基于深入解析“錯(cuò)例”下的數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計(jì)

徐晗

摘 要：“圖形與幾何”是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)領(lǐng)域不可缺少的重要組成部分。聚焦作業(yè)，發(fā)現(xiàn)小學(xué)高段學(xué)生在“圖形與幾何”領(lǐng)域存在著一些共性問題。分析原因，根據(jù)不同類型的作業(yè)提出了有針對(duì)性的習(xí)題設(shè)計(jì)策略，從而發(fā)展學(xué)生的空間，想象力和空間思維能力，提升習(xí)題設(shè)計(jì)的有效性。

關(guān)鍵詞：圖形與幾何；習(xí)題設(shè)計(jì)；空間觀念

一、現(xiàn)象與歸因

“圖形與幾何”是數(shù)學(xué)四個(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域之一，其核心是要發(fā)展學(xué)生空間觀念，內(nèi)容較抽象，僅依靠課堂教學(xué)是不夠的。學(xué)生要通過觀察、操作、想像、交流、推理等一系列活動(dòng)，化抽象為具體。二年來，通過對(duì)錯(cuò)題的分析發(fā)現(xiàn)學(xué)生的錯(cuò)誤主要是有兩個(gè)層面。

（一）知識(shí)能力層面

1.概念不清

在將直觀物體抽象成立體圖形的過程中，我們常忽視概念本質(zhì)的構(gòu)建，導(dǎo)致部分學(xué)生概念不清，沒有真正建立起正方體的概念，只憑借巳有經(jīng)驗(yàn)，考慮二維平面上4個(gè)小正方形可拼成一個(gè)較大的正方形，忽視了立體圖形屬于三維空間。

2.理解不深

在求圓環(huán)面積時(shí)，公式記憶混亂，誤認(rèn)為是圓周率乘外圓半徑與內(nèi)圓半徑的差的平方，或認(rèn)為兩個(gè)數(shù)的平方差和差的平方的結(jié)果是一樣的。

3.轉(zhuǎn)化困難

由長(zhǎng)方形紙轉(zhuǎn)化到長(zhǎng)方體，在轉(zhuǎn)化過程中，學(xué)生不能將平面圖形中的條件與長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高很好地對(duì)應(yīng)起來，所以較多的同學(xué)做錯(cuò)了。

（二）學(xué)習(xí)習(xí)慣層面的

1.思維不嚴(yán)謹(jǐn)

部分學(xué)生做這題是蒙的。認(rèn)為題中缺少高，面積無法判斷，也有學(xué)生認(rèn)為如果7厘米和5厘米分別是它的底和高。這些學(xué)生在思考時(shí)忽視了在拉動(dòng)平行四邊形的過程中，平行四邊形的一條邊不變，當(dāng)另一條與它垂直時(shí)，另一條邊就成了它的高，此時(shí)它的面積是最大的。

2.畫錯(cuò)草

學(xué)生畫錯(cuò)草圖，把內(nèi)圓半徑當(dāng)作了外圓半徑。一個(gè)好的草圖是可以幫助理解題意，找出解題關(guān)鍵的。

3.忽視隱含條件

根據(jù)長(zhǎng)方體平面展開圖求長(zhǎng)方體體積，轉(zhuǎn)換中，孩子不清楚長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別對(duì)應(yīng)著平面圖中哪些線段。

4.忽略實(shí)際情況

在思維定式影響下學(xué)生用以前的經(jīng)驗(yàn)：盒子容積除以小正方體體積求出個(gè)數(shù)。而實(shí)際由于長(zhǎng)方體長(zhǎng)和寬都不是2的整數(shù)倍，所以無法放到邊。

5.審題不清

學(xué)生沒有仔細(xì)審題，題目中要求過點(diǎn)A做直線m的垂線，過點(diǎn)A做直線n的平行線。而學(xué)生都做了過點(diǎn)A做直線m、n的垂線。

那么我們?nèi)绾螐膶W(xué)生的作業(yè)練習(xí)中發(fā)展學(xué)生空間想象力、訓(xùn)練學(xué)生思維能力？我們通過研究，嘗試改變作業(yè)形式，提高學(xué)生能力。

二、“圖形與幾何”作業(yè)有效設(shè)計(jì)架構(gòu)

“圖形與幾何”習(xí)題設(shè)計(jì)要求從注重人的未來發(fā)展、個(gè)性發(fā)展和全面發(fā)展角度去考慮，讓學(xué)生通過自己的親身體驗(yàn)感悟，在模擬知識(shí)被發(fā)現(xiàn)的過程中去探索、去創(chuàng)造，使作業(yè)成為學(xué)生開發(fā)潛能、體現(xiàn)個(gè)性和培養(yǎng)能力的場(chǎng)所，要把握以下要領(lǐng)：

三、“圖形與幾何”作業(yè)的有效設(shè)計(jì)

（一）鞏固型作業(yè)

常在課堂上教過某種技能和程序后進(jìn)行。單純模仿和重復(fù)練習(xí)的題目較多，這種類型的作業(yè)一般情況下較乏味，因而教師在設(shè)計(jì)過程中應(yīng)多注意練習(xí)的靈活性及多樣性，盡可能根據(jù)學(xué)生的不同請(qǐng)況設(shè)計(jì)練習(xí)。

1.層層遞進(jìn)，形成序列

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，如果一開始就做難度較大的題目，有的孩子就會(huì)產(chǎn)生畏難情緒。我們根據(jù)知識(shí)點(diǎn)設(shè)計(jì)序列題目，有利于孩子更好地理解知識(shí)點(diǎn)，建立學(xué)習(xí)的信心。

組成等腰三角形條件“兩邊之和大于第三邊，且兩條邊是相等的”。據(jù)此分析表格中各組的小棒：第一組有兩條邊相等，但不滿足兩邊之和大于第三邊；第四組不滿足有兩條邊相等的條件。

2.變化要素，突出本質(zhì)

有的知識(shí)點(diǎn)學(xué)生看似掌握，但一遇到變化就不會(huì)解決，我們需要改變關(guān)鍵要素，便于學(xué)生深入掌握知識(shí)，凸顯知識(shí)本質(zhì)。如，四年級(jí)畫垂線，可以設(shè)計(jì)以下練習(xí)：

（1）過直線上一點(diǎn)畫已知直線的垂線。

（2）過直線外一點(diǎn)畫已知直線的垂線。

（3）過直線外一點(diǎn)畫已知直線的垂線（點(diǎn)在直線的延長(zhǎng)線上）。

（4）過已知點(diǎn)B作角兩邊的垂線（第（1）題的點(diǎn)B在角內(nèi)，第（2）題的點(diǎn)B在角兩邊的延長(zhǎng)線內(nèi)）。

思考：通過分析明白這個(gè)練習(xí)的差別在哪里？特別是第（3）題，這個(gè)點(diǎn)在直線的延長(zhǎng)線上，只需將直線延長(zhǎng)即可；而第（4）題就是通過一點(diǎn)分別畫兩條直線的垂線；第（1）（2）題的差別也只是點(diǎn)的位置不同而已。學(xué)生通過這些姐妹題，明白了畫垂線的關(guān)鍵在于通過哪個(gè)點(diǎn)畫哪條直線的垂線，牢牢抓住畫垂線的要領(lǐng)即可。

3.分層設(shè)計(jì)，拓寬范圍

對(duì)于同一知識(shí)點(diǎn)，我們可以設(shè)計(jì)不同層次的題目，每個(gè)孩子可以根據(jù)自身的情況，選擇合適的題目，體現(xiàn)數(shù)學(xué)分層學(xué)習(xí)的需要，使每個(gè)人在不同層次上有不同的發(fā)展。

思考：這三道題都是正方形與內(nèi)接或外切圓的位置關(guān)系，求組合圖形的面積。三道題由易到難層層深入，學(xué)生可以通過對(duì)前面題目的解決有所領(lǐng)悟，從而得到啟發(fā)，融會(huì)貫通，解決后面的題目。

4.相互關(guān)聯(lián)，聚焦思想

圖形與幾何的學(xué)習(xí)體現(xiàn)了一些核心的數(shù)學(xué)思想，我們可以圍繞一個(gè)數(shù)學(xué)思想編寫一系列的題目，幫助學(xué)生深刻地理解它。

思考：這5個(gè)圖形的空白部分面積看起來完全不一樣，但是學(xué)生經(jīng)過求證以后發(fā)現(xiàn)，空白部分的面積都是等于13.76平方厘米。這就引起學(xué)生的思考，空白部分的面積為什么會(huì)一樣，其中蘊(yùn)含著怎樣的數(shù)學(xué)奧秘呢？

（二）探究型作業(yè)

1.利用畫圖，解決問題

畫圖是問題解決中常用的一種思考策略，是培養(yǎng)思維能力的有效途徑。心理學(xué)研究表明，小學(xué)生的思維處于以具體形象思維為主逐漸向抽象思維的過渡期。畫圖可以直觀地把條件和問題呈現(xiàn)出來，有利于發(fā)展學(xué)生的空間想象力，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。如：“圓柱圓錐”的練習(xí)課中，我設(shè)計(jì)了這樣的練習(xí)。

一個(gè)長(zhǎng)為4厘米，寬為3厘米的長(zhǎng)方形。分別以長(zhǎng)和寬為軸旋轉(zhuǎn)一周，分別得到了一個(gè)什么立體圖形，這個(gè)立體圖形的側(cè)面積、表面積、體積分別是多少？

思考：通過畫草圖，學(xué)生直觀看到以長(zhǎng)方形的哪條邊旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的邊就是圓柱體的高，另一邊為圓柱的底面半徑，把抽象的平面圖形轉(zhuǎn)化為較為具體的立體圖形，有效地發(fā)展了學(xué)生的空間觀念，培養(yǎng)學(xué)生的思維力。

在“圓錐的體積”的練習(xí)課中，我設(shè)計(jì)了以下題目：

一個(gè)直角三角形的兩條直角邊分別為4厘米和3厘米。分別以這個(gè)三角形的兩條直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，分別得到了一個(gè)什么立體圖形，這個(gè)立體圖形的體積分別是多少？

2.重視觀察，解決問題

空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體，想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系，描述圖形的運(yùn)動(dòng)變化，依據(jù)語言的描述畫出圖形等。我們?cè)陬}目的設(shè)計(jì)上要有效體現(xiàn)這一點(diǎn)。

下圖中，不能由圖（1）經(jīng)過一次平移或旋轉(zhuǎn)得到的是（ ）。

思考：圖形的平移與旋轉(zhuǎn)不會(huì)改變圖形的形狀和各部分相對(duì)位置。

3.有效推理，解決問題

推理能力是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要培養(yǎng)的核心要素之一，我們?cè)O(shè)計(jì)這類題目，讓孩子在觀察、想象、推理中提升孩子的數(shù)學(xué)能力。

思考：要求每顆玻璃球的體積范圍，可以先求出4顆玻璃球的體積最多是多少以及5顆玻璃球的體積最少是多少。因?yàn)楸永锷仙糠炙捏w積就是杯子里放入的玻璃球的體積，根據(jù)題意可得4顆玻璃球的最多體積和5顆玻璃球的最少體積應(yīng)是500-300=200（cm3），進(jìn)而推測(cè)出每顆玻璃球體積的取值范圍。

（三）驗(yàn)證型作業(yè)

猜想與驗(yàn)證是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效手段。通過驗(yàn)證，既再現(xiàn)了數(shù)學(xué)結(jié)論的形成過程，又讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識(shí)的嚴(yán)謹(jǐn)。

例如：假如給你一根16厘米長(zhǎng)的繩子，圍成不同的長(zhǎng)方形（邊長(zhǎng)為整厘米數(shù)），哪一種圍法面積最大。

在通過操作得出“長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)一定，長(zhǎng)與寬越接近，長(zhǎng)方形的面積越大”后，有的學(xué)生推測(cè)，“面積一定，長(zhǎng)與寬越接近周長(zhǎng)越短”；還有的學(xué)生推測(cè)：“棱長(zhǎng)總和一定，長(zhǎng)寬高越接近，體積越大”。我就讓孩子進(jìn)行了驗(yàn)證活動(dòng)。

思考：因?yàn)檎n堂上有了對(duì)周長(zhǎng)一定，長(zhǎng)與寬越接近面積越大這一推導(dǎo)過程，很多學(xué)生在正遷移的作用下，學(xué)會(huì)了自己推導(dǎo)。學(xué)生對(duì)于自己的推導(dǎo)特別感興趣。

（四）操作型作業(yè)

新課標(biāo)指出：有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，不能單純依賴模仿和記憶，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要形式。心理學(xué)研究表明：小學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律由操作把握到圖象到符號(hào)把握，即先有感知到表象再到抽象的過程，操作活動(dòng)是學(xué)生認(rèn)知的基礎(chǔ)。

例如，在初步認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、梯形、三角形等平面圖形的基礎(chǔ)上，可以利用學(xué)具袋中的七巧板按要求擺一擺：如分別利用2塊、3塊、4塊……七巧板擺出梯形、平行四邊形，并在微信群中展示。這些活動(dòng)既讓孩子感受到了數(shù)學(xué)的神奇，激發(fā)了孩子的好勝心，同時(shí)也讓空間觀念在孩子的心里生根發(fā)芽。

四、成效與反思

在通過有效習(xí)題的練習(xí)后，學(xué)生學(xué)會(huì)了用幾何直觀把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單問題，不急于給出答案，在觀察、操作、想象、分析等活動(dòng)中不僅強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)基本概念、物體的幾何特征、計(jì)算公式的理解和靈活運(yùn)用，也培養(yǎng)了學(xué)生的空間觀念、空間想象能力和推理能力，同時(shí)也提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)水平。為此我們特意對(duì)實(shí)驗(yàn)班在五年級(jí)下學(xué)期和六年級(jí)下學(xué)期進(jìn)行了“圖形與幾何”的兩次專項(xiàng)測(cè)試，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行了前后對(duì)比。

從檢測(cè)結(jié)果看，實(shí)驗(yàn)班的平均分和標(biāo)準(zhǔn)差都有明顯進(jìn)步。這說明在實(shí)驗(yàn)班實(shí)施有效的作業(yè)布置后，“圖形與幾何”方面學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)有明顯提高。

編輯 魯翠紅