一類Hm,n圖的優(yōu)美性和強(qiáng)協(xié)調(diào)性

嚴(yán)謙泰

(安陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 安陽 455000)

0 引言

最近十幾年來，優(yōu)美圖由于其有趣性及較好的應(yīng)用價值和研究前景，其研究十分活躍。國內(nèi)外取得不少優(yōu)美圖的研究成果[1]，它們也被用于許多領(lǐng)域[2]。它的研究始于1963年Ringel G.的一個猜想[3]和1966年Rosa A.的一篇論文[4]。1972年，Golomb S.W.明確給出了優(yōu)美圖的定義[5]。之后，Gnanajoethi又提出了每棵樹都是奇優(yōu)美的[6]，開始了奇優(yōu)美圖的研究。之后，又提出優(yōu)美標(biāo)號的概念[2]。但由于缺少系統(tǒng)和有力的工具，因此至今只能對一些特殊圖類研究其優(yōu)美性.1982年，D·Fank Hsu引入圖的強(qiáng)協(xié)調(diào)標(biāo)號，現(xiàn)已有許多這方面的結(jié)果.之后，作者提出了奇強(qiáng)協(xié)調(diào)圖和強(qiáng)協(xié)調(diào)圖的概念，拓寬強(qiáng)協(xié)調(diào)標(biāo)號問題的研究。

定義1[2]對于簡單圖G=〈V,E〉，如果存在一個映射f:V(G)→{0,1,2,…,|E|}，滿足1)對任意的u,v∈V,若u≠v,則f(u)≠f(v)；2)max{f(v)|v∈V}=|E|；3)對任意的e1,e2∈E,若e1≠e2,則g(e1)≠g(e2),此處g(e)=|f(u)-f(v)|,e=uv；4){g(e)|e∈E}={1,2,…,|E|},則稱G為優(yōu)美圖，稱f為G的優(yōu)美標(biāo)號。

定義2[2]對于簡單圖G=〈V,E〉，如果存在一個映射f:V(G)→{0,1,2,…,2|E|-1}，滿足1)對任意的u,v∈V，若u≠v,則f(u)≠f(v)；2)max{f(v)|v∈V}=2|E|-1；3)對任意的e1，e2∈E,若e1≠e2,則g(e1)≠g(e2),此處g(e)=|f(u)-f(v)|,e=uv；4){g(e)|e∈E}={1,3,5,…,2|E|-1}，則稱G為奇優(yōu)美圖，稱f為G的奇優(yōu)美標(biāo)號。

定義3[3]對于簡單圖G=〈V,E〉，如果存在一個映射f:V(G)→{0,1,2,…,|E|+k-1}，滿足1)對任意的u,v∈V，若u≠v,則f(u)≠f(v)；2)max{f(v)|v∈V}=|E|；3)對任意的e1，e2∈E,若e1≠e2,則g(e1)≠g(e2),此處g(e)=|f(u)-f(v)|,e=uv；4){g(e)|e∈E}={k,k+1,…,k+|E|-1}，則稱G為k-優(yōu)美圖，稱f為G的k-優(yōu)美標(biāo)號。

定義4[5]設(shè)G=〈V,E〉是一個無向簡單圖，如果存在一個映射f:V(G)→{0,1,2,…,|E|}，滿足：1)f是單射；2)?uv∈E(G),令f(uv)=f(u)+f(v),有{f(uv)|uv∈E(G)}={1，2，…，|E|}，則稱G是強(qiáng)協(xié)調(diào)圖，f為G的強(qiáng)協(xié)調(diào)標(biāo)號。

定義5[7]設(shè)G=〈V,E〉是一個無向簡單圖，如果存在一個映射f:V(G)→{0,1,2,…,2|E|-1}，滿足：(1)f是單射；2)?uv∈E(G),令f(uv)=f(u)+f(v),有{f(uv)|uv∈E(G)}={1，3，5，…，2|E|-1}，則稱G是奇強(qiáng)協(xié)調(diào)圖，f為G的奇強(qiáng)協(xié)調(diào)標(biāo)號或奇強(qiáng)協(xié)調(diào)值。顯然f導(dǎo)出了一個E(G)與{1，3，5，…，2|E|-1} 的一一對應(yīng)。

定義6[7]設(shè)G=〈V,E〉是一個無向簡單圖，如果存在一個映射f:V(G)→{0,1,2,…,|E|+k-1}，滿足：(1)f是單射；2)?uv∈E(G),令f(uv)=f(u)+f(v),有{f(uv)|uv∈E(G)}={k，k+1，…，k+|E|-1}則稱G是k-強(qiáng)協(xié)調(diào)圖，f為G的k-強(qiáng)協(xié)調(diào)標(biāo)號。

本文構(gòu)造并研究了一類圖的優(yōu)美性和強(qiáng)協(xié)調(diào)性。未加說明的術(shù)語和記號見文獻(xiàn)[2]。

1 主要結(jié)論及證明

n(n≥2)條具有兩個公共端點(diǎn)u1和u2且長度都為2的路構(gòu)成的圖記為An，設(shè)V(An)={u1,v1,v2,…,vn,u2}。順序把前一個An的頂點(diǎn)vn-1與后一個An的頂點(diǎn)u1連一條邊，u2與后一個An中頂點(diǎn)vn連一條邊所得圖記為Hm,n。記Hm,n中m個An為An1,An2,…,Anm給Hm,n的頂點(diǎn)重新標(biāo)識后的頂點(diǎn)集為：

V(Hm,n)={u11,u21,…,um1，u12,u22,…,um2,v0,v1,v2,…,vm(n-1)}

其中，ui1,ui2(i=1,2,…,m)是Ani中n條路的公共端點(diǎn)，v0,v1,…,vn-1是An1中與u11,u12相鄰頂點(diǎn)，vn,vn+1,…,v2n-1是An2中與u21,u22相鄰頂點(diǎn)，以此類推。vn-1與u21相鄰，u12與vn相鄰；v2n-1與u31相鄰，u22與v2n相鄰，以此類推。顯然有|V(Hm,n)|=m(n+2)，|E(Hm,n)|=2mn+2(m-1)。

定理1Hm,n是優(yōu)美圖。

證明給出Hm,n各頂點(diǎn)標(biāo)號如下：

f(vi)=i,i=0,1,2,…,n-1；

f(vi)=f(vi-n)+n+1,i=n,n+1,n+2,…,mn-1；

f(ui1)=|E(Hm,n)|-(n+1)(i-1),i=1,2,…,m；

f(ui2)=f(ui1)-n,i=1,2,…,m

易驗(yàn)證f是Hm,n的一個優(yōu)美標(biāo)號，所以Hm,n是優(yōu)美圖。

定理2Hm,n是奇優(yōu)美圖。

證明給出Hm,n各頂點(diǎn)標(biāo)號f如下：

f(vi)=2i,i=0,1,2,…,n-1；

f(vi)=f(vi-n)+2(n+1),i=n,n+1,n+2,…,mn-1；

f(ui1)=2|E(Hm,n)|-2(n+1)(i-1),i=1,2,…,m；

f(ui2)=f(ui1)-2n,i=1,2,…,m

易驗(yàn)證f是Hm,n的一個奇優(yōu)美標(biāo)號，所以Hm,n是奇優(yōu)美圖。

定理3Hm,n是k-優(yōu)美圖。

證明給出Hm,n各頂點(diǎn)標(biāo)號f如下：

f(vi)=k+|E(Hm,n)|-1-i,i=0,1,2,…,n-1；

除了關(guān)稅，自由貿(mào)易港更有賴于沒有或盡可能少的非關(guān)稅貿(mào)易壁壘，要求對商品、服務(wù)進(jìn)出口，以及貿(mào)易項(xiàng)下資金流入流出，不實(shí)行或盡可能少實(shí)行管制政策。以香港為例，《中英聯(lián)合聲明》附件規(guī)定：香港保持自由港地位，并繼續(xù)實(shí)行自由貿(mào)易政策，由此可以看出自由港和自由貿(mào)易其實(shí)是兩個不同的概念。香港《基本法》第115條規(guī)定：香港實(shí)行自由貿(mào)易政策，保障貨物、無形財(cái)產(chǎn)和資本的流動自由。國務(wù)院《關(guān)于全面深化中國(上海)自由貿(mào)易試驗(yàn)區(qū)改革方案》要求上海自由貿(mào)易港“對標(biāo)國際最高水平，實(shí)施更高標(biāo)準(zhǔn)的‘一線放開、二線安全高效管住’貿(mào)易監(jiān)管制度?！?/p>

f(vi)=f(vi-n)-(n+1),i=n,n+1,n+2,…,mn-1；

f(ui1)=(n+1)(i-1),i=1,2,…,m；

f(ui2)=f(ui1)+n,i=1,2,…,m

易驗(yàn)證f是Hm,n的一個k-優(yōu)美標(biāo)號，所以Hm,n是k-優(yōu)美圖。

定理4Hm,n是奇強(qiáng)協(xié)調(diào)圖。

證明給出Hm,n各頂點(diǎn)標(biāo)號f如下：

f(vi)=2i+1,i=0,1,2,…,n-1；

f(vi)=f(vi-n)+2(n+1),i=n,n+1,n+2,…,mn-1；

f(ui2)=f(ui1)+2n,i=1,2,…,m

易驗(yàn)證f是Hm,n的一個奇強(qiáng)協(xié)調(diào)標(biāo)號，所以Hm,n是奇強(qiáng)協(xié)調(diào)圖。

定理5Hm,n是k-強(qiáng)協(xié)調(diào)圖。

證明給出Hm,n各頂點(diǎn)標(biāo)號f如下：

f(vi)=k+i,i=0,1,2,…,n-1；

f(vi)=f(vi-n)+n+1,i=n,n+1,n+2,…,mn-1；

f(ui1)=(n+1)(i-1),i=1,2,…,m；

f(ui2)=f(vi1)+n,i=1,2,…,m

易驗(yàn)證f是Hm,n的一個k-強(qiáng)協(xié)調(diào)標(biāo)號，所以Hm,n是強(qiáng)協(xié)調(diào)圖。