井底巖石的共振響應(yīng)分析及數(shù)值模擬研究

宋恒宇， 李根生, 史懷忠, 黃中偉， 宋先知， 楊睿月

(中國(guó)石油大學(xué)(北京) 油氣資源與探測(cè)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 102249)

鉆井提速和高效破巖是油氣井領(lǐng)域的重要研究?jī)?nèi)容。在石油天然氣勘探開發(fā)逐漸向深部地層發(fā)展，所鉆地層越來越堅(jiān)硬、越來越復(fù)雜的大背景下，研究高效破巖技術(shù)與方法十分必要。針對(duì)于此，國(guó)內(nèi)外專家、學(xué)者提出了許多鉆井提速新概念和新技術(shù)，共振鉆井就是其中一個(gè)較為可行的提速技術(shù)。其實(shí)現(xiàn)方法如下：利用共振鉆井設(shè)備對(duì)地層巖石持續(xù)施加呈周期性變化的沖擊力，使沖擊力的振動(dòng)頻率接近巖石的共振頻率，巖石隨之發(fā)生共振，其振幅會(huì)達(dá)到最大，從而改變巖石內(nèi)部的位移分布，加速巖石的破壞。目前，共振鉆井技術(shù)已經(jīng)運(yùn)用到了相關(guān)領(lǐng)域，一部分專家學(xué)者也對(duì)其破巖機(jī)理、破巖效果進(jìn)行了研究，得到了沖擊力激勵(lì)下巖石介質(zhì)的響應(yīng)機(jī)制和巖石介質(zhì)的共振特性。李思琪[1]研究了巖石介質(zhì)沖擊振動(dòng)的力學(xué)模型，并基于接觸力學(xué)理論，分別建立了動(dòng)靜載荷作用下錐形壓頭和球形壓頭在加載階段和卸載階段的破巖模型。李瑋等[2]研究了基于重整化方法的沖擊載荷下巖石振動(dòng)分析，得到當(dāng)鉆頭高頻振動(dòng)頻率和巖石固有頻率接近時(shí)，巖石振動(dòng)幅度和振動(dòng)速度最大，即達(dá)到了共振。李瑋等[3]進(jìn)行了高頻振動(dòng)鉆具沖擊下巖石響應(yīng)機(jī)理及破巖試驗(yàn)分析，得到高頻振動(dòng)沖擊能夠降低巖石的抗鉆能力，提高破巖效率。田家林等[4-5]研究了高頻微幅沖擊振動(dòng)作用下巖石破碎行為計(jì)算方法，得到高沖擊頻率、低幅值能夠增加破巖體積、減小破巖比功、增加巖石裂紋長(zhǎng)度等結(jié)論。董學(xué)成等[6-7]進(jìn)行了振蕩沖擊器破巖機(jī)理的數(shù)值模擬分析，得到了井底巖石的破碎效率與振蕩沖擊器工作頻率的關(guān)系。Wiercigroch等[8]提出了共振提速鉆井(RED)技術(shù)，并設(shè)計(jì)生產(chǎn)了相應(yīng)的設(shè)備，通過鉆頭的軸向振動(dòng)激發(fā)地層巖石，使其達(dá)到共振狀態(tài)，該技術(shù)對(duì)硬巖的提速效果十分明顯。

綜上所述，在理論研究方面，大多數(shù)學(xué)者都是通過建立簡(jiǎn)單的振動(dòng)模型[9], 研究巖石介質(zhì)在自由狀態(tài)下的振動(dòng)規(guī)律，沒有考慮到井底巖石不僅屬于多孔介質(zhì)，而且還受到圍壓作用[10-13]。本文在前人基礎(chǔ)上，考慮到巖石內(nèi)部孔隙,以及其受到的井底圍壓作用,研究其共振響應(yīng)特性，得到不同約束下、不同孔隙分布下，巖石的位移響應(yīng)振幅與沖擊力頻率的關(guān)系，分析結(jié)果可以為共振鉆井技術(shù)提供一定的理論指導(dǎo)。本文模擬的沖擊力為鉆頭整體對(duì)地層巖石施加的沖擊力。

1 巖石振動(dòng)方程的建立及響應(yīng)分析

根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)，選擇開爾文體作為巖石的振動(dòng)模型，該模型是一種典型的、具有一定代表性的巖石力學(xué)組合模型，也是巖石動(dòng)力學(xué)的基本模型[14]。開爾文體的組合模型如圖1所示。

圖1 開爾文體組合模型

加載的諧振激勵(lì)符合正弦變化規(guī)律，振動(dòng)方程如下

(1)

式中:m物質(zhì)系統(tǒng)的質(zhì)量(kg)；C為阻尼系數(shù)(Ns/m)；X為振動(dòng)位移(m)；t為時(shí)間(s)；k為剛度(N/m)；F為諧振沖擊力(N)；ω為諧振沖擊力頻率(Hz)；A為諧振沖擊力振幅(m)。

(2)

式中：a即為位移響應(yīng)振幅。

(3)

(4)

式中:ωo為巖石的固有頻率

根據(jù)沖擊與振動(dòng)理論,可得位移共振頻率與固有頻率之間的關(guān)系

(5)

式中：ξ為相對(duì)阻尼系數(shù)；ωr為位移共振頻率(Hz)。

計(jì)算參數(shù)取值，如表1所示。

ωo分別取值900、1 000、1 500、2 000，繪制響應(yīng)振幅與沖擊力頻率之間的關(guān)系曲線。

由圖2可知，當(dāng)沖擊力頻率接近共振頻率時(shí)，位移響應(yīng)振幅最大，即達(dá)到了共振。并且共振頻率越小，對(duì)應(yīng)的最大響應(yīng)振幅越大。

圖2 模型位移響應(yīng)振幅與諧振沖擊力頻率之間的關(guān)系

Fig.2 The relationship between the displacement responding amplitude and the impact force frequency

2 巖石所受約束條件對(duì)其共振頻率的影響

由以上分析可知，物質(zhì)系統(tǒng)的共振頻率與固有頻率密切相關(guān)。所以當(dāng)物體的剛度和質(zhì)量發(fā)生變化時(shí)，共振頻率會(huì)隨之發(fā)生變化?，F(xiàn)推導(dǎo)出剛度與彈性模量的關(guān)系，首先建立如圖3所示圓柱形巖石物理模型。

圖3 巖石物理模型

(6)

(7)

聯(lián)立式(6)和(7)，得：

(8)

式中:F為軸向力(N)；R為模型底面半徑(m);L為模型高(m)； Δx為軸向形變量(m);E為彈性模量(Pa)；σ為軸向應(yīng)力(Pa);ε為軸向應(yīng)變(1)；S為模型底面面積(m2)。

當(dāng)模型側(cè)面受到約束時(shí)，其軸向剛度可能會(huì)發(fā)生變化，而剛度的變化會(huì)直接影響巖石的固有頻率以及施加沖擊力時(shí)的共振頻率?，F(xiàn)考慮兩種情況，一是側(cè)面受到大小固定的圍壓，二是側(cè)面受到徑向的位移約束，分別分析該巖石模型在這兩種情況下軸向剛度的變化以及共振頻率的變化。

首先分析其受到圍壓作用，X，Z方向分別為σx，σz，軸向受到應(yīng)力σy，根據(jù)廣義胡克定律和剛度定義，滿足如下方程

(9)

(10)

式中:μ為泊松比

式(9)兩邊同時(shí)分別對(duì)εy和σy微分，因?yàn)棣襵，σz保持不變，同時(shí)聯(lián)立式(10)，可以得到剛度的計(jì)算公式

(11)

由式(11)可知當(dāng)模型側(cè)面受到固定圍壓時(shí)，其軸向剛度不變，因此其軸向共振頻率亦不變，所以巖石模型的共振頻率與所受圍壓的大小無關(guān)。

根據(jù)前文所述，共振鉆井的提速機(jī)理就是巖石在鉆頭沖擊作用下達(dá)到共振狀態(tài)時(shí)更容易發(fā)生破碎。為了把鉆頭的沖擊能量集中在井底巖石的中心區(qū)域，降低其向井筒外區(qū)域的耗散，同時(shí)也為了更容易地實(shí)現(xiàn)井底巖石的共振效果，通常選擇雙級(jí)鉆頭[15]。雙級(jí)鉆頭包括下部小尺寸的沖擊破巖鉆頭和上部大尺寸(與井眼尺寸相匹配)的擴(kuò)眼鉆頭。共振鉆井中，為了使沖擊能量更好地破碎井眼內(nèi)的巖石，下部鉆頭的尺寸選擇應(yīng)該有兩個(gè)限定條件：① 下部鉆頭尺寸不宜過小，否則其沖擊能量不能波及整個(gè)井眼內(nèi)巖石，不能高效地對(duì)井眼內(nèi)巖石造成損傷和共振破碎；② 下部鉆頭尺寸不宜過大，否則其沖擊能量會(huì)向井眼外區(qū)域擴(kuò)散，造成沖擊能量的浪費(fèi)，同時(shí)也會(huì)對(duì)井壁穩(wěn)定造成干擾。

根據(jù)上述約束條件，可以選擇合適的鉆頭尺寸。在滿足上述條件的下部鉆頭沖擊作用下，可以認(rèn)為井壁處于沖擊遠(yuǎn)端區(qū)，此時(shí)可以忽略掉井筒以外巖石的變形(波及到井筒外區(qū)域的沖擊能量很少)，此時(shí)巖石模型的徑向變形就可以忽略。當(dāng)模型側(cè)面受到徑向的位移約束時(shí)，即其側(cè)面沿徑向上的位移和應(yīng)變?yōu)?，同樣可以根據(jù)彈塑性力學(xué)的理論，建立如下方程

(12)

(13)

巖石模型的側(cè)面徑向應(yīng)變?yōu)?，即滿足

εx=εz=0

(14)

聯(lián)立式(12)～式(14)，可得

(15)

代入如下軸向應(yīng)力、應(yīng)變方程

(16)

可以得到

(17)

化簡(jiǎn)得

(18)

(19)

(20)

由式(20)可知，當(dāng)巖石模型受到徑向位移約束時(shí)，其相對(duì)共振頻率與巖石模型的泊松比相關(guān)，繪制相對(duì)共振頻率與泊松比的關(guān)系曲線，如圖4所示。

圖4 相對(duì)共振頻率與泊松比的關(guān)系曲線

由曲線可以明顯看出，當(dāng)模型側(cè)面受到徑向固定約束時(shí)，其相對(duì)共振頻率隨之增大。相對(duì)共振頻率與泊松比有關(guān)，泊松比越大，相對(duì)共振頻率越大，且其變化率亦隨之增大。

3 巖石內(nèi)部孔隙對(duì)共振頻率的影響

井底巖石屬于多孔介質(zhì)，巖石內(nèi)部的孔隙可能會(huì)對(duì)共振頻率造成影響，現(xiàn)分三種情況。

3.1 模型孔隙分布均勻

因?yàn)閹r石模型的孔隙結(jié)構(gòu)分布均勻，所以垂直于軸向的任一截面上孔隙所占截面的面積比均等于孔隙度，此時(shí)巖石截面的有效承壓面積為S(1-φ)，聯(lián)立式(3)、(5)、(8)，可得共振頻率的計(jì)算公式

(21)

由式(21)可知，當(dāng)巖石內(nèi)部存在沿軸向分布均勻的孔隙時(shí)，巖石模型的共振頻率與孔隙度無關(guān)，只與巖石模型的剛度、密度、長(zhǎng)度、阻尼大小相關(guān)。

3.2 模型孔隙沿徑向分布不均勻

考慮到此時(shí)研究的孔隙結(jié)構(gòu)，不需要考慮其連通性和滲透性，只需要考慮其分布特征，因此采用球管孔隙模型[16]來模擬巖石模型的孔隙結(jié)構(gòu)，為了方便理論推導(dǎo)，只建立圓管部分。而且保證孔隙結(jié)構(gòu)沿軸向(即沿激勵(lì)沖擊方向)分布均勻。建立的模型外觀同圖3，橫截面如圖5所示。

用以上六種模型來模擬孔隙沿徑向分布的不均勻性。因?yàn)橐陨夏Ｐ涂紫抖妊剌S向分布均勻，所以理論計(jì)算公式與式(21)相同，結(jié)果亦相同。

3.3 模型孔隙沿激勵(lì)沖擊方向分布不均勻

假定孔隙沿軸向呈線性變化，同樣用圓管部分來模擬孔隙結(jié)構(gòu)，并建立錐形圓管模型來表征孔隙沿軸向分布的不均勻性，如圖6所示。

圖6 孔隙沿軸向分布不均勻的物理模型

原模型的共振頻率為

(22)

根據(jù)式(8)，計(jì)算如上物理模型的共振頻率，首先把模型沿軸向分成n份，所以第i部分的剛度為

(23)

模型的整體剛度為

(24)

把極限式轉(zhuǎn)化為積分式，得到

(25)

模型的質(zhì)量為

(26)

模型的共振頻率為

(27)

模型的相對(duì)共振頻率為

(28)

式中：ω?r為孔隙結(jié)構(gòu)沿軸向分布不均勻時(shí)，巖石模型具有的共振頻率；ω?r/ωr為相對(duì)共振頻率。

(a)

(b)

根據(jù)式(28)，并為r1/R、r2/R賦予不同的參數(shù)值，繪制如圖7所示的相對(duì)共振頻率與r1/R、r2/R之間的關(guān)系曲線。從圖中可以看出，r1，r2的差值越大，相對(duì)共振頻率越低，圖7(b)的對(duì)角線表示r1=r2，此時(shí)相對(duì)共振頻率等于1，與3.1中均質(zhì)的結(jié)果一致。

4 數(shù)值模擬

為巖石模型賦予如下參數(shù)值，分析其共振響應(yīng)。物理參數(shù)、幾何參數(shù)取值如表2。

利用有限元軟件，Abaqus的動(dòng)力學(xué)分析模塊，對(duì)以上所建立的模型進(jìn)行模擬計(jì)算，載荷加載方式如圖3所示，右側(cè)底面加載正弦型周期性變化的沖擊力載荷，根據(jù)模型的截面具體情況選擇集中力或者均布面力，當(dāng)巖石模型內(nèi)部無孔隙結(jié)構(gòu)時(shí)，在右側(cè)底面中心加載集中力；當(dāng)巖石模型內(nèi)部有孔隙結(jié)構(gòu)時(shí)，在右側(cè)底面上加載均布面力。模型左側(cè)底面統(tǒng)一固定。模型側(cè)面根據(jù)具體情況，選擇無約束自由狀態(tài)、加載圍壓或者施加徑向約束。劃分網(wǎng)格時(shí)，統(tǒng)一選擇四面體網(wǎng)格。通過模擬，在不同條件下，得到如下響應(yīng)振幅與沖擊力頻率之間的關(guān)系。

4.1 不同沖擊力下的位移響應(yīng)

沖擊力振幅取值分別為10 kN、30 kN、50 kN和80 kN。圖8繪制的是巖石模型在不同沖擊力振幅下位移響應(yīng)與沖擊力頻率之間的關(guān)系曲線, 巖石模型的最大響應(yīng)振幅均在1 950 Hz處發(fā)生,該頻率即是巖石模型的共振頻率。當(dāng)沖擊力頻率小于共振頻率時(shí)，巖石模型的位移響應(yīng)振幅隨著沖擊力頻率的升高而升高；當(dāng)沖擊力頻率大于共振頻率時(shí)，巖石模型的位移響應(yīng)振幅隨著沖擊力頻率的升高而降低，且位移響應(yīng)振幅變化圖像基本關(guān)于共振頻率對(duì)稱。在四種沖擊力振幅下，振幅越大，共振位移響應(yīng)振幅就越大。

圖8 巖石模型在不同沖擊力振幅下位移響應(yīng)與沖擊力頻率之間的關(guān)系

4.2 不同圍壓約束下的位移響應(yīng)

4.2.1 不同約束下

該過程模擬了三種圍壓以及側(cè)面徑向約束下的共振響應(yīng)，圍壓值分別為10 MPa、20 MPa和40 MPa，沖擊力振幅取值80 kN。圖9繪制的是巖石模型在不同約束下位移響應(yīng)與沖擊力頻率之間的關(guān)系曲線。從三條圍壓下的位移響應(yīng)曲線可以看出，當(dāng)巖石模型受到固定圍壓時(shí)，其共振頻率不隨圍壓的變化而變化，基本維持在2 050 Hz，且響應(yīng)曲線不關(guān)于共振頻率對(duì)稱，當(dāng)沖擊力頻率小于共振頻率時(shí)，隨著沖擊力頻率的增加，位移響應(yīng)振幅升高很快，而當(dāng)沖擊力頻率大于共振頻率時(shí)，隨著沖擊力頻率的增加，位移響應(yīng)振幅下降的速度變緩，而且隨著圍壓的增大，響應(yīng)振幅亦隨之增大。當(dāng)巖石側(cè)面受到徑向位移約束時(shí)，其共振頻率略高于圍壓下的共振頻率，達(dá)到了2 120 Hz，且其共振響應(yīng)振幅略低，響應(yīng)曲線大致關(guān)于共振頻率對(duì)稱?？傊?，當(dāng)巖石模型側(cè)面受到約束時(shí)，其共振頻率高于自由狀態(tài)下巖石模型的共振頻率。受到側(cè)面徑向約束時(shí)，巖石模型的共振頻率升高這一現(xiàn)象在理論計(jì)算上已經(jīng)得到了解釋；而當(dāng)巖石模型受到側(cè)面圍壓時(shí)，如果按照理論推導(dǎo)的結(jié)果，其共振頻率應(yīng)該與自由狀態(tài)下的共振頻率相等，但實(shí)際模擬顯示的結(jié)果是略高，出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因可能是加載的圍壓對(duì)一直處于動(dòng)態(tài)變形巖石的作用有一定的滯后性，類似于產(chǎn)生了一定的徑向約束，因此共振頻率有所升高。此過程中的模擬結(jié)果與理論分析的結(jié)果基本相一致。

圖9 巖石模型在不同約束下位移響應(yīng)與沖擊力頻率之間的關(guān)系

4.2.2 受到徑向位移約束時(shí)

該過程模擬了受到徑向位移約束的巖石模型在不同泊松比取值情況下的共振響應(yīng)，泊松比取值分別為0.2、0.3、0.35和0.4，沖擊力振幅取值80 kN。圖10繪制的是巖石模型在不同泊松比下位移響應(yīng)與沖擊力頻率之間的關(guān)系曲線。從圖10可以看出，當(dāng)巖石模型受到徑向位移約束時(shí)，其共振頻率與巖石自身的泊松比有關(guān)，且泊松比越大，巖石模型的共振頻率越大。從圖10還可以看出，在加載沖擊力振幅相同的情況下，最大響應(yīng)振幅隨著巖石模型泊松比的增加而降低。從圖11可以看出，隨著泊松比的增大，巖石模型的共振頻率不僅隨之增大，而且其增加速度也越來越快。該模擬結(jié)果基本與理論分析結(jié)果相一致。

圖10 巖石模型在不同泊松比下位移響應(yīng)與沖擊力頻率之間的關(guān)系

圖11 巖石模型的共振頻率隨泊松比的變化關(guān)系

4.3 不同孔隙結(jié)構(gòu)分布下的位移響應(yīng)

4.3.1 巖石模型的孔隙結(jié)構(gòu)分布均勻

構(gòu)建內(nèi)部含有孔隙結(jié)構(gòu)的巖石模型，孔隙度分別為0.857%、3.43%、30.86%。圖12繪制的是巖石模型在不同孔隙度下位移響應(yīng)與沖擊力頻率之間的關(guān)系曲線。三種孔隙度下的位移響應(yīng)曲線基本重合，因此，在該數(shù)值模擬條件下，當(dāng)巖石模型內(nèi)部孔隙沿沖擊力方向分布均勻時(shí)，其共振頻率不隨孔隙度大小的變化而變化，共振頻率亦為1 950 Hz，且具有孔隙結(jié)構(gòu)的巖石模型的響應(yīng)曲線與不具有孔隙結(jié)構(gòu)的響應(yīng)曲線相似。該模擬結(jié)果與理論分析結(jié)果相一致。

圖12 巖石模型在不同孔隙度下位移響應(yīng)與沖擊力

4.3.2 巖石模型孔隙沿徑向分布不均勻

建立圖5中的六種模型，來模擬孔隙沿徑向分布的不均勻性。

如圖13所示，孔隙沿徑向分布的不均勻程度對(duì)巖石模型的響應(yīng)振幅無影響，各模型的響應(yīng)曲線大致重合。

圖13 不同模型下位移響應(yīng)與沖擊力頻率之間的關(guān)系

4.3.3 巖石模型孔隙沿激勵(lì)沖擊方向分布不均勻

按照?qǐng)D5的模型結(jié)構(gòu)，分別給r1,r2賦值，得到不同的孔隙不均勻程度，并用γ來表征

γ=r2-r1/L

(29)

巖石模型的參數(shù)賦值如表3。

圖14繪制的是巖石模型在不同孔隙分布不均勻程度下位移響應(yīng)與沖擊力頻率之間的關(guān)系曲線，圖15繪制的是共振頻率與不均勻程度的關(guān)系曲線。從圖中可以看出，巖石模型的孔隙分布不均勻程度越大，巖石模型的共振頻率越低，而且在加載同等大小的沖擊力振幅條件下，不均勻程度越大，巖石模型位移響應(yīng)的最大振幅越大。在該條件下的響應(yīng)曲線基本關(guān)于共振頻率對(duì)稱。從圖15可以看出，隨著孔隙分布不均勻程度的增大，巖石模型的共振頻率隨之下降，但其下降速度越來越慢。該模擬結(jié)果與理論推導(dǎo)結(jié)果相一致。

圖14 巖石模型在不同孔隙分布不均勻程度下位移響應(yīng)與沖擊力頻率之間的關(guān)系

圖15 巖石模型的共振頻率隨孔隙分布的不均勻程度之間的關(guān)系

下一步還需要開展室內(nèi)試驗(yàn)，來驗(yàn)證巖石在實(shí)際狀態(tài)下的共振響應(yīng)規(guī)律及其共振頻率的變化規(guī)律，為共振鉆井技術(shù)提供更多理論支持，促進(jìn)共振提速鉆井技術(shù)的發(fā)展。

5 結(jié) 論

(1) 在該模擬條件下，當(dāng)巖石受到固定圍壓時(shí)，其共振頻率不隨圍壓大小的變化而變化，且響應(yīng)曲線不關(guān)于共振頻率對(duì)稱，當(dāng)沖擊頻率小于共振頻率時(shí)，隨著沖擊頻率的增加，位移響應(yīng)振幅升高很快，而當(dāng)沖擊力頻率大于共振頻率時(shí)，隨著沖擊力頻率的增加，位移響應(yīng)振幅下降的速度變緩。當(dāng)巖石側(cè)面受到徑向位移約束時(shí)，其共振頻率略高于圍壓下的共振頻率，但其響應(yīng)振幅略低于圍壓下的響應(yīng)振幅。

(2) 當(dāng)巖石受到徑向位移約束時(shí)，其共振頻率與巖石自身的泊松比有關(guān)，且泊松比越大，共振頻率越高，同時(shí)共振頻率的增加速度也隨之增大。在沖擊力振幅相同的情況下，最大響應(yīng)振幅隨泊松比的增加而降低。

(3) 當(dāng)巖石內(nèi)部孔隙沿沖擊力方向分布均勻時(shí)，其共振頻率不隨孔隙度大小的變化而變化，且具有孔隙結(jié)構(gòu)的巖石的響應(yīng)曲線與不具有孔隙結(jié)構(gòu)的響應(yīng)曲線類似。

(4) 當(dāng)巖石內(nèi)部孔隙沿沖擊力方向分布不均勻時(shí)，不均勻程度越大，巖石模型的共振頻率越低，同時(shí)共振頻率的下降速度隨之變慢。而且在加載同等大小的沖擊力條件下，不均勻程度越大，巖石響應(yīng)的最大振幅越大。