一題多變在初中幾何教學(xué)中的應(yīng)用

摘 要：一題多變即變式練習(xí)，指有計(jì)劃地對命題進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)換，以突出對象本質(zhì)屬性的教學(xué)方法，其憑借對學(xué)生思維的靈活鍛煉和促進(jìn)學(xué)生在習(xí)題解決實(shí)踐中掌握重點(diǎn)理論知識的作用而在數(shù)學(xué)有效教學(xué)方法中占據(jù)一席之地。平面幾何是初中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的重要構(gòu)成部分，亦是學(xué)生進(jìn)入更深入立體幾何模塊的開始和培養(yǎng)其空間想象能力的前奏。而一題多變則依靠其適應(yīng)平面幾何由可變性的條件、結(jié)論、圖示構(gòu)成的優(yōu)點(diǎn)而成為一種針對此模塊有效的教學(xué)方法。

關(guān)鍵詞：一題多變；幾何教學(xué)；應(yīng)用

一題多變必得有可變的因素，在總的對構(gòu)成平面幾何題目的條件、結(jié)論、圖示三要素進(jìn)行變動的背景下，教師可將此變式方式以對象本質(zhì)考察為中心，按照學(xué)生理解力的遞進(jìn)規(guī)律、觸及知識范圍的擴(kuò)展和逐層遞進(jìn)式的揭示的標(biāo)準(zhǔn)分為由淺到深、由窄到寬、由表到里的變式訓(xùn)練。

一、 由淺到深——依據(jù)解法關(guān)卡量的增加變式

由淺到深是人類思維的基本規(guī)律，亦適用于學(xué)生對某一知識的逐級內(nèi)化過程。對于剛剛接觸幾何理論的初中學(xué)生而言，對應(yīng)幾何規(guī)律進(jìn)行簡單直接的兩三步證明是其應(yīng)具有的接受初態(tài)。但隨著學(xué)習(xí)的深入和幾何圖示的漸趨復(fù)雜和題目所給條件的逐漸減少，其對學(xué)生看圖、辨圖、識圖和思辨能力的要求則不斷提高，得出正確解法所需要的難點(diǎn)關(guān)卡量和證明步驟則相應(yīng)增多。所以，教師應(yīng)依照此積極對學(xué)生進(jìn)行變式訓(xùn)練，以促進(jìn)學(xué)生對幾何知識的深度理解與整合能力的提高，并為其之后接受立體幾何及更高層次幾何學(xué)知識奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

例如：在“全等三角形”的變式訓(xùn)練中，我便按照解法得出關(guān)卡量漸增的規(guī)則對原始題目中的條件或所需證明的結(jié)論進(jìn)行改變，以增加學(xué)生思維的深度和提高其靈活看待問題的意識能力。我設(shè)計(jì)的原始題目為：如圖1，AB⊥DC于B，且BD=BA，BE=BC。求證：DE=AC。

在這里，學(xué)生只需對全等三角形SAS的判定定理和“全等三角形對應(yīng)邊相等”的性質(zhì)定理進(jìn)行直接運(yùn)用，便可輕松求證，這是對學(xué)生全等知識的第一步、最簡單的考查。在此之后，我將其變式為：如圖1，AB⊥DC于B，且BD=BA，BE=BC。求證：DE⊥AC。

在這里，題目中的原始條件并未發(fā)生改變，但所要求證明結(jié)論的得出，需要在原始題目解題步驟基礎(chǔ)上增加證明DE⊥AC的步驟，即在完成△ABC≌△BDE的論證過程后，延長DE交AC于點(diǎn)F，證明在△AEF中，∠A+∠AEF=90°，利用全等三角形對應(yīng)角∠A和∠D相等，及作為對頂角的∠BED和∠AEF相等，得出∠DBE=∠AFE=90°即可。這是對原始題目的延伸變式，此能夠通過學(xué)生在證明三角形全等之后進(jìn)行的關(guān)乎對頂角性質(zhì)和三角形內(nèi)角和的思考促進(jìn)其思維深度的提升。在此之后，我對此題進(jìn)行了第三種更深層次的變式：如圖2，AD為△ABC的高，E為AC上一點(diǎn)，BE交AD于F，且有BE⊥AC，F(xiàn)D=CD，求證BF=AC。

在這里，本意還是讓學(xué)生求證△ABC≌△BDE，但是與上面第一道變式比較而言，它增加了圖形復(fù)雜度，改變了條件，使得兩個(gè)三角形全等結(jié)論的得出所需要通過的關(guān)卡量也相應(yīng)增加。具體難點(diǎn)在于：需要讓學(xué)生脫離通過原始題目和變式一訓(xùn)練形成的定勢思維，根據(jù)條件反向逆推全等成立的條件：AAS，將證明關(guān)鍵定位在說明∠CAD=∠FBD上，然后利用三角形內(nèi)角和定理求得。這樣的層級變式對學(xué)生靈活利用全等判定和性質(zhì)定理、思維能力及識辨圖形能力的提升具有重要的作用。

二、 由窄到寬——依據(jù)知識觸及面的擴(kuò)展變式

學(xué)生真正數(shù)學(xué)能力提升的標(biāo)準(zhǔn)在于在實(shí)際數(shù)學(xué)問題中能否實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)知識的綜合型運(yùn)用，即能否根據(jù)題目解答要求調(diào)取相關(guān)知識記憶，并將其正確合理地運(yùn)用于問題解決中。所以，按照知識觸及面由窄到寬變化的規(guī)則進(jìn)行的數(shù)學(xué)問題變式是促進(jìn)學(xué)生綜合運(yùn)用知識，以升華內(nèi)化數(shù)學(xué)的系統(tǒng)性和邏輯性思想。

例如：在學(xué)習(xí)完《相似三角形的性質(zhì)》一節(jié)后，可以按照由依據(jù)判定、性質(zhì)定理直接對三角形相似進(jìn)行證明，到漸次擴(kuò)展至與其相關(guān)的中考真題，因?yàn)橹锌碱}皆出于對學(xué)生知識綜合運(yùn)用能力的考查，其觸及的知識范圍相對于單純的以相似三角形為主的題目而言也會相應(yīng)擴(kuò)大。我給同學(xué)們出的原始題目為：如圖3，已知AD⊥BC于點(diǎn)D，∠CAD=∠FBD，求證△BFD相似于△ACD。

在這里學(xué)生只需要利用題中已知條件和“兩角對應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似”的判定定理直接證明即可。在對此進(jìn)行較難變式題目的訓(xùn)練之后，我給同學(xué)們出示了一道中考類型的變式題：如圖4，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D點(diǎn)，已知，BD=6，CD=4，則高AD的長為多少。

這道題除涉及相似三角形判定、邊邊比例等外，還結(jié)合了前面所學(xué)的全等三角形的相關(guān)知識，是對學(xué)生綜合三角形知識的考查。在具體的解答過程中，學(xué)生還需要過點(diǎn)B作BE⊥AC，垂足為E交AD于F，最后作圖結(jié)果為圖3，然后先利用ASA的定理證明△AFE≌△BCE，再利用“兩角對應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似”的定理證明△BDF∽△ADC，在此之后，通過已知條件和相似三角形的對應(yīng)邊之比得出AD的長即可。這是一個(gè)在較高難度的幾何圖形中進(jìn)行已知條件填充和未知條件求取的過程，對于培養(yǎng)學(xué)生對三角形全等、相似一體要素的注意能力和嚴(yán)密的邏輯思維能力具有顯著作用。

三、 由表到里——依據(jù)逐層遞進(jìn)式的揭示變式

由表及里是一種對事物本質(zhì)的逐漸揭示過程，體現(xiàn)在幾何數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，便是題目以簡單的外部形式呈現(xiàn)，但當(dāng)學(xué)生認(rèn)為此簡單的表象即是題目考查主旨而輕易去著手解題時(shí)，卻發(fā)現(xiàn)簡單的只是表象，而在表象內(nèi)部的某一點(diǎn)才是題目的重難點(diǎn)，而題目真正考查的也在于此。對題目進(jìn)行此類的變式，能夠讓學(xué)生在不輕易看輕一道題的前提下快速識別它表象之外的真正的重點(diǎn)。

例如：在與“圓”相關(guān)的題目中，我給同學(xué)們出了這樣一道題：如圖5，點(diǎn)A、B、C、D都在⊙○上，∠ABC=90°，AD=3，CD=2，求⊙O的直徑。

在這里，通過∠ABC=90°，則根據(jù)“圓的直徑對應(yīng)的圓周角是直角”的定理，可判斷出AC是⊙○的直徑，連接AC，則∠ADC也為直角，所以△ACD為直角三角形，再根據(jù)AD和CD的數(shù)值，求出直徑AC為13。所以，這道題表面在求直徑，但內(nèi)在關(guān)鍵在于對“圓的直徑所對的圓周角是直角”定理的利用，此即是考查重點(diǎn)。在此之后，我給同學(xué)們又出了一道變式練習(xí)：如圖6，AB是半圓的直徑，點(diǎn)D是弧AC的中點(diǎn)，∠ABC=50°，求∠DAB。

關(guān)于這道題，學(xué)生利用思考慣性，能很快將BD相連，并知道這道題一定要利用“圓的直徑對應(yīng)的圓周角是直角”的定理，即∠ADB=90°，但當(dāng)學(xué)生輕易利用此去求∠DAB時(shí)，會發(fā)現(xiàn)這里還有更深層次的利用“等弧所對的圓周角相等”得出∠CBD和∠ABD相等，進(jìn)而根據(jù)相關(guān)已知條件，求得∠DAB的度數(shù)。在這里，學(xué)生很容易將直徑所對的圓周角為直角當(dāng)作此題的考查重點(diǎn)，但當(dāng)其去細(xì)細(xì)推敲時(shí)，在直角圓周角表象的背后實(shí)則隱藏著的是弧和角的關(guān)系的內(nèi)里?？梢?，這樣的變式訓(xùn)練能夠讓學(xué)生在思考過程中逐漸生成對題目考察重點(diǎn)的識辨意識和能力，用謹(jǐn)慎縝密的思維去看待思考每一個(gè)問題。

除按由淺到深、由窄到寬、由表到里的方式進(jìn)行幾何模塊變式訓(xùn)練，還可以按照學(xué)生思維的規(guī)律和學(xué)習(xí)的具體內(nèi)容，挖掘更多、更有效的變式類型，讓學(xué)生在變式中逐漸明晰其中對象本質(zhì)以及變化因素，提高其思辨能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]馬春燕.初中幾何教學(xué)中的一題多變[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2017（20）：145+147.

[2]劉延炳.一題多變 一題多證[J].中學(xué)課程輔導(dǎo)（初二版），2004（2）：19.

作者簡介：馮擎豪，山東省煙臺市，祥和中學(xué)。