高校數(shù)學(xué)建模課程改革的實(shí)踐與探索

范馨月

[摘 要]數(shù)學(xué)建模課程是數(shù)學(xué)類學(xué)科專業(yè)大類選修課。大數(shù)據(jù)時(shí)代的發(fā)展，不僅給數(shù)學(xué)建模課程帶來了機(jī)遇，也帶來了嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。教師在有限的課時(shí)內(nèi)組織安排好課堂的教學(xué)，進(jìn)行教學(xué)方法和考核方式的改革十分必要，且勢(shì)在必行。高校應(yīng)以培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)、分解意識(shí)為目的對(duì)數(shù)學(xué)建模課程進(jìn)行建設(shè)和改革，具體的實(shí)施方案有經(jīng)典例題講解、實(shí)行翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)、案例分析教學(xué)、上機(jī)輔導(dǎo)。實(shí)踐表明，其取得了一定的成效。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)建模;問題意識(shí);創(chuàng)新意識(shí);分解意識(shí);改革

[中圖分類號(hào)] G642.3 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 2095-3437（2019）02-0077-03

黨的十九大報(bào)告提出，要推動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)、大數(shù)據(jù)、人工智能和實(shí)體經(jīng)濟(jì)的深度融合。2017年7月，國(guó)務(wù)院在印發(fā)的《新一代人工智能發(fā)展規(guī)劃》中，對(duì)我國(guó)人工智能發(fā)展明確提出了三步走的戰(zhàn)略目標(biāo)，其中第一步，是到2020年做到總體技術(shù)和應(yīng)用與世界先進(jìn)水平同步，人工智能產(chǎn)業(yè)成為新的重要經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)點(diǎn)，人工智能技術(shù)應(yīng)用成為改善民生的新途徑。這一目標(biāo)不僅與2020年全面建成小康社會(huì)相呼應(yīng)，而且也是深化供給側(cè)結(jié)構(gòu)性改革、推動(dòng)中國(guó)躋身創(chuàng)新型國(guó)家前列的重要驅(qū)動(dòng)力之一[1]。自2013年以來，我國(guó)真正步入大數(shù)據(jù)時(shí)代，而大數(shù)據(jù)時(shí)代的動(dòng)力是數(shù)學(xué)建模。大數(shù)據(jù)時(shí)代只是一個(gè)代名詞，而真正能夠推進(jìn)大數(shù)據(jù)時(shí)代進(jìn)步的引擎與動(dòng)力則是數(shù)學(xué)建模，因?yàn)閿?shù)學(xué)建模技術(shù)是大數(shù)據(jù)時(shí)代的數(shù)據(jù)挖掘、用戶行為分析等應(yīng)用的基礎(chǔ)。在人工智能時(shí)代的背景下，數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)顯得尤為重要。不管是人工智能還是深度學(xué)習(xí)，都離不開數(shù)學(xué)建模。也可以說，人工智能時(shí)代給數(shù)學(xué)建模帶來了機(jī)遇與挑戰(zhàn)。

高校的數(shù)學(xué)建模課程是數(shù)學(xué)類學(xué)科專業(yè)大類選修課。該課程是在數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、C語言、離散數(shù)學(xué)等專業(yè)基礎(chǔ)課之后開設(shè)的一門后續(xù)應(yīng)用課程。不同于傳統(tǒng)的以傳授數(shù)學(xué)理論知識(shí)為主的數(shù)學(xué)課程，數(shù)學(xué)建模課程是一門應(yīng)用性和實(shí)踐性都很強(qiáng)的課程，它的教學(xué)應(yīng)該區(qū)別于其他的數(shù)學(xué)類課程的教學(xué)，應(yīng)注重知識(shí)的一個(gè)整合和應(yīng)用以及學(xué)生動(dòng)手能力的培養(yǎng)與提升。

一、課程現(xiàn)狀分析

數(shù)學(xué)建模這門課程，具有難度大、涉及面廣、形式靈活等特點(diǎn)。本校數(shù)學(xué)建模課程有54個(gè)學(xué)時(shí)，其中48個(gè)學(xué)時(shí)為課堂講授，16個(gè)學(xué)時(shí)為上機(jī)實(shí)踐課。課時(shí)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，現(xiàn)在的課程教學(xué)模式仍然以教師講授為主，包括網(wǎng)上一些精品課程都是以這種方式進(jìn)行教學(xué)的。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模教學(xué)模式存在如下問題：一是具有較強(qiáng)的封閉性和保守性，采用傳統(tǒng)的講授式方法進(jìn)行教學(xué)。教師講學(xué)生聽，忽略了數(shù)學(xué)思想的建立、數(shù)學(xué)方法的使用和學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)。學(xué)生普遍反映概念難懂，習(xí)題難做，方法不易掌握，自己建模存在很大的困難。在現(xiàn)在的教學(xué)模式下，要學(xué)生真正掌握方法并自己動(dòng)手建模是幾乎不可能的。二是學(xué)生過多地依賴教材中的數(shù)學(xué)模型，對(duì)建模的過程及利用計(jì)算機(jī)求解的內(nèi)容不能通過講解而實(shí)際領(lǐng)會(huì)和掌握，對(duì)所學(xué)的知識(shí)處于半懂不懂的狀態(tài)，更不用說模型建立能力的培養(yǎng)了。在這種教學(xué)模式下培養(yǎng)出來的學(xué)生不可能有較強(qiáng)的實(shí)際應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力。而又因?yàn)閿?shù)學(xué)建模課程的教學(xué)內(nèi)容是以問題為中心、塊狀編排的，在授課時(shí)如果都是采用模型機(jī)械的講解，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模會(huì)困難重重。三是考核方式單一，基本都是期末論文定乾坤，不能客觀地評(píng)價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)和掌握情況。四是教學(xué)和實(shí)際問題聯(lián)系不緊密，學(xué)生提不起興趣。課堂教學(xué)基本都是照本宣科，模型都是書上的經(jīng)典模型，跟不上發(fā)展的步伐。五是隨著大數(shù)據(jù)時(shí)段的發(fā)展，人工智能時(shí)代的到來，數(shù)據(jù)量的逐日劇增，學(xué)生無法掌握大數(shù)據(jù)的處理技術(shù)和應(yīng)用軟件，就不能適應(yīng)現(xiàn)代社會(huì)的需求，影響將來的發(fā)展。

二、課程改革的理念及思路

數(shù)學(xué)建模這門課程越來越受重視，但在教學(xué)中存在著一些問題。很多學(xué)者在授課的過程中也注意到了這一點(diǎn)，提出了一些改革方案和想法[2-4]。這里所強(qiáng)調(diào)的教學(xué)改革的理念是堅(jiān)持“以學(xué)生發(fā)展為中心，學(xué)習(xí)成果為導(dǎo)向，學(xué)習(xí)效果為標(biāo)準(zhǔn)”，培養(yǎng)“通專兼?zhèn)?、知行合一”的高素質(zhì)專門人才。因此，在有限的課時(shí)內(nèi)，如何組織安排好課堂的教學(xué)，進(jìn)行教學(xué)方法和考核方式的改革十分必要，且勢(shì)在必行。教師可以從以下幾個(gè)方面進(jìn)行教學(xué)改革。

（一）教學(xué)思路的改革

課程主要是培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)、分解意識(shí)和檢驗(yàn)意識(shí)。以前，課程主要是讓學(xué)生通過學(xué)習(xí)掌握一些經(jīng)典的數(shù)學(xué)模型。課程改革中應(yīng)該以學(xué)生為主體來組織教學(xué)工作，通過教學(xué)使學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)理論和方法去分析、解決實(shí)際問題;通過教學(xué)調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí);通過教學(xué)鼓勵(lì)學(xué)生創(chuàng)新，提高他們解決實(shí)際問題的能力。數(shù)學(xué)建模面對(duì)的是實(shí)際問題而不是數(shù)學(xué)問題，不能先問用什么模型，再問用什么方法。合適的模型需要合理的假設(shè)，做出合理的假設(shè)需要把實(shí)際問題搞清楚，因此培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)尤為重要。數(shù)學(xué)建模需要培養(yǎng)學(xué)生的分解意識(shí)，將困難的問題分解為可以解決的子問題，使得原問題的難度大大降低，再利用子問題拼湊出原問題的結(jié)果，這需要學(xué)生深刻理解所學(xué)知識(shí)的原理并能夠靈活應(yīng)用。在數(shù)學(xué)建模的教學(xué)中，還有一點(diǎn)需要我們注意，數(shù)學(xué)問題的解答正確與否可以靠邏輯和證明來判定，但是邏輯與證明不能作為實(shí)際問題是否得到了解決的唯一標(biāo)準(zhǔn)，必須一開始就考慮檢驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)和途徑。因此，在教學(xué)的過程中，需要培養(yǎng)學(xué)生的檢驗(yàn)意識(shí)，將檢驗(yàn)意識(shí)的培養(yǎng)貫徹始終。

（二）教學(xué)方法的改革

在教學(xué)過程中，為學(xué)生創(chuàng)造獨(dú)立的思維情境。數(shù)學(xué)建模課程本身的特點(diǎn)就是用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題，因此我們?cè)谑谡n時(shí)和貴陽市交管局及企業(yè)合作，提出一些實(shí)際問題給學(xué)生，讓學(xué)生實(shí)際地去建模來解決問題。在教學(xué)過程中，以學(xué)生為主體，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性。將新知識(shí)、新理論、新技術(shù)、新方法等學(xué)科前沿融入教學(xué)內(nèi)容，積極開展基于問題、基于項(xiàng)目、基于案例的教學(xué)方法和學(xué)習(xí)方式改革，采用問題驅(qū)動(dòng)式、啟發(fā)式和案例式教學(xué)方法以及翻轉(zhuǎn)課堂和大班教學(xué)小班討論等手段，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、主動(dòng)學(xué)習(xí)，改變傳統(tǒng)的“填鴨式”“滿堂灌”的教學(xué)方式，推動(dòng)課堂教學(xué)從句號(hào)課堂向問號(hào)課堂轉(zhuǎn)變、從被動(dòng)學(xué)習(xí)課堂向主動(dòng)學(xué)習(xí)課堂轉(zhuǎn)變、從封閉課堂向開放課堂轉(zhuǎn)變、從知識(shí)傳授課堂向能力培養(yǎng)課堂轉(zhuǎn)變。具體措施如下：（1）將傳統(tǒng)的習(xí)題課改為討論課，討論課的內(nèi)容有兩類，一類是全國(guó)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽真題，一類是來自實(shí)際項(xiàng)目中的問題。學(xué)生能力的提高不僅僅是通過教師單純的知識(shí)傳授直接得來的，更多的是通過學(xué)生自己的體會(huì)，探索和實(shí)踐。我們希望把課堂教學(xué)變成一個(gè)小型科研活動(dòng)場(chǎng)所，以學(xué)生為主體，采用啟發(fā)式教學(xué)、問題驅(qū)動(dòng)式教學(xué)和傳統(tǒng)的講授式相結(jié)合來教學(xué)。（2）將一部分課時(shí)采用翻轉(zhuǎn)課堂的形式來進(jìn)行教學(xué)，在上一堂課快結(jié)束時(shí)提出問題，將問題的數(shù)據(jù)或者視頻提前給學(xué)生。學(xué)生在課下對(duì)問題要先進(jìn)行一定的思考、數(shù)據(jù)分析，還有視頻有效信息的提取，為模型的建立做準(zhǔn)備，到下一次課時(shí)利用課堂時(shí)間進(jìn)行討論和比較。這樣能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，刺激學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，充分讓他們的思維活躍起來，而不是一味地接受。以此來提高學(xué)生的邏輯思維能力、抽象概括能力。（3）加強(qiáng)上機(jī)實(shí)踐環(huán)節(jié)。通過機(jī)理分析是得不到準(zhǔn)確的確定性模型的，需要利用已有的數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)和數(shù)據(jù)分析。實(shí)驗(yàn)課要讓學(xué)生自己動(dòng)手，主要的軟件有Matlab、Maple、R、Python等。安排學(xué)生三人一組研讀全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的獲獎(jiǎng)范文，并且在討論課討論模型方法。這些措施有助于他們團(tuán)結(jié)協(xié)作能力的培養(yǎng)，更有助于他們解決問題能力的培養(yǎng)。此外，還需要加強(qiáng)論文寫作訓(xùn)練。設(shè)置幾個(gè)題目讓學(xué)生以論文的形式交卷，他們?cè)诙啻蔚膶懽髦姓媲懈惺艿綄懽髂芰Φ奶岣?。介紹Latex作為論文的排版軟件，為參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽或者讀研究生做必要的準(zhǔn)備。

（三）考核方式的改革

傳統(tǒng)的考核方式是期末論文定乾坤，但這不能作為考核學(xué)生能力的唯一標(biāo)準(zhǔn)。考核內(nèi)容應(yīng)該分為三部分，即課堂討論占20%、實(shí)驗(yàn)報(bào)告占20%、期末論文占60%。課堂討論按小組計(jì)分，將學(xué)生課堂自己的提問、回答老師的提問以及課堂討論的表現(xiàn)作為平時(shí)得分的依據(jù)。上機(jī)實(shí)驗(yàn)報(bào)告和專題報(bào)告均作為論文考核的主要依據(jù)。論文評(píng)定根據(jù)為論文格式是否規(guī)范、問題闡述是否清晰、算法是否合理和模擬效果是否好。新的考核方式和成績(jī)?cè)u(píng)定模式更注重學(xué)生綜合能力的培養(yǎng)，更有益于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力。

三、具體實(shí)施方案

數(shù)學(xué)建模教學(xué)方法改革倡導(dǎo)以學(xué)生為主，和實(shí)際項(xiàng)目相結(jié)合，以問題驅(qū)動(dòng)的方式引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)查閱文獻(xiàn)資料和學(xué)習(xí)新知識(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生積極開展討論，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索、努力進(jìn)取的學(xué)風(fēng)，以及團(tuán)結(jié)協(xié)作的精神。教學(xué)中廣泛地采用討論方式，學(xué)生自己做報(bào)告、討論，教師答疑、輔導(dǎo)。發(fā)揮學(xué)生的主體地位，使學(xué)生每堂課都有所收獲，取得更好的教學(xué)效果。課程按照方法分類，可以劃分為初等方法建模、微分方程建模、概率統(tǒng)計(jì)建模、數(shù)據(jù)的插值擬合、回歸分析建模、規(guī)劃方法建模、層次分析法建模、決策分析法建模、圖論方法建模、模糊數(shù)學(xué)方法[5]。按照這里提出的教學(xué)改革的理念，整個(gè)教學(xué)可以分成四個(gè)階段來進(jìn)行，具體實(shí)施方案如下：

[實(shí)際項(xiàng)目的翻轉(zhuǎn)課堂][競(jìng)賽題案例分析][經(jīng)典建模方法講解][14個(gè)學(xué)時(shí)，引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

及方法梳理][24個(gè)學(xué)時(shí)，項(xiàng)目驅(qū)動(dòng)建模][10個(gè)學(xué)時(shí)，賽題演練][16個(gè)學(xué)時(shí)，軟件的使用和基本算法實(shí)現(xiàn)? ][上機(jī)輔導(dǎo)]

（一）第一階段，經(jīng)典例題講解

在這一階段，主要介紹數(shù)學(xué)建模的基本方法。經(jīng)典模型不能不講，教師可從中挑選出五個(gè)經(jīng)典方法（插值擬合方法、微分方程建模、概率統(tǒng)計(jì)方法、回歸分析、數(shù)學(xué)規(guī)劃方法、優(yōu)化方法）進(jìn)行講解，旨在讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模產(chǎn)生濃厚的興趣，引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)建模的基本方法和步驟。

教學(xué)中教師可采取講授式教學(xué)，提出問題，但不能馬上給學(xué)生解決的辦法，而是讓學(xué)生先進(jìn)行思考，即啟發(fā)式教學(xué)。比如在建模的過程中要進(jìn)行哪些假設(shè)會(huì)顯得比較自然而不是生搬硬套。很多現(xiàn)有的模型是直接給出模型的假設(shè)再建立模型，實(shí)際上，哪些假設(shè)是必要的，是需要我們逐步引導(dǎo)學(xué)生的，在教學(xué)的過程中，教師要培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的能力和建模的敏感度。

（二）第二階段，實(shí)行翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)

將班上學(xué)生每三人分成一個(gè)團(tuán)隊(duì)進(jìn)行討論和實(shí)踐，這也是此次數(shù)學(xué)建模教學(xué)改革很重要的一個(gè)環(huán)節(jié)，安排八周的時(shí)間實(shí)施，徹底顛覆傳統(tǒng)的教學(xué)模式。（1）我們教師團(tuán)隊(duì)和一些政府機(jī)構(gòu)及大數(shù)據(jù)公司有長(zhǎng)期的合作關(guān)系，可以從他們那里尋找一些實(shí)際的問題，然后進(jìn)行討論，提煉出四個(gè)實(shí)際問題用于教學(xué)。（2）翻轉(zhuǎn)課堂設(shè)計(jì)，提前把問題告訴學(xué)生，進(jìn)行問題驅(qū)動(dòng)，讓學(xué)生在課下思考、查閱文獻(xiàn)資料，整理好思路，按組別以小論文的形式提交給我們。通過我們的評(píng)選，擇優(yōu)挑選幾組，采用翻轉(zhuǎn)課堂模式進(jìn)行討論（被選擇的幾組學(xué)生可在平時(shí)成績(jī)上加十分（百分制），作為期末總評(píng)成績(jī)的一個(gè)依據(jù)）。翻轉(zhuǎn)課堂的實(shí)施中，一些細(xì)節(jié)處理上的問題需要教師答疑解惑。（3）此階段中的實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)會(huì)穿插一些對(duì)數(shù)據(jù)處理的內(nèi)容給學(xué)生講解，比如如何對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行提取、探索、清洗、分析;還有一些新方法的引入，比如聚類分析、時(shí)間序列分析、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)等，這些內(nèi)容是書本上沒有的，但在當(dāng)下是比較流行的一些建模方法。對(duì)這些內(nèi)容的講解能提高學(xué)生自己動(dòng)手建模解決實(shí)際問題的能力。

（三）第三階段，案例分析教學(xué)模式

教師要仔細(xì)研讀全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題，在課堂上對(duì)近幾年賽題的優(yōu)秀論文作解讀，將一些成功的案例引入課堂，分組進(jìn)行討論。分析建模出現(xiàn)的新方法，學(xué)習(xí)優(yōu)秀論文的寫作格式和技巧。當(dāng)然，賽題不僅局限在全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，還有美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽、深圳杯等一些重要比賽的賽題。這能讓學(xué)生了解到目前的一些需求和新的建模方法，有效地激發(fā)每個(gè)隊(duì)伍的積極性和潛能。學(xué)生通過上機(jī)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行訓(xùn)練和提升，更能為九月份的全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

（四）第四階段，上機(jī)輔導(dǎo)

上機(jī)實(shí)際是穿插在整個(gè)學(xué)期的課程之中，每隔一周就有一次上機(jī)課程。課堂上教師要先給出上機(jī)問題，布置任務(wù)讓學(xué)生上機(jī)動(dòng)手操作實(shí)現(xiàn)各類建模方法。在機(jī)房進(jìn)行程序的輔導(dǎo)和答疑，讓學(xué)生理論結(jié)合實(shí)際，能夠快速掌握一些數(shù)據(jù)分析處理的技巧和模型算法的實(shí)現(xiàn)，從而更好地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和提高處理數(shù)據(jù)的能力。

四、結(jié)論

通過以上對(duì)數(shù)學(xué)建模的教學(xué)改革實(shí)踐與探索，極大地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促使學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，主動(dòng)探索。近幾年貴州大學(xué)參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的學(xué)生隊(duì)伍急劇增加，其中不乏一些突出的隊(duì)伍，也獲得了很好的成績(jī)。獲得獎(jiǎng)勵(lì)不是關(guān)鍵，關(guān)鍵是在這門課程的學(xué)習(xí)或者參加比賽的過程中，學(xué)生實(shí)實(shí)在在學(xué)到了知識(shí)，并且將知識(shí)和實(shí)際相結(jié)合，解決了實(shí)際問題，也改變了大多數(shù)大學(xué)生認(rèn)為某些課程學(xué)無所用的觀念。在這個(gè)過程中，學(xué)生獨(dú)立進(jìn)行思考，逐漸形成問題意識(shí)、分解意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)，這對(duì)于學(xué)生的人生是有利的，不管是在工作中或者在生活中。但數(shù)學(xué)建模課程的建設(shè)還有很長(zhǎng)的路要走，它要求教師實(shí)時(shí)地掌握目前盛行的大數(shù)據(jù)處理技術(shù)，以及學(xué)習(xí)新的算法，掌握大數(shù)據(jù)處理工具，包括Spark、Hadoop、Python，以及分布式處理技術(shù)等。借用姜伯駒院士曾說過的話“別把數(shù)學(xué)建模搞成‘建模數(shù)學(xué)”，人工智能時(shí)代一定是數(shù)學(xué)建模的黃金時(shí)代，要讓學(xué)生在此背景下快速地適應(yīng)并能夠抓住這樣的機(jī)遇，需要我們高校教師的共同努力與付出。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

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[責(zé)任編輯：劉鳳華]