重視操作，提升能力，感悟思想

孔忠偉 來曉春

對于平面圖形的面積復(fù)習(xí)（人教版五年級上冊第六單元“多邊形的面積”整理和復(fù)習(xí)P103-105），我們可以怎么復(fù)習(xí)呢？大家可能會想到面積公式的回顧、面積算法的優(yōu)化、面積公式的溝通等，因為這樣的思路在一些名師的課堂中已經(jīng)被演繹得非常精彩，而且也被廣大一線教師所接受和傳播。那么，我們希望傳承和突破的是什么？

一、設(shè)計理念

（一）基于畫圖回顧公式推導(dǎo)，感受知識聯(lián)系

學(xué)習(xí)本單元時，幾乎每節(jié)課都會用大量的時間，放手讓學(xué)生去研究圖形面積公式的推導(dǎo)過程，幾乎每個圖形的面積計算推導(dǎo)都有很多方法，學(xué)生基本能在積極主動的狀態(tài)下學(xué)習(xí)獲得。但往往在推導(dǎo)出面積計算方法后，我們就很少再去回顧復(fù)習(xí)這個過程，在平時的練習(xí)中，學(xué)生也很少去運用這樣的思想來解決問題，這非?？上А?/p>

所以在設(shè)計本課時，我們特別注重面積計算公式的回顧，設(shè)計了多種不同形式的操作，以任務(wù)驅(qū)動讓學(xué)生在操作練習(xí)過程中主動去回顧公式推導(dǎo)過程，感受幾個圖形面積之間不斷轉(zhuǎn)化的思想，領(lǐng)悟幾個圖形面積計算公式之間的聯(lián)系。比如：讓學(xué)生畫與已知長方形面積相等的其他圖形，學(xué)生在畫圖的過程中，自然就需運用轉(zhuǎn)化思想，逆向地去思考圖形面積公式推導(dǎo)過程，從而使學(xué)生感受圖形之間的緊密聯(lián)系，感受轉(zhuǎn)化的必要性，提升學(xué)生解決問題的能力。

（二）基于變式靈活計算面積，提升空間想象能力

能靈活計算圖形的面積是學(xué)生空間想象能力強的表現(xiàn)，但學(xué)生的靈活計算能力，不僅僅是割補等方法的運用，同時也需要引導(dǎo)學(xué)生利用圖形之間的關(guān)系來解決問題。在第二個教學(xué)板塊中，我們并沒有直接讓學(xué)生去計算，而是去掉了數(shù)據(jù)，讓學(xué)生找出眾多圖形中面積相同的圖形，繼續(xù)以任務(wù)驅(qū)動引導(dǎo)學(xué)生更加靈活的解決問題，主動利用兩個等面積卻形狀不同圖形之間的性質(zhì)關(guān)系來解決問題，從而幫助學(xué)生從更多的角度去思考，提升學(xué)生的空間想象能力。

（三）基于溝通圖形面積公式聯(lián)系，發(fā)展空間觀念

在復(fù)習(xí)課的教學(xué)中，把教科書學(xué)得越來越薄，是我們教學(xué)的重要目標之一。通過數(shù)形結(jié)合，不斷讓學(xué)生觀察、比較、歸納，溝通不同圖形之間的聯(lián)系，使學(xué)生感受到不同圖形變化中的“不變”，提升學(xué)生的空間觀念。本課中，我們在整體設(shè)計的基礎(chǔ)上，精心選擇了一些特殊梯形，通過變化，逐漸溝通梯形和這些圖形之間的聯(lián)系，并鼓勵學(xué)生從新的角度來看待這些圖形和面積計算公式，從而使學(xué)生深入了解各平面圖形之間的聯(lián)系，發(fā)展空間觀念。

基于以上理念，我們確定了本課的教學(xué)目標：

（1）通過學(xué)生自主解題嘗試，進行圖形面積公式梳理。

（2）經(jīng)歷畫一畫、找一找、算一算、想一想等數(shù)學(xué)活動，復(fù)習(xí)圖形面積公式之間的關(guān)系，提升學(xué)生靈活解決問題的能力。

（3）通過探究活動，感受數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、極限等思想，重新發(fā)現(xiàn)長方形、平行四邊形、三角形與梯形面積公式之間的新聯(lián)系，并嘗試解決一些問題。

二、教學(xué)過程

（一）在計算中復(fù)習(xí)平面圖形的面積公式

師：同學(xué)們，這些平面圖形認識嗎？你能計算它們的面積嗎？

生：4×6=24 cm2。

生：8×5=40 cm2。

生：6×5÷2=15 cm2。

生：（5+7）×4÷2=24 cm2。

師：剛才同學(xué)們都算得特別快，那么你們是根據(jù)什么來計算的呀？

生：公式。

師：那我們就來回顧一下這些面積公式。（板書公式）

【評析】通過學(xué)生對一些平面圖形面積的計算，讓學(xué)生主動運用面積公式解決問題，從而在不知不覺中簡單梳理回顧公式，復(fù)習(xí)舊知，激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣。

（二）在畫圖中感受圖形面積計算公式之間的聯(lián)系

1.畫出與長方形面積相等的其他圖形

師：看來，利用公式來計算面積，你們都沒有問題了，現(xiàn)在只剩下一個圖形，你能畫出與它面積相等的其他圖形嗎？

生：能。

師：老師這里有要求。畫出與長方形面積相等的平行四邊形、三角形或梯形，選擇其中一種畫一畫。

學(xué)生操作，教師收集學(xué)生畫的圖形。

2.探究所畫圖形與其他圖形的聯(lián)系

展示①：平行四邊形

師：你是怎么想的？來介紹一下。

生：我是把平行四邊形想成長方形來畫的。

師：原來，你是把平行四邊形補成了長方形。

展示②：三角形

師：你是怎么想的？

生：我是先用24乘2等于48，然后去想只要找到底和高相乘等于48的平行四邊形就可以了。

展示③：梯形

師：剛才畫梯形的同學(xué)很少，現(xiàn)在如果讓你繼續(xù)來畫梯形，你們會怎么思考？

生：可以先想成一個面積相等的平行四邊形，然后再找到它的一半就是梯形。

3.發(fā)現(xiàn)長方形、平行四邊形、三角形、梯形面積公式之間的聯(lián)系

師：剛才我們畫出這些圖形，現(xiàn)在如果讓你來選，你們覺得哪個最重要？

生：應(yīng)該是平行四邊形比較重要，因為畫三角形和梯形時，它們都轉(zhuǎn)化成了平行四邊形。

生：應(yīng)該是長方形比較重要，因為平行四邊形都要轉(zhuǎn)換成長方形，而且長方形是特殊的平行四邊形。

師：很好，我們在畫平行四邊形時可以通過割補轉(zhuǎn)換成長方形，而三角形和梯形都需要轉(zhuǎn)化成平行四邊形來思考，是啊，圖形之間有著緊密聯(lián)系。

【評析】通過讓學(xué)生畫一畫，讓學(xué)生在操作與介紹中，自主回顧公式的推導(dǎo)過程;在選一選中，讓學(xué)生討論最重要的圖形，再次讓學(xué)生主動回顧每個面積公式推導(dǎo)的過程。通過不同形式任務(wù)驅(qū)動學(xué)習(xí)，使學(xué)生在不知不覺中回顧了長方形、平行四邊形、三角形、梯形的面積計算公式的推導(dǎo)過程，溝通各種公式推導(dǎo)之間的聯(lián)系，從而使學(xué)生理解其中的轉(zhuǎn)化思想，鞏固相關(guān)的內(nèi)容。

（三）計算面積

1.在圖形中找面積相同的圖形

師：在沒有數(shù)據(jù)的情況下，你能找出面積相等的圖形嗎？

生：三角形ACD和三角形BCD面積相等。

生：長方形ACDB和平行四邊形CDGF面積相等。

生：三角形ACF和三角形BDG面積相等。

2.計算幾組復(fù)雜圖形的面積，并溝通聯(lián)系

師：同學(xué)們很厲害，沒有數(shù)據(jù)都能夠找到兩者之間的聯(lián)系，現(xiàn)在給出數(shù)據(jù)，你們能算出面積嗎？

第一題：如圖，求四邊形ECDA的面積。

生：（2+10）×4÷2=24 cm2。

生：2×4÷2=4 cm2，10×4÷2=20 cm2，4+20=24 cm2。

師：這兩種方法有哪些不同？

生：一種是把它看成一個大梯形，另一種是把它看成兩個三角形來計算。

師：嗯，如果讓這個三角形轉(zhuǎn)動起來，還可以看成什么圖形？

生：可以把一個小三角形翻轉(zhuǎn)一下，與另一個拼成一個大三角形。

第二題：如圖，求BO的長度。

生：我是用平行四邊形的面積減去涂色部分面積，然后求OD，最后用BD減去OD就等于BO的長度。

4×10-25=15cm2，15×2÷10=3cm，4-3=1cm。

師：非常好！你們聽懂了嗎？是的，可以先算出OD，再算OB。除了這個方法，還有其他的方法嗎？

生：我是利用兩個圖形的關(guān)系來計算，因為前面已經(jīng)知道這兩個梯形面積相等，所以可以直接用25×2÷10=5cm，這就是上底加下底的和，然后用5-4=1cm。

小結(jié)：我們可以利用公式來解決問題，也可以利用圖形之間的關(guān)系來解決問題。

【評析】在上面的教學(xué)中，先讓學(xué)生在無數(shù)據(jù)的情況下找一找，就是為了讓學(xué)生能夠利用圖形去判斷面積之間的關(guān)系，并能夠?qū)ふ颐娣e相等的圖形，然后讓學(xué)生算一算，引導(dǎo)學(xué)生從更多角度來靈活計算面積，提升學(xué)生的空間觀念。

（四）動態(tài)展示圖形間的關(guān)系

師：剛才我們一起計算了幾個梯形的面積，看來幾個梯形之間有著緊密的聯(lián)系，請你找一找，它們有什么聯(lián)系？

生：它們的面積相等，高也相等。

生：它們的上底與下底的和是相等的。

師：非常好?，F(xiàn)在老師要在上底2和3之間插一個這樣的梯形，你覺得會是怎樣的？

生：是一個上底是3，下底是9的梯形。

師：嗯。那如果在3號后面插一個呢？

生：是一個上底是1，下底是11的梯形。

師：為了讓大家看得更清楚，老師把這五個梯形放到黑板上。如果老師想在它們后面再繼續(xù)插入梯形，你們覺得還可以插嗎？

生：還可以插的。但會出現(xiàn)小數(shù)。

師：你能舉個例子嗎？

生：上底是0.5，下底是11.5。

師：好。還可以插嗎？（可以）插得完嗎？

生：插不完，可以有無數(shù)個。因為小數(shù)就可以有無數(shù)個。

師：是啊，那如果上底不斷小下去，最后會怎樣。

生：最后變成三角形。因為當(dāng)上底變成0時，就是三角形。（板書添上三角形）

師：哎！這時候就變成了三角形?？磥?，它們之間有著緊密的聯(lián)系。梯形與三角形有這樣的聯(lián)系，平行四邊形（包括長方形）與它們有聯(lián)系嗎？

生：當(dāng)上底和下底相等時，它們就變成了平行四邊形。

師：是啊，我們不但需要靈活計算平面圖形的面積，還要善于用聯(lián)系的眼光去看待以前學(xué)過的圖形，不斷去發(fā)現(xiàn)它們之間的聯(lián)系，從而幫助我們更好的解題。

【評析】溝通梯形與三角形、平行四邊形（含長方形）等圖形之間的聯(lián)系和面積公式的變化，不僅引導(dǎo)學(xué)生重視圖形之間的關(guān)系，同時也引導(dǎo)學(xué)生用聯(lián)系的眼光來審視舊知，促進學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)化，提升數(shù)學(xué)能力。

（浙江省杭州市濱文小學(xué)? ?311200浙江省杭州市濱江區(qū)教師進修學(xué)校? ?311200）