèi)有更為優(yōu)異的振動抑制效果。

為了驗證以上理論計算得到的結(jié)論，下面采用隨機激勵作為激勵信號源，對控制器的控制性能進(jìn)行仿真分析。對于隨機激勵，通常采用位移功率譜密度Gxr(n)來描述路面不平度的統(tǒng)計特性，并把路面劃分為A～H的8個等級[17]，其擬合表達(dá)式為

式中：n表示空間頻率，m-1；n0為參考空間頻率，取值為0.1 m-1；Gxr(n0)為路面不平度系數(shù)，m2/(m-1)；w為頻率指數(shù)，通常取2；nu，nl分別代表上、下限空間頻率，通常取值為2.83 m-1、0.011 m-1。

本文中的隨機激勵采用的是速度輸入，當(dāng)頻率指數(shù)w=2時，速度功率譜密度與位移功率譜密度之間的關(guān)系為

(18)

為了實際仿真的使用，還需要引入車速v，將路面不平的空間功率譜密度轉(zhuǎn)化為時間功率譜密度。設(shè)時間頻率為f，則

f=nv

(19)

根據(jù)式(17)～(19)采用諧波疊加法生成一段C級路面10 m/s條件下的一段路面，其時域曲線及功率譜密度曲線分別如圖3(a)、(b)所示，從圖3(b)中可以看出構(gòu)造的路面激勵速度功率譜密度與理論譜密度能夠較好的吻合。

如圖4所示為系統(tǒng)在C級路面10 m/s的隨機激勵條件下輸出變量的時域變化曲線。其中圖4(a)為車體加速度的時域變化曲線，從圖中可以看出，兩種控制器的振動抑制能力都要明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的被動懸架，而有限頻域狀態(tài)反饋H∞控制器比全頻域狀態(tài)反饋H∞控制器的振動抑制能力更強，達(dá)到了最優(yōu)化有限頻域控制的目標(biāo)；圖4(b)所示為懸架動行程的時域變化曲線，從圖中可以看出，兩種控制器的懸架動行程均小于懸架允許的最大行程，滿足控制約束條件一的要求；圖4(c)所示為車輪相對動載荷的時域變化曲線，從圖中可以看出，兩種控制器的相對動載荷均小于1，滿足控制約束條件二的要求；圖4(d)所示為作動器主動出力的時域變化曲線，從圖中可以看出，兩種控制器的主動出力均小于2 000 N，滿足控制約束條件三的要求。

分別對車體加速度均方根值(RMS_ACC)、懸架動行程均方根值(RMS_SD)和車輪相對動載荷均方根值(RMS_RDWL)等懸架系統(tǒng)的輸出性能指標(biāo)進(jìn)行量化的統(tǒng)計計算，結(jié)果如表3所示。從表中數(shù)據(jù)可以看出，同被動無控制狀態(tài)相比，全頻域和有限頻域狀態(tài)反饋H∞控制下車體加速度均方根值分別降低了28.16%和65.23%，而懸架動行程和車輪相對動載荷雖然都有不同程度的惡化，但是均在許用范圍之內(nèi)。

下面再從頻域角度對控制器的控制性能進(jìn)行分析。如圖5所示為車體加速度功率譜密度頻域上的變化曲線，從圖中可以看出兩種控制器在整個頻域范圍內(nèi)均有優(yōu)于傳統(tǒng)被動懸架的振動抑制能力，且同全頻域狀態(tài)反饋H∞控制相比，有限頻域狀態(tài)反饋H∞控制在4～8 Hz頻域范圍內(nèi)的振動抑制效果要明顯優(yōu)于全頻域狀態(tài)反饋H∞控制的振動抑制效果。對比圖2可以發(fā)現(xiàn)，這與理論上的分析是一致的。綜合以上的時域和頻域上的分析我們可以得出結(jié)論：新設(shè)計的有限頻域狀態(tài)反饋H∞控制器能夠?qū)崿F(xiàn)控制約束條件的情況下，對關(guān)注的有限頻域范圍進(jìn)行更為有效的振動控制。

5 結(jié) 論

以GKYP引理為依據(jù)，設(shè)計并理論推導(dǎo)了一種改進(jìn)的有限頻域狀態(tài)反饋H∞控制方法，與其他有限頻域控制方法相比，該方法具有所需參數(shù)少，基于線性矩陣不等式，便于使用MATLAB的LMI工具箱進(jìn)行求解的特點。同時，根據(jù)懸架可控制的實際頻域范圍，將全頻域控制定義為一種可控頻域范圍內(nèi)的有限頻域控制，排除了其他因素的干擾，使兩種控制效果的對比更加科學(xué)。最后利用隨機路面激勵對設(shè)計的控制方法進(jìn)行了仿真驗證，仿真結(jié)果表明，相對于傳統(tǒng)的被動懸架和全頻域狀態(tài)反饋H∞控制方法，改進(jìn)的有限頻域狀態(tài)反饋H∞控制能夠在保證控制約束條件的情況下更加有效的抑制4～8 Hz頻域范圍內(nèi)的振動，改善車輛的乘坐舒適性。