關(guān)于小學(xué)四則運(yùn)算的幾點(diǎn)思考

廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 伍溪燕

一、四則運(yùn)算基本定義

人教版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》四年級下冊給出的四則運(yùn)算定義如下：

1.把兩個數(shù)合成一個數(shù)的運(yùn)算，叫作加法。相加的兩個數(shù)叫作加數(shù)，加得的數(shù)叫作和。

2.已知兩個數(shù)的和與其中一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運(yùn)算，叫作減法。在減法中，已知的和叫作被減數(shù)，減法是加法的逆運(yùn)算。

3.求幾個相同加數(shù)的和的簡便運(yùn)算，叫作乘法。相乘的兩個數(shù)叫作因數(shù)，乘得的數(shù)叫作積。

4.已知兩個因數(shù)的積與其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運(yùn)算，叫作除法。在除法中，已知的積叫作被除數(shù)，除法是乘法的逆運(yùn)算。

二、關(guān)于四則運(yùn)算的幾點(diǎn)思考

1．四則運(yùn)算中為何要先學(xué)加法

人類發(fā)展史上，由于物物交換的需要，人們把交換雙方的物品一一對應(yīng)排列好，久而久之，人們便意識到舍棄物品的物理屬性后，物品依然有共同的屬性，即“數(shù)”，數(shù)的產(chǎn)生與形成是數(shù)學(xué)史的開端，其對人類文明的發(fā)展起到了非常重要的作用。認(rèn)知的歷史發(fā)生原理表明個體知識的發(fā)生過程遵循人類知識的發(fā)生過程。遷移到數(shù)學(xué)領(lǐng)域，就是說個體要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，應(yīng)該以認(rèn)識與學(xué)習(xí)“數(shù)”為開端。研讀小學(xué)教材發(fā)現(xiàn)，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的確以學(xué)習(xí)“數(shù)”為開端，并且是借助現(xiàn)實(shí)生活中的物體，由物抽象出“數(shù)”，再現(xiàn)了數(shù)學(xué)史上“數(shù)”的產(chǎn)生。研讀人教版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》一年級上冊發(fā)現(xiàn)，學(xué)生認(rèn)識“數(shù)”，是借助直觀的物，由物抽象出數(shù)，先認(rèn)識1～5，接著以生活場景為例介紹“分與合”，先學(xué)1～5的分與合，再學(xué)1～5的加與減。先學(xué)分，再學(xué)合，照此推斷應(yīng)該可以先學(xué)減法，再學(xué)加法，可事實(shí)卻非如此。因?yàn)榻滩闹锌此葡葘W(xué)“分”，實(shí)際上先學(xué)的依然是“合”。

上文中所說的“數(shù)”是我們現(xiàn)在稱之為“自然數(shù)”的數(shù)，而自然數(shù)的產(chǎn)生是加法思想萌芽的前奏。由“物”抽象出“數(shù)”，物越多，數(shù)越大，物是從無到有，從少到多，只有最少的“無”，而無最多的具體數(shù)量。也即有最小的自然數(shù)，而無最大的自然數(shù)。由“1”加“1”可得到“2”，“1”加“1”再加“1”可得“3”，以此類推可得到任何自然數(shù)。但因?yàn)樽匀粩?shù)的個數(shù)有無窮多個，所以找不到最大的自然數(shù)，然后減“1”，一個個減而得到剩余的自然數(shù)。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要先學(xué)習(xí)“數(shù)”，而“數(shù)”的認(rèn)識中已蘊(yùn)含了加法思想，自然數(shù)個數(shù)的無窮性決定了“數(shù)”的認(rèn)識中不可能由減法開始，所以四則運(yùn)算中先學(xué)加法，后學(xué)減法是必然的。

2．除法的定義中是否有必要體現(xiàn)“平均分”

用乘法的逆運(yùn)算定義除法，可借助表內(nèi)乘法口訣方便求解表內(nèi)除法運(yùn)算，于計(jì)算帶來了很大的便利，卻也同時遮住了除法的本質(zhì)。在人教版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》二年級下冊“除法的初步認(rèn)識”中，以“將6顆糖分成3份，有三種分法，其中，2，2，2為平均分”來引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識除法，即除法的現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)是平均分。用乘法的逆運(yùn)算定義除法，未能直接體現(xiàn)“平均分”這一本質(zhì)。相比于用“平均分”來定義除法，其加深了除法的抽象程度，并不利于低年級學(xué)生理解與學(xué)習(xí)除法。但若只是用“平均分”來定義除法，則會給計(jì)算帶來很大的困難。因此，是否可以考慮用“平均分”來定義除法的同時挖掘除法與乘法的聯(lián)系？比如，把除法定義為“把一個數(shù)平均分成幾個數(shù)的運(yùn)算”或者“把一個數(shù)分成幾個相同數(shù)的簡便運(yùn)算”，乘法是求幾個相同加數(shù)的和的簡便運(yùn)算，也即是把幾個相同的數(shù)合成一個數(shù)的運(yùn)算，而若按前面所說，除法是“把一個數(shù)分成幾個相同數(shù)的簡便運(yùn)算”，則乘、除法依然互為逆運(yùn)算，依舊可借助表內(nèi)乘法求解表內(nèi)除法運(yùn)算，既能體現(xiàn)除法本質(zhì)，又便于計(jì)算。

3．除法的定義中是否需要體現(xiàn)與減法的聯(lián)系

在人教版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》四年級下冊給出四則運(yùn)算定義前，小學(xué)生學(xué)習(xí)減法都是以“分”為基礎(chǔ)，除法的本質(zhì)是“平均分”，是特殊的“分”，也即除法是特殊的減法。乘法的定義是求幾個相同加數(shù)的和的簡便運(yùn)算，減法是加法的逆運(yùn)算，用乘法的逆運(yùn)算定義除法，除法與減法仍有聯(lián)系，但卻未能很好地體現(xiàn)出除法是“特殊的減法”這一點(diǎn)。除法與減法的這種聯(lián)系對教學(xué)來說是重要的，比如除法豎式的演變，減法豎式可能是最早的源頭之一，比如21÷7=3的羅馬數(shù)字豎式如圖1所示，除法豎式是小學(xué)最難理解的內(nèi)容之一，相比傳統(tǒng)教學(xué)，換種角度，以減法來促進(jìn)對除法的理解，可能會事半功倍。

圖1

四則運(yùn)算是數(shù)學(xué)計(jì)算的基礎(chǔ)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中占有重要地位，通過對小學(xué)課本的研讀、對相關(guān)資料的查閱，提出有關(guān)四則運(yùn)算的幾點(diǎn)不成熟的思考，分別是對四則運(yùn)算中為何先學(xué)加法的思考，對除法定義的有關(guān)思考等。期望通過思考，加深對四則運(yùn)算的理解，更好地指導(dǎo)教學(xué)。