二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用

摘 要：二次函數(shù)是數(shù)學(xué)教學(xué)中最重要的概念之一，它連接著初中、高中、大學(xué)這一條主線。利用二次函數(shù)解決實(shí)際生活中的問題時(shí)，可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、方程思想等對(duì)問題進(jìn)行簡(jiǎn)單化處理，將抽象問題具體化、形象化，在解答問題的時(shí)候更加得心應(yīng)手。不僅提高了學(xué)生分析問題、解決問題的能力，而且將函數(shù)思想與現(xiàn)實(shí)生活緊密地聯(lián)系在一起，使學(xué)生對(duì)函數(shù)的學(xué)習(xí)更加感興趣。

關(guān)鍵詞：二次函數(shù)；應(yīng)用；數(shù)形結(jié)合

引言

本文運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想將二次函數(shù)問題與現(xiàn)實(shí)問題有效的結(jié)合起來，研究問題新穎、有特點(diǎn)，不僅提高了他們的學(xué)習(xí)興趣，而且加強(qiáng)了學(xué)生分析和解決問題的能力。使二次函數(shù)思想與現(xiàn)實(shí)生活緊密的結(jié)合在一起，而不是空談理論。

一、 二次函數(shù)在橋梁建筑中的應(yīng)用

在我們?cè)诼糜蔚倪^程中，經(jīng)常會(huì)見到一些石拱橋，這些橋的建造體現(xiàn)了古代人的智慧。石橋的斗拱大多數(shù)都運(yùn)用了拋物線的形狀，其自然而然會(huì)用到有關(guān)二次函數(shù)的知識(shí)。如下例：

趙州橋的橋拱呈拋物線型，正常水位時(shí)拱橋下面水寬8米，水面到拱頂?shù)木嚯x為4米。

（1）如圖，求該圖形的函數(shù)解析式。

（2）在水深為1米時(shí)，此刻水位處于正常水位?，F(xiàn)要求輪船通過時(shí)，與橋身無任何接觸。橋下水面的寬度不能寬于6米，求水深到達(dá)多少米時(shí)會(huì)影響輪船正常航行？

解：（1）設(shè)該拋物線的函數(shù)解析式為y=ax2，將A（-4，-4），C（4，-4）代進(jìn)y=ax2中，解得

a=-14，則該函數(shù)解析式為y=-14x2

（2）設(shè)水深到達(dá)h米時(shí)會(huì)影響輪船正常航行

當(dāng)x=3時(shí)，有y=-2.25，則h=4+1-2.25=2.75（米），所以水深到達(dá)2.75米的時(shí)候就會(huì)影響船只正常航行。

二、 二次函數(shù)在銷售定價(jià)中的應(yīng)用

在產(chǎn)品銷售過程中產(chǎn)品單價(jià)影響產(chǎn)品銷量，從而影響著銷售利潤(rùn)。要想獲得最大利潤(rùn)，我們就必須要探索和解決產(chǎn)品的銷售定價(jià)和銷售量、成本等不同因素之間的關(guān)系。因此，我們需要運(yùn)用二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)來解決此類問題。如下：

某商場(chǎng)銷售皮褲，每條皮褲的成本是50元。在試銷階段，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)皮褲單價(jià)為70元時(shí)，每日的銷售量是300條；如果每條皮褲價(jià)格提高1元，則每日少出售10條皮褲。

（1）一天內(nèi)，每條皮褲賣x（元），皮褲所得收益為y（元），求它們之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）要求皮褲每日的收益達(dá)到頂峰，求皮褲的銷售單價(jià)、最大利潤(rùn)；

（3）每條皮褲收益不超過50元，每天的總成本不高于2000元。滿足以上兩個(gè)條件，求銷售該皮褲每天所獲得的最大利潤(rùn)。

解：（1）y=（x-50）[300-10（x-70）]

=（x-50）（1000-10x）

=-10x2+1500x-50000

答：該函數(shù)的關(guān)系式為：y=-10x2+1500x-50000

（2）y=-10x2+1500x-50000

因?yàn)閍=-10<0，所以拋物線開口向下，函數(shù)取得最大值

當(dāng)x=75時(shí)，y最大=6250

答：皮褲的銷售單價(jià)是75元，最大利潤(rùn)是6250元。

（3）因?yàn)樵撈ぱ澝刻斓目偝杀静桓哂?000元

所以50[300-10（x-70）]≤2000，解得x≥96

又因?yàn)槊考匿N售價(jià)格不能高于100元，則96≤x≤100

因?yàn)閷?duì)稱軸x=75，所以當(dāng)x=96時(shí)，y有最大值，y最大=1840。

答：銷售該皮褲每天所獲得的最大利潤(rùn)為1840元。

三、 二次函數(shù)在物理學(xué)中的應(yīng)用

二次函數(shù)在物理運(yùn)動(dòng)學(xué)中有很多應(yīng)用。比如自由落體、位移、直線加速運(yùn)動(dòng)、動(dòng)能等。有時(shí)它雖不如物理方法來得簡(jiǎn)單直觀，但一些對(duì)物理情景較難想象的同學(xué)利用二次函數(shù)解決問題未嘗不是一種有效的解決方法。例如：

將一個(gè)球以一定角度斜拋，它的運(yùn)動(dòng)軌跡呈拋物線。如圖，當(dāng)球的水平分位移為20米時(shí)。此時(shí)，球達(dá)到最高，高度為10米。求：

（1）球運(yùn)動(dòng)路線的函數(shù)關(guān)系式和自變量的取值范圍；

（2）當(dāng)球距離地面為6米時(shí)，球離拋物線的水平距離為多少？

解：（1）設(shè)函數(shù)的解析式為y=a（x-b）2+c（a≠0）

由題意得：b=20，c=10，則y=a（x-20）2+10

將（0，0）點(diǎn)代入上式，得：0=400a+10，解得a=-140

答：球運(yùn)動(dòng)路線的函數(shù)關(guān)系式為y=-140（x-20）2+10（0≤x≤40）

（2）當(dāng)y=6時(shí)，得：-140（x-20）2+10=6，解得x1=20+410，x2=20-410

答：當(dāng)球距離地面為6米時(shí)，球離拋物線的水平距離為x1=20+410米或x2=20-410米。

結(jié)語

在生活中，我們經(jīng)常會(huì)遇到與二次函數(shù)有關(guān)的實(shí)際問題，想要利用二次函數(shù)去解決這些問題，關(guān)鍵法寶就是要熟練掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)和特點(diǎn)，例如，掌握好二次函數(shù)中如何求最大值，最小值，可以幫助我們解決生活中關(guān)于求最優(yōu)、最省的實(shí)際問題，而二次函數(shù)中定義域，值域等性質(zhì)可以幫助我們確定問題中數(shù)據(jù)的取值范圍，讓我們能夠更精準(zhǔn)地求解出問題的答案。二次函數(shù)的圖像特點(diǎn)，可以把實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系通過圖像的方式更直觀地呈現(xiàn)出來，數(shù)形結(jié)合，讓我們可以更清楚地看到數(shù)量之間的關(guān)系，從而幫助我們更快速，更準(zhǔn)確地求解出問題的答案。本研究主要采用的是變量學(xué)說，主要運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合思想。相比于方程思想，數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用更廣泛，研究的問題比較新穎，可以把抽象的函數(shù)問題具體化、形象化，將函數(shù)思想真正的運(yùn)用到實(shí)際生活中去。學(xué)生在解答此類函數(shù)問題的時(shí)候更加運(yùn)用自如。不僅僅提高了學(xué)生分析問題、解決問題的能力，而且讓學(xué)生對(duì)函數(shù)的學(xué)習(xí)更加感興趣。

作者簡(jiǎn)介：周曉鳳，四川省南充市，西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院。