淺談質(zhì)數(shù)無(wú)限定理拓展以后

摘 要：歐幾質(zhì)數(shù)無(wú)限定理是說(shuō)，若P是任意大的質(zhì)數(shù)，總存在Q=2×3×5…P+1，也是大于P的質(zhì)數(shù)，從而說(shuō)明質(zhì)數(shù)是無(wú)限的。該定理可以進(jìn)一步拓展。

關(guān)鍵詞：質(zhì)數(shù)無(wú)限定理；拓展；推理

歐幾質(zhì)數(shù)無(wú)限定理是說(shuō)，若P是任意大的質(zhì)數(shù)，總存在Q=2×3×5…P+1，也是大于P的質(zhì)數(shù)，從而說(shuō)明質(zhì)數(shù)是無(wú)限的。

上面的定理給我們的啟示是：（1）可以用若干質(zhì)數(shù)的積和正整數(shù)1的代數(shù)和來(lái)表示另外的質(zhì)數(shù)；（2）證明一個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)的思路是，利用整除性定理，如果Q=a±b，且有d|b，那么d|Q的充要條件是d|a。（這里d、a、b、Q均為不等于1的正整數(shù)）。

另外，判斷一個(gè)自然數(shù)N是否為質(zhì)數(shù)，通常采用試除的辦法，那么，是否需要把所有小于N的質(zhì)數(shù)都去試一遍呢？當(dāng)然不必要只需要試除到K≥N就可以了（K是質(zhì)數(shù)）。這是因?yàn)椋喝绻鸑是合數(shù)，總存在小于或者等于N的因數(shù)，使N=Kt試除，到K|N，推定N為合數(shù)；如果試除到K>N，仍然是K/|N，就可以推定N是質(zhì)數(shù)了。我們可以這樣去想，N=Kt=tK。已經(jīng)試除到較大質(zhì)數(shù)K>N了，較小的質(zhì)數(shù)t必是早已試除過(guò)了。因此，判斷一個(gè)自然數(shù)N是否為質(zhì)數(shù)，沒(méi)有必要把小于N的質(zhì)數(shù)通通試上一遍，試除到K>N就可以了。

我們結(jié)合定理給我們帶來(lái)的啟示和以上推理，對(duì)該定理作進(jìn)一步的拓展。

拓展一：

Q=2×3×5…P-1（P≥3）是質(zhì)數(shù)

證：2|2×3×5…P 3|2×3×5…P 5|2×3×5…P …P|2×3×5…P

2/|1、3/|1、5/|1…P/|1

∴2/|Q、3/|Q、5/|Q…P/|Q

∴Q是質(zhì)數(shù)

拓展二：

Q=2x×3×5…P±1（2x

證明同上理

拓展三：

Q=2x×3×5…Ki-1Ki+1…P±Ki是質(zhì)數(shù)

（Ki-1，Ki，Ki+1表示相鄰質(zhì)數(shù)，且2x

拓展四：

Q=3×5×7…P±2xK是質(zhì)數(shù)

（P、K是質(zhì)數(shù)，2x

證明同上

拓展五：

Q=2x×3×5×7…iy…P±1是質(zhì)數(shù)

（2x

證明同上

拓展六：

Q=2x…P…q±3×5…K是質(zhì)數(shù)

（…P…q內(nèi)不含有3、5、…K，K>Q）

K可變，必須保證

2x…P…q>3×5…K且2x…P…q…3×5-K≠1

證明同上

根據(jù)以上對(duì)歐幾定理的拓展，我們回答下面的問(wèn)題。

我們知道，任何大于4的偶數(shù)都可以分解質(zhì)因數(shù)，如不去考慮質(zhì)因數(shù)的順序，分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果是唯一的。

設(shè)任意大于4的偶數(shù)是M，其分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果是M=2x…P…r…q（…P、q、r允許有相同的質(zhì)因數(shù)）

?。┊?dāng)x=1時(shí)

M=2…P…r…q

=…P…r…q+2×3…K+…P…r…q-2×3…K

=e±f

（e、f為質(zhì)數(shù)）

K可變，須保證…P…r…q-2×3…K≠±1

特別地，M=2P=P+P

ⅱ）當(dāng)x>1時(shí)

M=2x…P…r…q

=2x-1…P…r…q+3×5…K+2x-1…P…r…q-3×5…K

=e±f

亦或

M=2x…P…r…q

=2x+1…P…r…q-2x…P…r…q

=2x+1…P…r…q-3×5…K+3×5…K-2x…P…r…q

=e±f

如果有 r=2y±1

M=2x…P…（2y±1）…q

=2x+y…P…q±2x…P…q

=2x+y…P…q-3×5…r…K+3×5…r…K±2x…P…q

=e±f

如果有 r=2y±t（t是質(zhì)數(shù)）

M=2x…P…（2y±t）…q

=2x+y…P…q±2x…P…qt

若t是…P…q內(nèi)的質(zhì)數(shù)

M=2x+y…P…q±2x…P…qt

=2x+y…P…q-3×5…K±2x…P…qt+3×5…K

=e±f

若t不是…P…q內(nèi)的質(zhì)數(shù)，可改變K，使t/3×5…K

M=2x+y…P…q-3×5…K±2x…P…qt+3×5…K

=e±f

綜上，任何大于4的偶數(shù)都能寫(xiě)成兩質(zhì)數(shù)的和或差。

因?yàn)槿魏未笥?的偶數(shù)，都能寫(xiě)成兩個(gè)偶數(shù)的和與差，且根據(jù)需要可以任意改變兩個(gè)加數(shù)或被減數(shù)和減數(shù)的大小。

設(shè)A、B、C、D為4個(gè)偶數(shù)

M=A+B=（A-2K）+（B+2K）（K∈N）根據(jù)以上推理

=（e+r）+（f-r）=e+f

亦或M=C-D=（C+2K）-（D+2K）=（e+s）-（s-f）=e+f

通過(guò)對(duì)歐幾定理的拓展和進(jìn)行上述推理，可以證明，任何大于4的偶數(shù)都能寫(xiě)成兩素?cái)?shù)的和。這就證明哥猜是正確的。

作者簡(jiǎn)介：

趙鎖堂，內(nèi)蒙古自治區(qū)呼和浩特市，托克托縣第二中學(xué)。