正交非線性滲流控制方程

齊成偉

重慶科技大學(xué)石油與天然氣工程學(xué)院

筆者于2017年8月23至25日在第十四屆全國滲流力學(xué)學(xué)術(shù)會議上作了題為《共形映射［1］真適用于正交非線性滲流場嗎？》的特邀報告，通過介紹“正交非線性滲流定理”及其證明過程［2］，對該設(shè)問式題名做出了除直流場外的否定回答。會議期間，筆者發(fā)現(xiàn)了證明過程中的幾處闕漏，認(rèn)為有責(zé)任提筆撰文補闕掛漏，以使正交非線性滲流定理的證明過程更加嚴(yán)謹(jǐn)，以期“共形映射不適用于除直流場外的正交非線性滲流場”這一認(rèn)識成為非線性滲流力學(xué)的重大進展。

如何求得正交非線性滲流控制方程的一個曲流場符號解，為正交非線性滲流定理提供一個形象的例證，同時為理論非線性滲流力學(xué)奠基［3］，是當(dāng)前非線性滲流力學(xué)研究面臨的最大挑戰(zhàn)。鑒于這項挑戰(zhàn)異常艱難，筆者力圖將Descartes坐標(biāo)系內(nèi)的正交非線性滲流控制方程轉(zhuǎn)換到既定問題相應(yīng)的勢流坐標(biāo)系［4-5］內(nèi)，以使匯源面、匯源線、匯源點一對一地重合到坐標(biāo)面、坐標(biāo)面族的極限線、坐標(biāo)面族的極限點上，為挑戰(zhàn)正交非線性滲流控制方程全空間曲流場符號解難題的科研工作者降低數(shù)學(xué)難度。

1 本構(gòu)方程

1.1 正交冪比方程

描寫低速非線性滲流之平行流的冪比方程［6］為

式中，v 為流體滲流速率，m/s；κ為多孔介質(zhì)滲透系數(shù)，m2；μ為流體動力黏度，Pa·s；p 為流體壓強，Pa；x(y 、 z)為Descartes坐標(biāo)系O-xyz 的橫(縱、豎)坐標(biāo)(作為角標(biāo)，示意方向)，m；r為 非線性指數(shù)，無量綱；?為漸近線截距，Pa/m。

易知，在Darcy坐標(biāo)系O-(dp/dx)vx內(nèi) ：若r=1，則冪比方程具有兩條單向漸近線vx=?(κ/μ)(1??/|dp/dx|)dp/dx；若 r >1，則冪比方程具有一條雙向漸近線vx=?(κ/μ)dp/dx 。

假設(shè)低速非線性滲流的等壓面與流線正交，則其流體滲流速度與流體壓強梯度的本構(gòu)關(guān)系可寫為正交冪比方程。矢量形式的正交冪比方程為

式中，v為 流體滲流速度，m/s。

1.2 福希海默方程

用以描寫高速非線性滲流的福希海默(Philipp Forchheimer)方程［7］為

式中，β為福希海默系數(shù)與流體質(zhì)量密度之商，m?1；ρ為流體質(zhì)量密度，kg/m3。

為了便于代入連續(xù)方程，將式(3)轉(zhuǎn)化為

式中， ? (),?()為可微函數(shù)； ? (p)為以流體壓強為自變量的抽象流體動力黏度函數(shù)，Pa·s；?(p)為以流體壓強為自變量的抽象流體質(zhì)量密度函數(shù)，kg/m3。

1.3 抽象本構(gòu)方程

抽象正交非線性滲流本構(gòu)方程為

式中， g (,,)為可微函數(shù)；g[?(p),?(p),|?p|]為抽象非線性系數(shù)函數(shù)，m2/(Pa·s)。

式(2)、式(4)為式(5)的2種具體表達式，故分析式(5)所得定理及推論必定適用于式(2)、式(4)。

考慮多孔介質(zhì)滲透系數(shù)隨流體壓強變化而變化的科研工作者可仿下文自行推導(dǎo)所需方程。

2 控制方程

2.1 抽象控制方程

將式(5)代入剛性多孔介質(zhì)內(nèi)單相流體滲流連續(xù)方程??(p)·v+?(p)?·v+?′(p)??p/?t=0，再將所得方程等號兩端乘以?{?(p)g[?(p),?(p),|?p|]}?1，得實體形式的抽象正交非線性滲流控制方程

式中，?為多孔介質(zhì)有效孔隙率，無量綱；t 為時刻，s；(?p·?)?p=?(?p·?p)/2；p=defp(x,y,z,t)。

在Descartes坐標(biāo)系內(nèi)，式(6)中

式(7)是二倍等壓面平均曲率公式2kp=??·(?p/|?p|)=[(?p·?)?p·?p]/|?p|3??2p/|?p|中第一項的分子，而文獻［2］式(20)的實部是 ( κ/μ)3與式(7)之積在二維Descartes坐標(biāo)系O-xy內(nèi) 的退化式。據(jù)此易知文獻［2］式(23)確實為平面勢流等勢線曲率。

2.2 福希海默連續(xù)方程

對式(6)做替換g[?(p),?(p),|?p|]→[2κ/?(p)]/{1+[1+4βκ2??2(p)?(p)|?p|]1/2}，得

稱式(8)為實體形式的“遙望物理夢想方程(Equation Unrelated to Physics Dream)”。

將?p·?p=|?p|2、|?p|=[(?p/?z)2+(?p/?y)2+(?p/?x)2]1/2、?2p=?2p/?z2+?2p/?y2+?2p/?x2和式(7)依序代入式(8)，得

稱式(9)為“笛卡爾坐標(biāo)系遙望物理夢想方程(Equation Unrelated to Physics Dream in Cartesian coordinate system)”。

遙望物理夢想方程便是正交高速非線性滲流控制方程。

2.3 正交冪比連續(xù)方程

對式(6)做替換 ? (p)→μ、? (p)→ρ和g[?(p),?(p),|?p|]→(κ/μ)|?p|r/(?r+|?p|r)，化簡后再將所得方程

|?p|2(?r+|?p|r)等號兩端乘以，得實體形式的正交冪比連續(xù)方程

將?p·?p=|?p|2、|?p|=[(?p/?z)2+(?p/?y)2+(?p/?x)2]1/2、?2p=?2p/?z2+?2p/?y2+?2p/?x2和式(7)依序代入式(10)，得Descartes坐標(biāo)系內(nèi)的正交冪比連續(xù)方程

正交冪比連續(xù)方程便是正交低速非線性滲流控制方程。

3 流場幾何

3.1 疊加原理不適用于非線性滲流場

正交非線性滲流控制方程屬于二階擬線性偏微分方程，而疊加原理僅適用于線性偏微分方程，故疊加原理不適用于非線性滲流場。

應(yīng)用疊加原理之前須求得待求場匯源流分布。例如無限大等厚均質(zhì)各向同性水平多孔介質(zhì)層內(nèi)等勢水平直線段匯激發(fā)的流動的宏觀流場函數(shù)無法由無限大均質(zhì)各向同性多孔介質(zhì)內(nèi)等勢水平直線段匯激發(fā)的流動的宏觀流場函數(shù)通過線性疊加得到，因兩宏觀流場內(nèi)直線段匯處流體流出分布［8］不相同。

3.2 共形映射不適用于多孔介質(zhì)正交非線性曲流場

“正交非線性滲流引理”的證明過程中，有

式中， ξ =defξ(x,y,z,t)、 ζ =defζ(x,y,z,t)為流面函數(shù)。式(12)每行第2個等式因v=??ξ×?ζ而成立。與文獻 ［2］相比，符號差異處以本文為準(zhǔn)，下同此約。

令ζ=z ，則式(12)退化為

與共形映射的充分必要條件，即Cauchy-Riemann方程組

相比，正交非線性滲流的壓強函數(shù)與流面函數(shù)關(guān)系方程組多了抽象非線性系數(shù)函數(shù)，即g[?(p),?(p),|?p|]。

若可微線性化函數(shù)φ=φ(p)(及其導(dǎo)函數(shù)dφ/dp=φ′(p))存在，即

成立，則式(13)可轉(zhuǎn)化為Cauchy-Riemann方程組，進而共形映射間接適用于可轉(zhuǎn)化為線性滲流場的正交非線性滲流場。

對式(15)第1個等號兩端做旋度運算，有

事實上，對于直流場(kξ∩ζ=0)和曲流場(kξ∩ζ0)，有

式中，kξ∩ζ為流線曲率矢量，m?1。式(17)第1行和第2行由下文式(20)得出。

據(jù)式(17)和式(16)，式(15)被明確為

式(18)顯示：對于除曲流場外的正交非線性滲流場，可微線性化函數(shù)φ=φ(p)(及其導(dǎo)函數(shù)dφ/dp=φ′(p))存在。

再若可微非線性化函數(shù)p=φ?1(φ)的具體表達式易被求得，則可將由共形映射或解Laplace方程所得勢函數(shù)φ=defφ(x,y,z,t)的具體表達式代入可微非線性化函數(shù)p=φ?1(φ)的具體表達式而得到除曲流場外的正交非線性滲流壓強場函數(shù)p=φ?1[φ(x,y,z,t)]的具體表達式，如下文從式(47)到式(48)。

式(18)與式(13)相結(jié)合，得“曲滲定理(nonconformality theorem on nonlinear flow field with curved streamlines)：共形映射不適用于除直流場外的正交非線性滲流場?！鼻鷿B定理亦可通過Riemann映射定理與正交非線性滲流定理相結(jié)合而得出。

本文未研究“擬共形映射(quasi-conformal mapping)”與正交非線性滲流場的關(guān)聯(lián)性問題。

3.3 正交非線性滲流定理

“正交非線性滲流之直流速度場為無旋場；正交非線性滲流之曲流速度場為有旋場?！贝酥^正交非線性滲流引理。

“假設(shè)非線性滲流的等壓面與流線正交，若流場為曲流場，則相同條件下單相不可壓縮或可壓縮流體非線性滲流與單相不可壓縮流體線性滲流的流線形狀不同。進而，等壓面形狀亦不同。”此謂正交非線性滲流定理。

現(xiàn)裨補正交非線性滲流引理和正交非線性滲流定理證明過程中的闕漏。

將文獻［2］式(5)中(κ/μ)g(|?p|)更正為g[?(p),?(p),|?p|]后，文獻［2］式(6)變更為

可見，有旋與否依然僅取決于(?p·?)?p×?p 。

將文獻［2］式(11)更正為本文式(12)后，文獻［2］式(15)不受影響。

將文獻［2］中從式(16)起倒數(shù)第6、5行中g(shù)′(|?p|) 0 、 kξ∩ζ={μ/[κg′(|?p|)|?p|3]}?×?p 更正為?g[?(p),?(p),|?p|]/?|?p| 0、kξ∩ζ={?g[?(p),?(p),|?p|]/?|?p|}?1|?p|?3?×?p后 ，文獻［2］式(16)變更為

式中，?為流體滲流渦度，?=?×v，s?1。

顯然，正交非線性滲流引理正確。

將文獻［2］式(27)、文獻［2］式(33)中(κ/μ)g(|?pn-l|)更正為g[?(pn-l),?(pn-l),|?pn-l|]后，文獻［2］式(32)不受影響且文獻［2］式(33)中第3行等式依然成立，因而正交非線性滲流定理正確！

可利用“異極坐標(biāo)系閉合坐標(biāo)線生成式x→{s2+x2+y2?[(s?x)2+y2]1/2[(s+x)2+y2]1/2}/(2x),?s

正交非線性滲流定理還原了非線性滲流的先天復(fù)雜性。

4 勢流表象

沿著“易先于難，簡先于繁，特殊先于一般”的科學(xué)研究途徑，創(chuàng)建理論非線性滲流力學(xué)宜先研究空間單直線匯、空間對偶直線匯直線源、空間單平直帶匯激發(fā)的穩(wěn)態(tài)正交非線性流場。為了便于與線性滲流作對比和流域邊界條件設(shè)定，現(xiàn)將二維Descartes坐標(biāo)系內(nèi)的正交非線性滲流控制方程轉(zhuǎn)換為由既定問題相應(yīng)的線性滲流流網(wǎng)形成的無豎維勢流坐標(biāo)系內(nèi)的正交非線性滲流控制方程。

4.1 勢流標(biāo)架

本文僅研究平面穩(wěn)態(tài)流場，故水平流面函數(shù)ζ(x,y,z,t)=z 可 略，鉛垂流面函數(shù)ξ(x,y,z,t)可記為ψ(x,y)。

平面穩(wěn)態(tài)線性流場(含滲流場)復(fù)勢 p 與復(fù)坐標(biāo)z 的抽象函數(shù)關(guān)系為

式中，f( )為解析函數(shù)；φ為勢，m2/s；ψ為流，m2/s。對于滲流場，φ=κ(p?po)/μ。其中，po為零勢壓強，Pa。

“平面穩(wěn)態(tài)勢流場運動學(xué)通式”［9］中，無豎維勢流坐標(biāo)系度量張量的協(xié)變分量公式為

水平勢流坐標(biāo)系內(nèi)的壓強梯度模平方項、壓強Laplace項、二倍勢流等壓面平均曲率分子項依序為

式(23)和式(6)顯示：將Descartes坐標(biāo)系正交非線性滲流控制方程轉(zhuǎn)換為水平勢流坐標(biāo)系正交非線性滲流控制方程的關(guān)鍵是求水平勢流坐標(biāo)系度量張量的協(xié)變分量gφφ(或與之相等的gψψ)。

4.1.1 空間單直線匯勢流坐標(biāo)系

無限大等厚均質(zhì)各向同性水平地層內(nèi)鉛垂貫穿地層的一口正圓井激發(fā)的線性滲流場的復(fù)勢公式為

式中，lc為特征長度（如正圓井半徑），m。

分離式(24)等號兩端的實部和虛部，得

式(24)的逆函數(shù)為

分離式(26)等號兩端的實部和虛部，得

將式(26)代入式(22)，得

4.1.2 空間對偶直線匯直線源勢流坐標(biāo)系

無限大等厚均質(zhì)各向同性水平地層內(nèi)鉛垂貫穿地層的兩口采注流量相等的正圓井激發(fā)的線性滲流場的復(fù)勢公式［4］為

式中，s 為環(huán)布井群成圓半徑，m；θ為任意一口卵圓井或唯一一口正圓井圍繞井群形心 z? 逆時針偏離實軸正向的弧度，rad；z?為井群形心復(fù)坐標(biāo)，z? =x?+iy?， m。

分離式(29)等號兩端的實部和虛部，得

式(29)的逆函數(shù)為

分離式(31)等號兩端的實部和虛部，得

將式(31)代入式(22)，得

式(33)中，θ,x?,y?,lc消失，不是偶然。

4.1.3 空間單平直帶匯勢流坐標(biāo)系

無限大等厚均質(zhì)各向同性水平地層內(nèi)鉛垂貫穿地層的一口橢圓井（或一條狹長橢圓裂縫）激發(fā)的線性滲流場的復(fù)勢公式［5］為

式中，l為橢圓井壁面焦線距或長球井壁面焦點距，m。

分離式(34)等號兩端的實部和虛部，得

式(34)的逆函數(shù)為

分離式(36)等號兩端的實部和虛部，得

將式(36)代入式(22)，得

4.2 無豎維勢流坐標(biāo)系穩(wěn)態(tài)福希海默連續(xù)方程

將式(23)代入式(8)，刪除含 z項和含t項后再將所得方程等號兩端乘以 gφφ，得無豎維勢流坐標(biāo)系穩(wěn)態(tài)正交高速非線性滲流控制方程

稱式(39)為“無豎維勢流坐標(biāo)系穩(wěn)態(tài)遙望物理夢想方程(steady-state Equation Unrelated to Physics Dream in planar potential-stream coordinate system)”。

4.2.1 空間單直線匯勢流坐標(biāo)系福希海默流

將式(28)代入式(39)，得易于描述空間單直線匯激發(fā)的福希海默流的空間單直線匯勢流系遙夢方程

對于空間單直線匯勢流坐標(biāo)系極線 (?∞,ψ,z)處的直線匯激發(fā)的福希海默流，流場具有繞豎軸的旋轉(zhuǎn)不變性和沿豎軸的平移不變性。將?p/?ψ=0,?2p/?ψ2=0代入式(40)，得

4.2.2 空間對偶直線匯直線源勢流坐標(biāo)系福希海默流

將式(33)代入式(39)，得易于描述空間對偶直線匯直線源激發(fā)的福希海默流的空間對偶直線匯直線源勢流坐標(biāo)系遙望物理夢想方程

4.2.3 空間單平直帶匯勢流坐標(biāo)系福希海默流

將式(38)代入式(39)，得易于描述空間單平直帶匯激發(fā)的福希海默流的空間單平直帶匯勢流坐標(biāo)系遙望物理夢想方程

4.3 無豎維勢流坐標(biāo)系正交冪比連續(xù)方程

將式(23)代入式(10)，刪除含 z 項后再將所得方程等號兩端乘以得無豎維勢流坐標(biāo)系正交低速非線性滲流控制方程

4.3.1 空間單直線匯勢流坐標(biāo)系正交冪比流

將式(28)代入式(44)，得易于描述空間單直線匯激發(fā)的正交冪比流的空間單直線匯勢流坐標(biāo)系正交低速非線性滲流控制方程

對于空間單直線匯勢流坐標(biāo)系極線 ( ?∞,ψ,z)處的直線匯激發(fā)的正交冪比流，流場具有繞豎軸的旋轉(zhuǎn)不變性和沿豎軸的平移不變性。將?p/?ψ=0,?2p/?ψ2=0代入式(45)后再將所得方程等號兩端乘以(?p/?φ)?2，得

方程式(46)在雙曲非線性(r=1)情況下的符號解為

將對式(47)進行量綱分析所得CⅠ=?q3κ/()、式(25)、=r 依序代入式(47)，得

式中，r 為柱極坐標(biāo)系的徑坐標(biāo)，m。

式(48)便是已經(jīng)求得的柱極坐標(biāo)系雙曲非線性柱徑流簡約壓強場函數(shù)，即文獻［6］式(4)。文獻《正交低速非線性滲流場仿真》介紹了式(48)的應(yīng)用。

4.3.2 空間對偶直線匯直線源勢流坐標(biāo)系正交冪比流

將式(33)代入式(44)，得易于描述空間對偶直線匯直線源激發(fā)的正交冪比流的空間對偶直線匯直線源勢流坐標(biāo)系正交低速非線性滲流控制方程

4.3.3 空間單平直帶匯勢流坐標(biāo)系正交冪比流

將式(38)代入式(44)，得易于描述空間單平直帶匯激發(fā)的正交冪比流的空間單平直帶匯勢流坐標(biāo)系正交低速非線性滲流控制方程

5 結(jié)語

(1)以平面線性滲流的等差等勢線和等差流線為網(wǎng)格線，對以該平面線性滲流內(nèi)外2條等勢線為等壓出入流邊界的平面正交非線性滲流流域進行剖分，則在二維Descartes坐標(biāo)系內(nèi)對(閉曲線形)等壓出入流邊界賦予壓強值被轉(zhuǎn)換為在相應(yīng)無豎維勢流坐標(biāo)系內(nèi)直接對內(nèi)外2條坐標(biāo)線賦予壓強值。得到無豎維勢流坐標(biāo)系穩(wěn)態(tài)正交非線性滲流壓強數(shù)值解柱徑流壓強場函數(shù)測定所用數(shù)值解法的準(zhǔn)確度。采用何種先進的偏微分方程數(shù)值解法才能獲得精準(zhǔn)的正交非線性滲流壓強數(shù)值解是創(chuàng)建計算非線性滲流力學(xué)所面臨的關(guān)鍵技術(shù)難題。

(2)欲創(chuàng)建理論非線性滲流力學(xué)，宜先探尋能間接獲得正交非線性滲流壓強場函數(shù)(或速度場函數(shù))的某種未知映射。若探尋無果，則將不得不面對勢流坐標(biāo)系正交非線性滲流控制方程，從而不得不求助于更高深的偏微分方程理論以直接求控制方程的符號解。通過Legendre變換，可將類似于極小曲面方程的二維Descartes坐標(biāo)系正交冪比連續(xù)方程轉(zhuǎn)換為線性橢圓型偏微分方程。對此感興趣的科研工作者可檢索求極小曲面方程符號解的方法以資借鑒。擬線性橢圓型偏微分方程的變分方法或可一試。p(φ,ψ)后經(jīng)逆坐標(biāo)轉(zhuǎn)換得到二維Descartes坐標(biāo)系穩(wěn)態(tài)正交非線性滲流壓強數(shù)值解p(x,y)?？捎秒p曲非線性