微積分中不等式證明的常用方法

摘 要：不等式的證明歷來是微積分學(xué)習(xí)中的難點，學(xué)生看到證明題就害怕，更是無從下手。本文總結(jié)了微積分課程中常見的證明不等式的方法，通過對比總結(jié)，讓學(xué)生做到心中有數(shù)，順利解決不等式的證明。

關(guān)鍵詞：不等式；證明；方法

基金項目：西北政法大學(xué)教學(xué)改革研究項目““互聯(lián)網(wǎng)+”背景下文科數(shù)學(xué)課程模塊化教學(xué)改革研究”（項目編號：XJY201821）。

微積分是經(jīng)濟(jì)類、管理類學(xué)生所學(xué)的必修課，通過微積分的學(xué)習(xí)可以讓學(xué)生正確領(lǐng)會一些重要的數(shù)學(xué)思想方法，提高抽象思維和邏輯推理的能力。而不等式的證明對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力有較高的要求，使得很多同學(xué)掌握起來倍感困難。微積分中常見的不等式的證明很少用到求差、求商及用公式等初等的方法，更多的是和微積分中的知識點結(jié)合在一起，需要綜合各個知識點完成命題。本文介紹了幾種常見的不等式的證明方法，希望對同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助。

1 利用單調(diào)性證明不等式

例1：設(shè) ，試證： 。

析：討論在大小關(guān)系的自變量對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系時，常常會用到單調(diào)性.首先給不等式做必要的變形，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)及對應(yīng)區(qū)間，利用導(dǎo)數(shù)判斷在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，與端點處的值作比較，確定不等關(guān)系完成證明。

證：要證明 ，即證 ，可轉(zhuǎn)化為 。

因此可構(gòu)造輔助函數(shù)為 ， ，由于

在 上連續(xù)可導(dǎo)，且 ，故函

數(shù) 在 上單調(diào)減少，故有當(dāng) 時， 成立，即

成立，因此 成立，原不等式得證。

2 利用極值、最值證明不等式

例2：試證： ， ，試證： .

析：利用極值和最值證明不等式的方法與單調(diào)性證法相似，只不過此處的輔助函數(shù)比較多不是函數(shù)在區(qū)間的端點，而是極值和最值.

證：設(shè) ，則 ，令 可得惟一的駐點 ，則當(dāng) 時 ；當(dāng) 時 ，從而 是 在 內(nèi)的極大值也是最大值，即有 ，移項可得 ，原不等式得證.

3 利用函數(shù)的凹凸性證明不等式

例3：設(shè) ， ，試證： 。

析：利用凹凸性證明不等式時主要尋找平均值和中值的變量表達(dá)形式，從而建立不等關(guān)系，完成證明。

證：不等式兩邊同時除以2，即， ，

左邊 是函數(shù) 在 兩點處的平均值；

右邊 是 在中點 處的函數(shù)值。故證明不等式

只需證明 即可。

由于 ， ，故 ，則有

，故有 ，原不

等式得證。

4 利用拉格朗日中值定理證明不等式

例4：若 ，試證 。

析：不等式 的兩邊出現(xiàn)了函數(shù)和自身一階導(dǎo)數(shù)形式，可以考慮用連接函數(shù)和一階導(dǎo)數(shù)關(guān)系的拉格朗日中值定理。

證：對于任意的數(shù) ，取函數(shù) 在 上滿

足連續(xù)可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理可知 ，使得

。在 上，導(dǎo)數(shù) 是單調(diào)增加的，即

有 ，故有 ，

則 ，不等式同時乘以 ，即為

，原不等式得證。

5 利用泰勒公式證明不等式

例5：設(shè) ，且 ，試證：

析：討論函數(shù)和變量之間的關(guān)系時，泰勒公式是最佳方法，只有泰勒公式連接了函數(shù)和各階導(dǎo)數(shù)與變量的關(guān)系.

證：由于 ，可知 ；又由 的連續(xù)性知

。故由導(dǎo)數(shù)的定義知： 。因

此有 在 處的泰勒展開式：

因為 ， ，所以 ，于是 ，原不等式得證。

6 利用定積分定義證明不等式

例6：設(shè) 在 上連續(xù)，且 ，試證： 。

析：函數(shù)不能穿過積分符號，構(gòu)造輔助函數(shù)并非一個函數(shù)可以完成，與積分相關(guān)的就可以考慮定積分的定義.

證：不等式兩邊同時取以 為底的指數(shù)函數(shù)，不等式變形為 ，由定積分定義知：

（1）

（2）

（1）式中的函數(shù)是n個正數(shù)的算術(shù)平均值，（2）式中的函數(shù)是這些正數(shù)的幾何平均值，由于 ，由極限保號性

知（1）式大于等于（2）式，故有 ，即 ，原不等式得證。

7 利用定積分計算方法證明不等式

7.1 利用換元積分法

例7：設(shè) 在 上連續(xù)且遞減，證明：當(dāng) 時 。

析：觀察不等式左右形式相似，只差一個參數(shù)，而參數(shù)可以通過還原完成轉(zhuǎn)化，確定用換元法完成證明。

證：令 ，則 ，又因

為 在 上單調(diào)遞減，且 ，故 ， ，因而

，故有

7.2 利用分部積分法

例8：試證： 。

析：觀察不等式的左右兩邊，發(fā)現(xiàn)被積函數(shù)與不等式右邊解析式的關(guān)系，確定用分部積分直接計算完成證明.

證：由分部積分法可得：

故原不等式得證。

8 利用變上限函數(shù)證明不等式

例9：設(shè) 是 上的單調(diào)增加的連續(xù)函數(shù)，試證 。

析：變上限函數(shù)證明不等式時主要是找一個合適的變上限函數(shù)作為輔助函數(shù)，這個不等式左右有變量的產(chǎn)生，能夠產(chǎn)生變量的方法中變上限積分最常用。

證：構(gòu)造輔助函數(shù)

因為

所以 在 上的單調(diào)減少，即有 ，

特別有 ，即

以上是微積分中常見的解決不等式證明的方法，要想熟練掌握不等式的證明，除了要理解掌握上述方法，還需要準(zhǔn)確掌握每個方法中對應(yīng)的知識點，做到靈活應(yīng)用，希望這些方法對同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助。

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作者簡介

齊瓊（1981-），女，漢族，陜西延安人，講師，理學(xué)碩士，西北政法大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，研究方向：高等數(shù)學(xué)教學(xué)與研究。