一類非線性耦合梁方程解的動力學行為

，

(太原理工大學數(shù)學學院， 山西太原030024)

梁方程是一種常見的偏微分方程，有關其解的性質(zhì)及吸引子的存在性一直是研究熱點。文獻[1]中提出了一類振動梁模型，文獻[2-4]中對此類方程進行定性的分析，證明了該問題解的存在唯一性，考慮到影響材料的各種因素，文獻[5-8]中建立了更廣泛的梁方程，并進行了較深入的研究，即考慮該類方程整體吸引子的存在性。近年來，許多學者對耦合梁方程不同類型的吸引子展開了進一步討論[9-13]。

本文中在已有研究的基礎上，考慮方程

(1)

初始條件為

(2)

邊界條件為

(3)

式中：u=u(x,t)為點x在時刻t的位移；θ=θ(x,t)為點x在時刻t的溫度； Δ為拉普拉斯算子； Δ2u為u對x求四階偏導數(shù)；為梯度算子；ut、utt分別為u對t求一階、 二階偏導數(shù)；θt為θ對t求一階偏導數(shù)；f1(· )、f2(· )為非線性函數(shù)；h=h(x)∈L2(Ω), (L2(Ω)為Ω上實值Lebesgue可測函數(shù)全體)，Ω=[0,L](L為梁的長度)為實數(shù)集中的有界區(qū)域；p∈,α,β,γ>0。本文中利用H?lder不等式、Young不等式并結合分部積分法來證明方程(1)存在整體吸引子；在證明方程(1)存在有界吸收集時，大多學者利用Nakao引理化成有關非負連續(xù)函數(shù)上確界的不等式，過程較繁瑣，本文中不需要化成以上形式即可證明方程(1)存在有界吸收集。

1 預備知識

假設1f1∈C1()(C1()為上一次連續(xù)可微函數(shù)全體)，?k0>0,ρ>0， 使得并記其中為函數(shù)f1(s)對s求一階導數(shù)，λ1>0為Δ2在的第一特征值。

假設2f2∈C1(),對?,存在常數(shù)k1、k2,且ρ≥0有

引理1[14-15]有界集B0?H是半群S(t)的一個有界吸收集， 如果對任一有界集B?H， 存在tB=t(B)≥0, 有S(t)B?B0, ?t≥tB。

引理2[14-15]設?B∈H是有界正向不變集,對?ε>0, ?T=T(ε,B),有

這里φT∶H×H→R對?zn?B,滿足

則半群S(t)在H是漸近緊的。

引理3[14-15]S(t)是定義在H上的一個耗散半群，S(t)存在緊吸引子當且僅當S(t)在H中漸近光滑。

2 解的存在唯一性

利用Galerkin方法及Gronwall引理可得如下結論。

由定理1可定義H上的C0半群{S(t)}t≥0，即S(t) ∶H→H，也即S(t) ∶ (u0,u1,θ0)→(u,ut,θ)。

3 整體吸引子

定理2 如果假設1、 2成立，則問題(1)—(3)在H中存在有界吸收集B0。

證明：令v=ut+δu(δ為正常數(shù))，則方程(1)的第1個等式可化為

f1(u)+αΔθ=h(x) 。

(4)

式(4)與v作內(nèi)積，方程(1)的第2個等式與θ作內(nèi)積，并將2個式子相加有

α(Δθ,v)-α(Δut,θ)=0。

(5)

由于

因此結合式(5)，令

(7)

(8)

則式(5)可改寫為

(9)

由假設1及Young不等式可知

(10)

(11)

由假設1、 2，有

(12)

(13)

將式(12)、(13)代入式(8)有

(14)

(15)

顯然

結合式(11)、(15)、(16)，將式(9)在[0,t]上積分可得

需要說明的是， 大多學者利用Nakao引理證明有界吸收集， 過程比較復雜， 本文中主要利用H?lder不等式、 Young不等式證明有界吸收集， 方法較簡單。

定理3 如果假設1、 2成立，則問題(1)—(3)的半群{S(t)}t≥0在H中漸近緊。

證明：取初值(u0,u1,θ10), (v0,v1,θ20)∈H, (u,ut,θ1)、 (v,vt,θ2)為問題(1)—(3)的2個解，令w=u-v,ζ=θ1-θ2,滿足下列方程

(17)

令z=wt+δw，將方程(17)的第1個式子與z作內(nèi)積，第2個式子與ξ作內(nèi)積，2個式子相加，有

(αΔξ,z)-(αΔwt,ξ) =0。

(18)

(19)

由假設1、 假設2、 H?lder不等式可得

(20)

(21)

類似式(13)，有

(αΔξ,z) -(αΔwt,ξ) ≥

(22)

(23)

其中c1為L2(ρ+1)(Ω)嵌入到L2(Ω)的嵌入常數(shù),即

(24)

綜合式(19)—(24)代入式(18)有

(25)

(26)

式(26)可簡記為

(27)

由Gronwall引理可得

Ew(t) ≤Ew(0)e-C′t+

(28)

因此有

(29)

再根據(jù)Galiardo-Nirenberg插值不等式有

即

因此

定義

φT((u0,u1,θ10), (v0,v1,θ20))=

則有

ε+φT((u0,u1,θ10), (v0,v1,θ20))。

即

由引理2可知，半群{S(t)}t≥0在H中漸近緊。定理3證畢。

由定理2、定理3及引理3可知，半群{S(t)t≥0}在H中存在整體吸引子。

4 結論

本文中證明了一類非線性耦合梁方程解的存在唯一性和整體吸引子的存在性，為梁方程解的合理的Galerkin截斷提供了理論依據(jù)，也為實際工程提供了設計依據(jù)。進一步的研究可考慮整體吸引子是否具有有限的Hausdorff維數(shù)。