R軟件在工科概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)中的應(yīng)用

吳劍 錢進(jìn)

摘 要：智能制造是工業(yè)發(fā)展方向，為了適應(yīng)“大數(shù)據(jù)”時(shí)代人才培養(yǎng)的需求，在學(xué)習(xí)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》的理論知識(shí)之外，讓工科本科生具有基本數(shù)據(jù)分析的能力，使用R軟件對(duì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分的理論進(jìn)行模擬，對(duì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)進(jìn)行可視化，對(duì)學(xué)生理解理論、培養(yǎng)學(xué)生讀懂?dāng)?shù)據(jù)有重要的意義。因此本文初步探討使用R軟件進(jìn)行概率論數(shù)理統(tǒng)計(jì)的輔助教學(xué)，為進(jìn)一步課程的深化改革提供參考，目的是把《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》打造成有難度的“金課”。

關(guān)鍵詞：R語(yǔ)言；回歸；數(shù)理統(tǒng)計(jì)

一、 引言

概率論的理論基礎(chǔ)可以按照其他大學(xué)數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)方法進(jìn)行學(xué)習(xí)，而數(shù)理統(tǒng)計(jì)是應(yīng)用科學(xué)的基礎(chǔ)，當(dāng)數(shù)據(jù)較大時(shí)，需要借助統(tǒng)計(jì)軟件去模擬，及實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的可視化，因此使用統(tǒng)計(jì)軟件輔助概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)，讓工科的學(xué)生更好地掌握概率論的理論，懂得統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法及簡(jiǎn)單的應(yīng)用是重要的。

R語(yǔ)言是專業(yè)的統(tǒng)計(jì)軟件，是統(tǒng)計(jì)計(jì)算、數(shù)據(jù)可視化的優(yōu)秀工具，同時(shí)R也是免費(fèi)開(kāi)源的軟件，其官網(wǎng)和鏡像網(wǎng)站中可以下載安裝程序、源代碼和程序包等，它可以提供一些集成的統(tǒng)計(jì)工具，但更大量的是它提供各種數(shù)學(xué)計(jì)算、統(tǒng)計(jì)計(jì)算的函數(shù)，從而使使用者能靈活地利用這些函數(shù)進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，甚至可以通過(guò)不同方法的組合，創(chuàng)造出符合需要的新統(tǒng)計(jì)計(jì)算方法。

使用計(jì)算機(jī)語(yǔ)言輔助大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)相關(guān)研究較多，韓海燕介紹了使用Matlab軟件對(duì)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程進(jìn)行輔助教學(xué)，它主要利用進(jìn)行圖形可視化和數(shù)學(xué)運(yùn)算。江海峰研究了蒙特卡洛模擬在概率論與統(tǒng)計(jì)教學(xué)中的應(yīng)用，作者分析了該算法的應(yīng)用，并沒(méi)有介紹如何實(shí)現(xiàn)，也沒(méi)有介紹使用的軟件。劉宣研究了R語(yǔ)言在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。因此對(duì)于工科概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的教學(xué)者，亟須把統(tǒng)計(jì)軟件應(yīng)用到教學(xué)中，并發(fā)展案例教學(xué)的方法，讓學(xué)習(xí)者更好的理解統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本概念，懂得如何進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。

二、 R軟件的模擬應(yīng)用

工科的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程中，中心極限定理是概率論中重要的定理之一，其定理敘述如下：

x1，x2，…，xn是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，期望μ與方差σ2都存在，設(shè)部分和序列為

Sn=∑ni=1xi，ESn=nμ，DSn=nσ2，則對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，標(biāo)準(zhǔn)化部分和序列的分布函數(shù)

Fn（x）收斂到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)，

PSn-nμnσ≤x→φ（x）=∫x-∞12πe-t22dt

該定理文字解釋很直觀，即某個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象由大量隨機(jī)因素組成，各個(gè)因素起到的作用均勻且可忽略，則這個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象可以用正態(tài)分布去描述，但是學(xué)生很難理解為什么隨機(jī)變量序列只要求獨(dú)立同分布，而不要求服從具體的分布，即無(wú)論服從什么分布，標(biāo)準(zhǔn)化部分和序列都服從正態(tài)分布，因此我們使用蒙特卡洛模擬，給學(xué)生直觀的認(rèn)識(shí)。

假設(shè)x1，x2，…，xn服從參數(shù)為2的泊松分布，n=10000，計(jì)算其前n項(xiàng)部分和，并中心標(biāo)準(zhǔn)化，計(jì)算

Sn-ESnDSn，并模擬100000次，利用這些數(shù)據(jù)生成概率密度函數(shù)的估計(jì)，模擬的結(jié)果可視化的形式呈現(xiàn)給學(xué)生。

使用核概率密度函數(shù)估計(jì)，可以看出雖然給定的變量是泊松分布，但是標(biāo)準(zhǔn)化部分和序列的概率密度與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)的密度的形狀相似。

三、 R軟件線性回歸的演示

在線性回歸中，最小二乘法及回歸的計(jì)算相對(duì)復(fù)雜，解釋困難，因此利用實(shí)際數(shù)據(jù)，配合圖形講解回歸的方法是讓學(xué)生快速掌握方法的較好途徑，采用如下的模擬方式，假設(shè)真實(shí)的模型為

Yi=a+bxi+εi，i=1，2，…，100，εi～N（0，σ2），取σ2=1，2，3三個(gè)不同噪聲等級(jí)下，

a=2，b=3觀察回歸的效果。再取誤差服從t（4），觀察在有異常數(shù)據(jù)點(diǎn)下最小二乘的效果，利用一條直線擬合這些數(shù)據(jù)，使得這些數(shù)據(jù)距離直線的平方和最小，即是最小二乘的思想，隨著信噪比不斷地增加，數(shù)據(jù)的離散程度越來(lái)越大，模擬中還引入了厚尾的t分布，探索最小二乘估計(jì)的穩(wěn)健性，從表1中可以看到，隨著數(shù)據(jù)的離散程度越來(lái)越大，估計(jì)10000次的中位數(shù)與真值的距離越來(lái)越大，同時(shí)也關(guān)注R2

的取值越來(lái)越小，意味著擬合效果越來(lái)越差。從誤差為t分布的模擬結(jié)果和回歸直線可以看到，最小二乘回歸對(duì)異常數(shù)據(jù)點(diǎn)的影響是敏感的，因此可以適當(dāng)探索其他的回歸估計(jì)方法。

四、 總結(jié)

由于工科學(xué)生動(dòng)手能力較強(qiáng)，抽象思維能力相對(duì)理科學(xué)生較弱，因此適當(dāng)?shù)睦媒y(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行模擬研究，把結(jié)果直觀演示給學(xué)生，對(duì)學(xué)生掌握該方法提供了直觀的解釋。對(duì)于統(tǒng)計(jì)軟件的輔助作用就是更直觀地把數(shù)據(jù)及統(tǒng)計(jì)方法呈現(xiàn)給學(xué)生，更好地理解理論的推導(dǎo)和應(yīng)用，理論和應(yīng)用相結(jié)合，培養(yǎng)工科學(xué)生實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]韓海燕.MATLAB軟件和概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)的整合研究[J].科技信息，2011（14）：202.

[2]江海峰.MCS在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)中的應(yīng)用研究[J].數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理，2008，27（4）：740-747.

[3]劉宣.基于R語(yǔ)言的大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)初探[N].福建師大福清分校學(xué)報(bào)，2015（5）：45-48.

作者簡(jiǎn)介：吳劍，錢進(jìn)，遼寧省沈陽(yáng)市，東北大學(xué)。